Was sagt mir der Wachstumsfaktor über den Anfangswert?

Der Wachstumsfaktor sagt, auf wie viel Prozent des Anfangswerts eine Größe nach einem Schritt gestiegen ist. Er beschreibt damit das Verhältnis neuer Wert zu Anfangswert. Zum Beispiel bedeutet , dass der neue Wert 120 % des Anfangswerts beträgt.

Wie berechne ich den Wachstumsfaktor aus einer Prozentänderung?

Den Wachstumsfaktor berechnest du, indem du zur prozentualen Änderung immer 100 % addierst und das Ergebnis als Dezimalzahl schreibst. Zum Beispiel werden aus 20 % Wachstum zuerst 120 % und daraus als Dezimalzahl .

Warum rechne ich bei Wachstum immer 100 Prozent dazu?

Bei Wachstum rechnest du 100 % dazu, weil der Anfangswert selbst bereits 100 % entspricht und die Wachstumsrate nur die zusätzliche Veränderung angibt. Konkret: 25 % Wachstum heißt nicht „Endwert ist 25 %“, sondern 100 % + 25 % = 125 %.

Wie wandle ich Prozentangaben richtig in Dezimalzahlen um?

Prozentangaben wandelst du in Dezimalzahlen um, indem du durch 100 teilst. So wird aus 25 % die Dezimalzahl 0,25. Beim Wachstumsfaktor nutzt du das direkt weiter, zum Beispiel .

Wie berechne ich einen Wert nach n Schritten mit dem Wachstumsfaktor?

Einen Wert nach Schritten berechnest du, indem du den Anfangswert mit dem Wachstumsfaktor insgesamt -mal multiplizierst, also mit einer Potenz. Zum Beispiel gilt und damit .

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Wachstumsfaktor berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Wie berechnest du den Wachstumsfaktor?

(00:13)

Wachstumsfaktor berechnen — Beispiel

(01:40)

Du fragst dich, was ein Wachstumsfaktor genau ist und wie man ihn berechnet? Hier und im Video erfährst du alles, was du darüber wissen musst.

Inhaltsübersicht

Wie berechnest du den Wachstumsfaktor?

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(00:13)

Der Wachstumsfaktor q zeigt dir, auf wie viel Prozent des Anfangswertes eine Größe gestiegen ist.

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Der Wachstumsfaktor q ist hier 1,20. Du berechnest ihn, indem du zum Prozentsatz p% der Änderung 100% dazu addierst. Am Schluss wandelst du die Prozentzahl noch in eine Dezimalzahl um:

p% = $\frac{Prozentwert}{Grundwert} \cdot 100$ = $\frac{12 - 10}{10} \cdot 100$ = 20%

100% + p% = 100% + 20% = 120%

q = 1,20

Wachstumsfaktor Formel

Du kannst dir folgende Formel für die Berechnung des Wachstumsfaktors merken:

q = 1 + $\frac{\textcolor{green}{p}}{100}$

Wachstumsfaktor berechnen — Beispiel

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(01:40)

Du hast die folgende Aufgabe gegeben:

Stell dir vor, du arbeitest in einem Labor und beobachtest die Entwicklung einer Bakterienpopulation in einer Versuchsschale. Am Anfang waren es 200 Bakterien. Jetzt erkennst du aber, dass sich die Anzahl der Bakterien jede Stunde um 25 % erhöht. Berechne den Wachstumsfaktor und die Anzahl der Bakterien nach 3 Stunden.

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Wachstumsfaktor berechnen

Um den Wachstumsfaktor q zu berechnen, brauchst du wieder den Prozentsatz. Da die Bakterienpopulation jede Stunde um 25% wächst, ist hier p% = 25%. Nun rechnest du zu den 100% also 25% und wandelst das Ergebnis in eine Dezimalzahl um:

100% + p% = 100% + 25% = 125%

q = 1,25

Alternativ kannst du p = 25 in die Formel einsetzten und bekommst so auch den Wachstumsfaktor raus:

q = 1 + $\frac{\textcolor{green}{p}}{100}$ = 1 + $\frac{\textcolor{green}{25}}{100}$ = 1 + 0,25 = 1,25

Am Anfang deiner Beobachtung waren es 200 Bakterien. Willst du jetzt die Anzahl nach einer Stunde berechnen, multiplizierst du den Anfangswert mit dem Wachstumsfaktor.

a₁ = a₀ • q = 200 • 1,25 = 250

Genauso kannst du jetzt auch die Anzahl nach 2 und nach 3 Stunden berechnen:

a₂ = a₁ • q = 250 • 1,25 = 312,5

a₃ = a₂ • q = 312,5 • 1,25 = 390,625

Exponentielles Wachstum

Du erkennst hier ein Muster. Um die Anzahl der Bakterien in der nächsten Stunde berechnen zu können, multiplizierst du die Anzahl der Bakterien in der Stunde zuvor immer mit dem Wachstumsfaktor q. Das lässt sich auch als Exponentialfunktion darstellen:

f(n) = 200 • 1,25ⁿ

Als du die Bakterienanzahl nach 3 Stunden berechnet hast, hast du den Anfangswert von 200 insgesamt schon 3 Mal mit 1,25 multipliziert. Das bedeutet, du kannst bei der Hochzahl n = 3 einsetzen. So multiplizierst du die 200 auch 3 mal mit 1,25.

Mit dieser Funktion kannst du die Bakterienanzahl, also das exponentielle Wachstum , für jede beliebige Stunde berechnen, ohne jede Stunde davor ausrechnen zu müssen.

f(3) = 200 • 1,25³= 390,625

Nach drei Stunden hast du also etwa 391 Bakterien in deiner Versuchsschale.

Wachstumsfaktor berechnen — häufigste Fragen

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Was sagt mir der Wachstumsfaktor über den Anfangswert?

Der Wachstumsfaktor sagt, auf wie viel Prozent des Anfangswerts eine Größe nach einem Schritt gestiegen ist. Er beschreibt damit das Verhältnis neuer Wert zu Anfangswert. Zum Beispiel bedeutet , dass der neue Wert 120 % des Anfangswerts beträgt.
Wie berechne ich den Wachstumsfaktor aus einer Prozentänderung?

Den Wachstumsfaktor berechnest du, indem du zur prozentualen Änderung $p\%$ immer 100 % addierst und das Ergebnis als Dezimalzahl schreibst. Zum Beispiel werden aus 20 % Wachstum zuerst 120 % und daraus als Dezimalzahl .
Warum rechne ich bei Wachstum immer 100 Prozent dazu?

Bei Wachstum rechnest du 100 % dazu, weil der Anfangswert selbst bereits 100 % entspricht und die Wachstumsrate nur die zusätzliche Veränderung angibt. Konkret: 25 % Wachstum heißt nicht „Endwert ist 25 %“, sondern 100 % + 25 % = 125 %.
Wie wandle ich Prozentangaben richtig in Dezimalzahlen um?

Prozentangaben wandelst du in Dezimalzahlen um, indem du durch 100 teilst. So wird aus 25 % die Dezimalzahl 0,25. Beim Wachstumsfaktor nutzt du das direkt weiter, zum Beispiel .
Wie berechne ich einen Wert nach n Schritten mit dem Wachstumsfaktor?

Einen Wert nach Schritten berechnest du, indem du den Anfangswert mit dem Wachstumsfaktor insgesamt -mal multiplizierst, also mit einer Potenz. Zum Beispiel gilt $f(n) = 200 \cdot 1{,}25^n$ und damit $f(3) = 200 \cdot 1{,}25^3 = 390{,}625$ .

Exponentialfunktion

Prima! Jetzt weißt du, was ein Wachstumsfaktor ist und wie man ihn berechnet. Du willst mehr über die Exponentialfunktion erfahren? Dann schau direkt in das Video dazu rein.