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Normale

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist eine Normale?

Normale berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung

Beispiel 2: Polynomfunktionen

In diesem Beitrag erklären wir dir, was eine Normale ist und wie du sie berechnest.

Du möchtest das Thema innerhalb kürzester Zeit verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Normale einfach erklärt

Stell dir vor, du hast an einem Punkt einer Funktion eine Tangente und drehst sie jetzt an diesem Punkt um 90°. Die Gerade die dadurch entsteht, wird als Normale bezeichnet und steht senkrecht zur Tangente. Das heißt, dass zwischen den beiden Geraden ein rechter Winkel besteht.

Normale, Normalengleichung — Normale einer Funktion

Was ist eine Normale?

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Die Normale ist eine lineare Funktion , die senkrecht zur Tangente steht, das heißt, dass der Winkel, den die beiden Funktionen einspannen, 90° beträgt.

Da du die Normale erhältst, indem du die Tangente am Berührpunkt $(x_0 \vert y_0)$ um 90° drehst, entspricht die Steigung der Normale

$m = -\frac{1}{f'(x_0)}.$

Zur Bestimmung der Normalengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:

Allgemeine Normalengleichung

$y_N (x) = -\frac{1}{f^{\prime}(x_0)} \cdot (x - x_0) + y_0$ ,

wobei $(x_0 \vert y_0)$ die Koordinaten der Betrachtungsstelle sind.

Normale berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung

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Nun folgt eine ausführliche Schritt-für-Schritt Anleitung zur Berechnung einer Normalengleichung.

Hast du eine Funktion f und eine Stelle x_0 gegeben und sollst nun eine Normale an der Stelle x_0 bestimmen, dann gehst du wie folgt vor:

Schritt 1: Berechne die erste Ableitung $f^{\prime}(x)$ .

Schritt 2: Setze x_0 in die erste Ableitung ein, um so die Steigung der Funktion an der Stelle x_0 zu berechnen.

Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du x_0 in die Funktion f ein.

Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten der Betrachtungsstelle $(x_0 \vert y_0)$ und die Steigung $f^{\prime}(x_0)$ in die Normalengleichung ein

$y_N (x) = -\frac{1}{f^{\prime}(x_0)} \cdot (x - x_0) + y_0$

und du erhältst die gesuchte Normale.

Beispiel 1: Lineare Funktionen

Wir wollen für die lineare Funktion

f(x) = 4x +1

die Normale an der Stelle x_0 = 1 bestimmen.

Schritt 1: Zunächst benötigst du die erste Ableitung der Funktion f

$f^{\prime}(x) = 4.$

Schritt 2: Nun willst du die Steigung an der Stelle x_0=1 wissen. Dazu setzt du x_0 = 1 in $f^{\prime}$ ein

$f^{\prime}(1) = 4.$

Schritt 3: Da die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht bekannt ist, setzt du dafür x_0 in die Funktion f ein

$f(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5.$

Schritt 4: Jetzt, da du alles Wichtige hast, kannst du die Werte in die Normalengleichung einsetzen

$y_N(x) = -\frac{1}{4} \cdot (x - 1) + 5$

$= -\frac{1}{4}x + \frac{21}{4}$

Normale, Normalengleichung — Die Normale der linearen Funktion

Beispiel 2: Polynomfunktionen

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Schauen wir uns jetzt eine Polynomfunktion höheren Grades an. Dazu sei die Funktion

$f(x) = -\frac{5}{8}x^3 +\frac{9}{4}x^2$

gegeben. Wir wollen die Normale an der Stelle x_0 = 2 berechnen.

Schritt 1: Mithilfe der Potenz- und Faktorregel berechnest du die Ableitung

$f^{\prime}(x) = -\frac{15}{8}x^2 + \frac{9}{2}x.$

Schritt 2: Nun benötigst du den Wert der Ableitung an der Stelle x_0 = 2 . Dafür setzt du x_0 einfach in $f^{\prime}(x)$ ein und erhältst somit

$f^{\prime}(2) = -\frac{15}{8} \cdot 2^2 + \frac{9}{2} \cdot 2 = \frac{3}{2}.$

Schritt 3: Jetzt fehlt nur noch die y-Koordinate der Betrachtungsstelle. Diese erhältst du indem du x_0 in die Funktion f einsetzt

$f(2) = -\frac{5}{8} \cdot 2^3 +\frac{9}{4} \cdot 2^2 = 4.$

Schritt 4: Zum Schluss setzt du alle Werte in die Normalengleichung und erhältst somit die Normale

$y_N (x) = -\frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot (x - 2) +4$

$= -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}.$

Normale, Normalengleichung — Die Normale der Polynomfunktion

Normale berechnen Aufgaben

Zum Üben findest du nun im Folgenden zwei Aufgaben mit Lösungen.

Aufgabe 1: Normale einer quadratischen Funktion

Berechne die Normalengleichung an der Stelle x_0 = 0 der quadratischen Funktion

f(x) = x^2-x+2.

Lösung: Aufgabe 1

Um erst einmal die Steigung an der Stelle x_0 zu berechnen, brauchst du die erste Ableitung

$f^{\prime}(x) = 2x -1.$

Nun kannst du x_0 = 0 in $f^{\prime}(x)$ einsetzen und erhältst somit

$f^{\prime}(0) = 2 \cdot 0 -1 = -1.$

Um noch die fehlende Koordinate y_0 zu berechnen, setzt du einfach x_0 in die Funktion f ein

f(0) = 0^2-0+2 = 2.

Somit hast du nun alles, was du für die Normale brauchst. Das heißt, du setzt x_0 , y_0 und $f^{\prime}(x_0)$ in die allgemeine Normalengleichung ein

$y_N(x) = -\frac{1}{-1} \cdot (x - 0) + 2$

= x + 2.

Aufgabe 2: Normale einer Polynomfunktion vom Grad 4

Berechne die Normalengleichung an der Stelle x_0 = -1 der Polynomfunktion

$f(x) = x^4+ \frac{1}{3}x^3-x^2+3.$

Lösung: Aufgabe 2

Berechne zuerst die erste Ableitung von f

$f^{\prime}(x) = 4x^3+x^2-2x,$

damit du die Steigung an der Stelle x_0 bekommst, indem du x_0 = -1 in $f^{\prime}$ einsetzt

$f^{\prime}(-1) = 4 \cdot (-1)^3+ (-1)^2-2 \cdot (-1) = -1.$

Setze jetzt einfach x_0 in die Funktion f ein, um die noch fehlende y-Koordinate zu erhalten

$f(-1) = (-1)^4+ \frac{1}{3} \cdot (-1)^3- (-1)^2+3 = \frac{8}{3}.$

Somit hast du nun alles, was du zur Berechnung der Normalengleichung brauchst. Mit x_0=-1 , $y_0=\frac{8}{3}$ und $f^{\prime}(x_0)=-1$ erhältst du die Normale

$y_N(x) = -\frac{1}{-1} \cdot (x - (-1)) + \frac{8}{3}$

$= x + \frac{11}{3}.$

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