Wie kann ich schnell prüfen, ob eine Funktion in einem Punkt wirklich total differenzierbar ist?

Am schnellsten prüfst du totale Differenzierbarkeit, indem du Stetigkeit aller partiellen Ableitungen in einer Umgebung nachweist. Das ist ein Standardkriterium: Dann ist die Funktion dort automatisch total differenzierbar. Verlasse dich nicht nur auf existierende partielle Ableitungen im Punkt, das reicht allein nicht.

Was sagt mir die Jacobi-Matrix geometrisch über die lokale Verzerrung einer Abbildung?

Geometrisch beschreibt die Jacobi-Matrix die beste lineare Näherung der Abbildung am Punkt. Sie zeigt, wie kleine Vektoren lokal gestreckt, gestaucht und gedreht werden. Konkret bildet eine kleine Kugel in eine Ellipse beziehungsweise ein Ellipsoid ab, dessen Achsen die Verzerrung angeben.

Wie benutze ich die Jacobi-Matrix, um die Ableitung in eine bestimmte Richtung zu berechnen?

Die Richtungsableitung erhältst du als Matrix-Vektor-Produkt für einen Richtungsvektor v. Dafür nimmst du v meist normiert (Länge 1), damit die Änderung pro Schrittweite gemessen wird. Beispiel: Für ist das .

Wie finde ich mit der Jacobi-Matrix heraus, ob eine Abbildung in einem Punkt lokal invertierbar ist?

Lokal invertierbar ist eine Abbildung genau dann, wenn invertierbar ist. Im Fall heißt das: . Dann gibt es in einer Umgebung von eine eindeutige Umkehrfunktion und die lineare Näherung hat keinen Rangverlust.

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Jacobi-Matrix

Wichtige Inhalte in diesem Video

Definition: Jacobi-Matrix bzw. Funktionalmatrix

(01:07)

Jacobi-Matrix als totale Ableitung

(00:43)

Beispiel 1 – Jacobi-Matrix berechnen

(01:35)

Die Jacobi-Matrix (oder Jacobimatrix aber nicht Jakobi-Matrix) ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi benannt und ist von großer Bedeutung für die Differentialrechnung im Mehrdimensionalen. Man bezeichnet sie auch als Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix. Du willst die Jacobi-Matrix noch schneller verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Definition: Jacobi-Matrix bzw. Funktionalmatrix

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(01:07)

Sei $U\subset \mathbb{R}^n$ offen und f eine Funktion von folgender Form:

$f: U\rightarrow \mathbb{R}^m$

$(x_1,x_2, . . . ,x_n )\mapsto \left ( \begin{array}{r}f_1 (x_1,x_2, . . . ,x_n )\\ \vdots \\f_m (x_1,x_2, . . . ,x_n )\end{array} \right)$

Existieren alle partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen f_1, . . . ,f_m , so lautet die Jacobi-Matrix im Punkt $x_0\in U$ :

$J_f (x_0):=(\frac{\partial f_i}{\partial x_jx} (x_0))_(_i_=_1_,_._._._,_m_;_ j_=_1_,_._._._,_n_)=$

$\left ( \begin {array} {rrr} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (x_0) &\cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} (x_0 )\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} (x_0 )&\cdots &\frac{\partial f_m}{partial x_n} (x_0 )\end {array} \right)$

Häufig sieht man auch die Schreibweise Df(x_0 ) bzw. $\frac{\partial (f_1,. . . ,f_m)}{\partial (x_1,x_2, . . . ,x_n)} (x_0 )$ für die Jacobi-Matrix.

Jacobi-Matrix Jacobimatrix Jakobi-Matrix — Jacobi-Matrix

Jacobi-Matrix als totale Ableitung

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(00:43)

Merke

Ist die betrachtete Funktion $f: \mathbb{R}^n\supset U \rightarrow \mathbb{R}^m$ im Punkt $x_0\in U$ total differenzierbar , so stellt die Jacobi-Matrix die totale Ableitung von f in x_0

dar.

Dies soll im Folgenden bewiesen werden: Ist f in x_0 total differenzierbar, so gilt mit der totalen Ableitung A:

$f(x_0+h)=f(x_0)+A\cdot h+r(h)$ ,

wobei für die Restfunktion r(h) gilt:

$\lim\limits_{h\to\ 0} \frac{r(h)}{|h|} =0$

Hierbei ist A=(a_i_j)_(_i_=_1_,_._._._,_m_;_ j_=_1_,_._._._,_n_) eine Matrix und $h=\left ( \begin{array}{r} h_1\\ \vdots\\h_n\end {array} \right)$ ein n-dimensionaler Vektor. Nun soll die i-te Komponente von f(x_0+h) betrachtet werden:

$f_i (x_0+h)=f_i (x_0 )+\sum\limits_{k=1}^n a_i_j\cdot h_k+r_j (h)$

Behält man in $h=\left ( \begin{array}{r} h_1\\ \vdots\\h_n\end{array} \right)$ nur die j-te Komponente ungleich null, wird daraus der Vektor $h_j e_j=\left ( \begin {array}{r} 0\\ \vdots\\h_j\\ \vdots \\0 \end{array}\right)$ und es ergibt sich:

$f_i (x_0+h_j e_j)=f_i (x_0)+a_i_j\cdot h_j+r_j (h_j e_j )$

Nun lässt sich damit und mit $\lim\limits_{h\to\ 0} \frac{r(h)}{|h|}=0$ die partielle Ableitung der i-ten Komponente von f nach x_j berechnen:

$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)=\lim\limits_{h_j\to\ 0} \frac {f_i (x_0+h_j e_j)-f_i (x_0)}{h_j} =a_i_j+\lim\limits_{h_j\to\ 0} \frac{r_j (h_j e_j )}{h_j} =a_i_j$

Es wurde also gezeigt, dass gilt:

$A=(a_i_j)_i_=_1_,_._._._,_m_;_j_=_1_,_._._._,_n=(\frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x_0 ))_i_=_1_,_._._._,_m_;_j_=_1_,_._._._,_n=J_f (x_0)$

Das bedeutet gerade, dass die Jacobi-Matrix die totale Ableitung von f im Punkt x_0 ist.

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Beispiel 1 – Jacobi-Matrix berechnen

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(01:35)

Die Berechnung der Jacobi-Matrix soll am Beispiel der Funktion

$f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3$

$(x,y)\mapsto \left ( \begin{array}{r} f_1 (x,y)\\f_2 (x,y)\\f_3 (x,y)\end {array}\right )=\left ( \begin{array}{r} x^2+sin⁡(y)\\e^y+3\\2x^4\cdot y\end{array}\right )$

illustriert werden. Für die Jacobi-Matrix werden die partiellen Ableitungen der drei Komponenten f_1 , f_2 und f_3 nach x und y bestimmt. Diese lauten:

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Durch richtiges Anordnen dieser partiellen Ableitungen ergibt sich bereits die Jacobi-Matrix bzw. die Funktionalmatrix:

$J_f (x,y)=Df(x,y)=\left ( \begin {array}{rr} \frac{\partial f_1}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_1} {\partial y} (x,y)\\\frac{\partial f_2}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_2}{\partial y} (x,y)\\ \frac{\partial f_3}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_3}{\partial y} (x,y) \end {array} \right )=\left ( \begin {array} {rr} 2x & cos⁡(y)\\0 & e^y\\ 8x^3\cdot y & 2x^4 \end {array} \right)$

Jacobi-Matrix — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie kann ich schnell prüfen, ob eine Funktion in einem Punkt wirklich total differenzierbar ist?

Am schnellsten prüfst du totale Differenzierbarkeit, indem du Stetigkeit aller partiellen Ableitungen in einer Umgebung nachweist. Das ist ein Standardkriterium: Dann ist die Funktion dort automatisch total differenzierbar. Verlasse dich nicht nur auf existierende partielle Ableitungen im Punkt, das reicht allein nicht.
Was sagt mir die Jacobi-Matrix geometrisch über die lokale Verzerrung einer Abbildung?

Geometrisch beschreibt die Jacobi-Matrix die beste lineare Näherung der Abbildung am Punkt. Sie zeigt, wie kleine Vektoren lokal gestreckt, gestaucht und gedreht werden. Konkret bildet eine kleine Kugel in eine Ellipse beziehungsweise ein Ellipsoid ab, dessen Achsen die Verzerrung angeben.
Wie benutze ich die Jacobi-Matrix, um die Ableitung in eine bestimmte Richtung zu berechnen?

Die Richtungsableitung erhältst du als Matrix-Vektor-Produkt $J_f(x_0)\,v$ für einen Richtungsvektor v. Dafür nimmst du v meist normiert (Länge 1), damit die Änderung pro Schrittweite gemessen wird. Beispiel: Für $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ ist das $\nabla f(x_0)\cdot v$ .
Wie finde ich mit der Jacobi-Matrix heraus, ob eine Abbildung in einem Punkt lokal invertierbar ist?

Lokal invertierbar ist eine Abbildung genau dann, wenn invertierbar ist. Im Fall $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ heißt das: $\det(J_f(x_0))\neq 0$ . Dann gibt es in einer Umgebung von eine eindeutige Umkehrfunktion und die lineare Näherung hat keinen Rangverlust.

Beispiel 2 – Jacobi-Matrix berechnen

Nun soll die Funktion

$\theta: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$

$(r,\theta ,\varphi)\mapsto \left ( \begin {array} {r} x(r,\theta,\varphi)\\ y(r,\theta,\varphi)\\ z(r,\theta ,\varphi) \end{array} \right )= \left ( \begin {array} {r} r\cdot sin⁡(\theta)\cdot cos⁡(\varphi)\\r\cdot sin⁡(\theta )cdot sin⁡(\varphi)\\r\cdot cos⁡(\theta) \end{array}\right)$

betrachtet werden, welche eine Transformation der kartesischen in die Kugelkoordinaten beschreibt. Die partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten lauten:

$\frac{\partial x}{\partial r} (r,\theta ,\varphi)= sin⁡(\theta) cos⁡(\varphi)$

$\frac{\partial x}{\partial \theta} (r,\theta ,\varphi )=r cos⁡(\theta)cos⁡(\varphi)$

$\frac c{\partial x}{\partial \varphi) (r,\theta,\varphi)=-r sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)$

$\frac{\partial y}{\partial r} (r,\theta,\varphi)= sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)$

$\frac{\partial y}{\partial\theta} (r,\theta ,\varphi)=r cos⁡(\theta)sin⁡(\varphi)$

$\frac{\partial y}{\partial \varphi} (r,\theta ,\varphi )=r sin⁡(\theta)cos⁡(\varphi)$

$\frac{\partial z}{\partial r} (r,\theta ,\varphi)=cos⁡(\theta)$

$\frac {\partial z}{\partial \theta} (r,\theta,\varphi)=-r sin⁡(\theta)$

$\frac{\partial z}{\partial \varphi} (r,\theta,\varphi)=0$

Die Jacobi-Matrix hat demzufolge folgende Form:

$J_f (r,\theta,\varphi)=\left ( \begin{array}{rrr} sin⁡(\theta) cos⁡(\varphi) & r cos⁡(\theta) cos⁡(\varphi) & -r sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)\\\\frac{sin⁡(\theta)sin⁡(\varphi) & r cos⁡(\theta)sin⁡(\varphi) & r sin⁡(\theta)cos⁡(\varphi)\\cos⁡(\theta) & -r sin⁡(\theta) & 0\end {array}\right)$

Da diese Jacobi-Matrix eine quadratische Matrix ist, lässt sich deren Determinante berechnen. Diese wird Jacobi-Determinante genannt. Sie spielt bei der Koordinatentransformation von Integralen eine wichtige Rolle. Im vorliegenden Fall lautet sie:

$det(J_f (r,\theta,\varphi))=r^2\cdot sin⁡(\theta)$