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Partielle Integration

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Partielle Integration einfach erklärt

Partielle Integration Aufgaben

Du möchtest die Partielle-Integration-Formel zum Integrieren von Produkten benutzen? Hier und im entsprechenden Video erklären wir dir alles Wichtige über die Integrationsregel „Partielle Integration“ mit Aufgaben und Beispielen.

Inhaltsübersicht

Partielle Integration einfach erklärt

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Die partielle Integration (Produktintegration) brauchst du, wenn du ein Produkt von Funktionen integrieren möchtest. Die meisten Ableitungsregeln haben entsprechende Integrationsregeln. Was beim Ableiten die Produktregel ist, ist beim Integral die partielle Integration.

Partielle Integration Formel

$\int \textcolor{red}{f(x)} \cdot \textcolor{blue}{g'(x)} \text{ dx} = \textcolor{red}{f(x)} \cdot \textcolor{blue}{g(x)} - \int \textcolor{red}{f'(x)} \cdot \textcolor{blue}{g(x)} \text{ dx}$

Beim partiellen Integrieren (engl. integration by parts) kannst du dir selber aussuchen, welchen Faktor du für f(x) einsetzt, also ableitest, und welchen du für g'(x) einsetzt, also integrierst. Das Ergebnis ist das gleiche.

Partielles Integrieren Merkhilfe

Die Wahl des richtigen Faktors für f(x) und g(x) kann aber die Rechnung für dich stark vereinfachen. Dabei hilft dir LIATE:

LIATE

L = logarithmische Funktionen (log, ln, lg, …)

I = inverse Winkelfunktionen (asin, acos, atan, …)

A = algebraische Funktionen (x², 5x³, …)

T = trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan, …)

E = Exponentialfunktionen (e^x, 5a^x, …)

Dein Ziel ist es immer, das Produkt, das du partiell integrieren willst, zu vereinfachen. Dazu setzt du den Faktor für f(x) ein, der in LIATE möglichst am Anfang kommt. Denn er vereinfacht sich durch Ableiten. Den Faktor, der in LIATE weiter hinten steht, setzt du in der Formel für partielle Integration für g'(x) ein. Denn er vereinfacht sich durch Integrieren.

Wenn du beispielsweise die Funktion $\ln(x) \cdot 8x^3$ integrieren möchtest, solltest du ln(x) für f(x) und 8x³ für g'(x) in die Formel einsetzen. Denn in LIATE steht ln(x) als Logarithmische Funktion über der Algebraischen Funktion 8x³.

Partielle Integration Aufgaben

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Beispiel 1:

Integriere:

$\int \cos \cdot x \text{ dx}$

Überlege dir zuerst, welcher Faktor f(x) und welcher g'(x) sein soll. In LIATE steht x als Algebraische Funktion über der Trigonometrischen Funktion cos(x). Also setzt du x für f(x) und cos(x) für g'(x) ein.

$\int \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\cos(x)} \text{ dx}$

Jetzt berechnest du die Ableitung von f(x) = x und das Integral von g'(x) = cos(x).

$\textcolor{red}{f(x) = x} \Rightarrow \textcolor{red}{f'(x) = 1}$

$\textcolor{blue}{g'(x) = \cos(x)} \Rightarrow \textcolor{blue}{g(x) = \sin(x)}$

Das musst du nur noch in die Formel für partielle Integration einsetzen.

$\int \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\cos(x)} \text{ dx} = \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)} - \int \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)} \text{ dx}$

$= x \cdot \sin(x) - (-\cos(x))$

$= x \sin(x) + \cos(x) \; \textcolor{olive}{+ C}$

Manchmal musst du die partielle Integration auch mehrmals hintereinander ausführen. Wenn du dich an die Faustregel LIATE hältst, wirst du aber in der Regel schnell ans Ziel kommen.

Beispiel 2:

Integriere:

$\int e^x \cdot 2x \text{ dx}$

Welcher Faktor soll f(x) sein und welcher g'(x)? In LIATE steht 2x als Algebraische Funktion über der Exponentialfunktion e^x. Also setzt du 2x für f(x) und e^x für g'(x) ein.

$\int \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \text{ dx}$

Jetzt berechnest du die Ableitung von f(x) = 2x und das Integral von g'(x) = e^x.

$\textcolor{red}{f(x) = 2x} \Rightarrow \textcolor{red}{f'(x) = 2}$

$\textcolor{blue}{g'(x) = e^x} \Rightarrow \textcolor{blue}{g(x) = e^x}$

Nach dem Einsetzen in die Formel für partielle Integration erhältst du:

$\int \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \text{ dx} = \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \int \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \text{ dx}$

$= 2x \cdot e^x - 2e^x$

$= (x - 1) \cdot 2e^x \; \textcolor{olive}{+ C}$

Integration durch Substitution

In deiner nächsten Prüfung wirst du aber bestimmt auch andere Integrationsregeln brauchen. Zum Beispiel die Integration durch Substitution . Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel beim Ableiten. Schaue dir also gleich unser Video dazu an.

Zum Video: Integration durch Substitution

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