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Differenzierbarkeit

Wichtige Inhalte in diesem Video

Differenzierbarkeit einfach erklärt

Differenzierbarkeit zeigen

Wann ist eine Funktion nicht differenzierbar?

Hier lernst du alles zur Differenzierbarkeit und wie du sie schnell und einfach nachweisen kannst. Du hast keine Lust soviel zu lesen? Dann schau dir doch einfach unser Video an!

Inhaltsübersicht

Differenzierbarkeit einfach erklärt

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Differenzierbarkeit ist eine wichtige Eigenschaft von stetigen Funktionen. Du kannst eine nicht differenzierbare Funktion an einem Knick in ihrem Graphen erkennen:

Differenzierbarkeit, Differenzierbare Funktion, Nicht Differenzierbare Funktion, glatte Funktion, Funktion mit Knick, Differenzierbarkeit zeigen, Differenzierbarkeit prüfen — Differenzierbare und nicht differenzierbare Funktion

Allgemein nennst du eine Funktion an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert:

$\lim\limits_{x\to{x_0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Das bedeutet, er ist kleiner als unendlich.

Differenzierbarkeit Definition

Eine Funktion ist an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn

$\lim\limits_{x\to \textcolor{blue}{x_0}}\dfrac{f(x)-f(\textcolor{blue}{x_0})}{x-x_0}<\infty$

Diesen Limes nennst du auch Differentialquotienten . Er gibt dir die Ableitung an der Stelle x₀ von f an.

Du bezeichnest deine Funktion als differenzierbar, wenn du sie an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge differenzieren kannst.

Aber wie kannst du die Differenzierbarkeit jetzt genau nachprüfen?

Differenzierbarkeit zeigen

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Schau dir dafür mal die Funktion an:

$f(x)=2x$

Ist diese Funktion an der Stelle x_0=1 differenzierbar? Dafür musst du zeigen, dass der Grenzwert existiert:

$\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$

Jetzt setzt du für f(x) und f(1) deine Funktion ein und erhältst:

$\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{2x-2\cdot1}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{2\cdot(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}2=2$

Der Grenzwert ist also immer 2! Er hängt hier gar nicht von deiner betrachteten Stelle ab. Egal, welche Zahl du für x₀ eingesetzt hättest, es wäre immer 2 rausgekommen. Das heißt, deine Funktion ist überall differenzierbar und die Ableitung ist konstant.

Quadratische Funktion

Wie sieht es mit der Differenzierbarkeit einer quadratischen Funktion aus?

$f(x)=x^2$

Du kannst für wieder deine Funktion einsetzen und schaust dir den Grenzwert gegen x_0=1 an:

$\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{x^2-{1}^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{(x+1)\cdot(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\(x+1}=2$

Die Funktion ist also bei x_0=1 differenzierbar. Aber das gilt auch für jeden anderen Wert von x_0 :

$\lim\limits_{x\to{x_0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0}}\dfrac{x^2-{x_0}^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to{x_0}}\dfrac{(x+x_0)\cdot(x-x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0}}\(x+x_0}=2x_0$

Der Grenzwert existiert also für jedes endliche x₀. Somit hast du die Differenzierbarkeit für alle x₀ gezeigt.

Wann ist eine Funktion nicht differenzierbar?

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Der Grenzwert des Differentialquotienten existiert genau dann, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen:

$\lim\limits_{x\to{x_0^-}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0^+}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Das hilft dir auch, wenn du die Differenzierbarkeit einer Funktion widerlegen willst.

Schau dir dafür mal die Betragsfunktion an der Stelle x_0=0 an:

$f(x)=|x|\qquad{x_0}=0$

Wenn du den linksseitigen Grenzwert des Differentialquotienten berechnest, verwendest du f(x)=-x , weil für x<0 deine Funktion fällt:

Betragsfunktion, Differenzierbarkeit, differenzierbar, differenziertere Funktion, nicht differenziertere Funktionen — Betragsfunktion

Das setzt du dann alles in deine Formel ein:

$\lim\limits_{x\to{x_0^-}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-x-(-0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-x}{x}=-1$

Für x>0 steigt die Funktion aber mit f(x)=x und du erhältst den rechtsseitigen Grenzwert:

$\lim\limits_{x\to{x_0^+}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x-0}{x-0}=1$

Das ist aber ein Widerspruch!

$\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1\neq1=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Die Betragsfunktion ist also bei Null nicht differenzierbar. Das kannst du auch gut an dem Knick bei der Stelle x_0=0 sehen. Die Betragsfunktion ist hier aber trotzdem stetig!

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Du solltest wissen, dass eine Funktion, die an der Stelle x₀ differenzierbar ist, dort auch stetig sein muss. Andersrum gilt dann aber auch: Wenn sie nicht stetig ist, kann f auch nicht differenzierbar sein.

Merke: Eine Funktion, deren Ableitungsfunktion f’ stetig ist, nennst du stetig differenzierbar.

Übersicht Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Die folgenden Zusammenhänge solltest du kennen:

f ist differenzierbar ⇒ f ist stetig
f ist nicht stetig ⇒ f ist nicht differenzierbar
f’ ist stetig ⇔ f heißt stetig differenzierbar

Differenzierbarkeit höherer Ordnung

Du weißt ja, dass du einige Funktionen mehr als nur einmal ableiten kannst. Das nennst du dann Differenzierbarkeit höherer Ordnung. Wenn du eine Funktion zweimal ableiten kannst, nennst du sie zweimal differenzierbar. Genau das Gleiche gilt dann auch bei drei oder sogar n-mal ableitbaren Funktionen. Die n-te Ableitung von bezeichnest du dann mit $f^{(n)}$ .

Es gibt noch einen weiteren Trick, wie du eine Funktion auf Differenzierbarkeit prüfen kannst.

h-Methode

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Du kannst den Grenzwert des Differentialquotienten auch mit der h-Methode berechnen. Dafür ersetzt (substituierst) du x-x_0 mit h:

$x-x_0=h$

Dementsprechend wird dann zu x_0+h und es gilt:

$\lim\limits_{x\tox_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Schau dir dafür am besten mal die Funktion an:

$f(x)=x^3$

Willst du die Differenzierbarkeit an der Stelle x_0 prüfen, rechnest du:

$\lim\limits_{h\to0}\dfarc{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{{(x_0+h)}^3-{x_0}^3}{h}$

$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{{x_0}^3+3{x_0}^2h+3x_0h^2+h^3-{x_0}^3}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{h\cdot(3{x_0}^2+3{x_0}h+h^2)}{h}$

$=\lim\limits_{h\to0}3{x_0}^2+3{x_0}h+h^2=3{x_0}^2$

Deine Funktion ist also an der Stelle x_0 differenzierbar.

Ableitunsgregeln

Zum Glück musst du nicht immer die Grenzwerte bestimmen, um auf die Ableitung zu kommen. Für viele Funktionen kennst du schon Ableitungsregeln , die dir die aufwendige Rechnerei ersparen. Schau dir doch gleich unser Video dazu an!

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