Wie erkenne ich, ob ich Flächeninhalt oder orientierte Fläche berechne?

Du berechnest eine orientierte Fläche, wenn du direkt auswertest und Vorzeichen zulässt. Liegt unter der x-Achse, wird der Integralwert dort negativ. Den Flächeninhalt bekommst du, wenn du unterhalb der x-Achse mit Beträgen rechnest, also .

Wann muss ich das Integral in Teilintervalle aufteilen?

Du musst das Integral in Teilintervalle aufteilen, wenn sich im Intervall das Vorzeichen von ändert oder du Beträge berechnen willst. Dann trennst du an den Nullstellen oder an Stellen, wo sich die Situation ändert. Beispiel: Für den Flächeninhalt bei Vorzeichenwechsel rechnest du .

Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen der Grenzen in F(b) minus F(a)?

Ein häufiger Fehler ist, statt zu rechnen und dadurch das Vorzeichen zu vertauschen. Außerdem werden Klammern beim Einsetzen von oft vergessen, besonders bei Minuswerten. Beispiel: Bei ist , nicht .

Wie finde ich eine Stammfunktion, wenn ich sie nicht sofort sehe?

Eine Stammfunktion findest du oft, indem du die Funktion in einfache Summanden zerlegst und Standardregeln nutzt. Ziehe zuerst Vorfaktoren heraus und integriere dann termweise, statt alles auf einmal zu „erraten“. Beispiel: Aus wird .

Warum brauche ich beim unbestimmten Integral eine Konstante C?

Du brauchst beim unbestimmten Integral die Konstante , weil Ableiten konstante Zahlen „verschwinden“ lässt. Deshalb haben unendlich viele Funktionen dieselbe Ableitung und unterscheiden sich nur um eine Konstante. Beispiel: , und haben alle die Ableitung , daher .

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Integral

Du fragst dich was mit dem Integral auf sich hat und wie du es berechnest? Dann bist du hier genau richtig! Hier und in unserem passenden Video zeigen wir dir alles, was du wissen musst.

Inhaltsübersicht

Integralrechnung einfach erklärt

Mit einem bestimmten Integral kannst du den Flächeninhalt A unter einer gekrümmten Funktion f(x) berechnen. Wenn du zum Beispiel das Integral A über der Integralfunktion f(x)=x³+1 im Intervall [-1; 1,5] berechnen willst, schreibst du das so:

$\textcolor{olive}{A} = \int_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{blue}{1,5}} \textcolor{red}{x^3+1} \; \textcolor{brown}{\mathop{\mathrm{d}x}}$

Gesprochen: „Integral von -1 bis 1,5 über x³ + 1 d x“.

-1 und 1,5 sind die untere und obere Integrationsgrenze. Also die x-Werte, an denen du mit dem Integrieren anfängst und aufhörst.
$\int_$ ist das mathematische Zeichen für das Integral.
dx gibt an, über welche Variable du integrierst – hier ist das x. (Bei dt würdest du über t integrieren.)
$\int_$ und dx bilden eine „Klammer„, mit der du die zu integrierende Funktion x³+1 einschließt.

Integral berechnen

Der Schlüssel zur Berechnung von Integralen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Die Ableitung der Stammfunktion F(x) von f(x) ist wieder f(x).
Das bestimmte Integral berechnest du dann mit dieser Formel:

$\int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} \textcolor{red}{f(x)} \; dx = \left[ \textcolor{olive}{F(x)} \right]_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} = \textcolor{olive}{F(}\textcolor{blue}{b}\textcolor{olive}{)} - \textcolor{olive}{F(}\textcolor{orange}{a}\textcolor{olive}{)}$

Beispiele:

$\int_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} \textcolor{red}{2x} \; dx = \left[ \textcolor{olive}{x^2} \right]_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{olive}{2}} - \textcolor{orange}{0}^{\textcolor{olive}{2}} = 4 - 0 = 4$

Die Stammfunktion von 2x ist nämlich x², weil die Ableitung von x² gleich 2x ist (HDI).

$\int_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{blue}{3}} \textcolor{red}{e^x} \; dx = \left[ \textcolor{olive}{e^x} \right]_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{blue}{3}} = \textcolor{olive}{e}^{\textcolor{blue}{3}} - \textcolor{olive}{e}^{\textcolor{orange}{-1}}$

Die Stammfunktion von e^x ist wieder e^x , weil die e-Funktion abgeleitet wieder die e-Funktion ist.

Aber wie kannst du ein Integral berechnen, wenn du nicht sofort die Stammfunktion siehst? Um die Größe deines Integrals abzuschätzen, kannst du den Flächeninhalt vieler kleiner Rechtecke verwenden. Zeichnest du die Rechtecke unterhalb deiner Funktion, nennst du das die Untersumme. Wenn du unendlich viele und unendlich schmale Rechtecke benutzt, ist deine Untersumme gleich deinem Integralwert.

integral, berechnen, integrieren, funktion, untersumme — Die Untersumme (grün) von x=0 bis x=4 einer Funktion (rot).

Umgekehrt kannst du die Rechtecke auch oberhalb deines Graphen zeichnen. Dann überschätzt du die Größe deines Integrals und nennst es die Obersumme. Du kannst aber auch mit der Obersumme den richtigen Wert von deinem Integral ausrechnen, wenn du unendlich viele, unendlich schmale Rechtecke verwendest.

Integralfunktion integrieren

Wenn die Breite deiner Rechtecke unendlich klein wird und die Anzahl deiner Rechtecke unendlich groß wird, ist deine Obersumme gleich der Untersumme. Wenn die Unter- und Obersumme gleich sind, hast du dein Integral berechnet. Es gibt auch ein paar hilfreiche Rechenregeln, mit denen du Funktionen integrieren kannst, ohne die Unter- oder Obersumme ausrechnen zu müssen.

integral, berechnen, integrieren, integrale, obersumme, funktion — Die Obersumme (grün) von x=0 bis x=4 einer Funktion (rot).

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Integrationsregeln

1.Regel: Obere Grenze = Untere Grenze

$\int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = 0$

Wenn du das Integral von x=a bis x=a ausrechnest, ist es das gleiche, wie eine Fläche mit den Seiten 0 und f(a) auszurechnen. Das machst du, indem du beide Seiten multiplizierst: $0\cdot f(a) = 0$ . Das Ergebnis ist also 0.

integral, berechnen, integrieren, integralfunktion, integrale, funktion — Das Integral von a bis a hat die Breite 0 und die Höhe f(a).

2.Regel: Umkehren der Grenzen

Vertauschst du die obere und untere Integrationsgrenze, wechselt auch das Vorzeichen von deinem Integral von plus nach minus oder von minus nach plus.

$\int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = - \int_{\textcolor{blue}{b}}^{\textcolor{orange}{a}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x}$

3.Regel: Additivität (Summenregel)

Du kannst jedes Integral auch als Summe von zwei kleineren Integralen berechnen. Wenn du von a bis b und von b bis c integrierst, ist es das gleiche wie von a bis c zu integrieren.

$\int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{olive}{b}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} + \int_{\textcolor{olive}{b}}^{\textcolor{blue}{c}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{blue}{c}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x}$

4.Regel: Vorfaktoren rausziehen (Faktorregel)

Zahlen, die in deinem Integral stehen, kannst du immer vor das Integral ziehen. Wenn du zum Beispiel deine Integralfunktion mit c multiplizierst, kannst du auch einfach das Integral mit c multiplizieren.

$\int_a^b \textcolor{red}{c}\cdot f(x)\mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{c}\cdot\int_a^b f(x)\mathop{\mathrm{d}x}$

5.Regel: Integralfunktionen addieren

Wenn deine Integralfunktion eine Summe aus zwei Funktionen f(x) und g(x) ist, kannst du auch dein Integral als Summe von zwei einzelnen Integralen schreiben.

$\int_a^b f(x)+g(x) \mathop{\mathrm{d}x} = \int_a^b f(x) \mathop{\mathrm{d}x} +\int_a^b g(x) \mathop{\mathrm{d}x}$

6.Regel: Punktsymmetrische Funktionen

Wenn du eine Funktion integrierst, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, brauchst du manchmal das Integral gar nicht auszurechnen. Falls die obere Integrationsgrenze a gleich der unteren Integrationsgrenze mit negativem Vorzeichen -a ist, verschwindet das Integral.

Du siehst, warum es stimmt, wenn du das Teilintegral links und rechts vom Ursprung vergleichst. Sie sind genau gleich groß, aber sie haben unterschiedliche Vorzeichen. Zusammen ergeben sie also 0.

$\int_{\textcolor{red}{-a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(x)\mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{ \int_{-a}^0 f(x)\mathop{\mathrm{d}x} } + \textcolor{blue}{ \int_0^a f(x)\mathop{\mathrm{d}x} } = 0$

7.Regel: Achsensymmetrische Funktion

Wenn deine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kannst du viele Integrale vereinfachen. Für Integrale, die von -a bis a gehen, kannst du auch nur zwei mal das Integral von 0 bis a ausrechnen, weil die Teilintegrale links und rechts der y-Achse gleich groß sind.

$\int_{\textcolor{red}{-a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = 2\cdot\int_0^{\textcolor{blue}{a}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x}$

8.Regel: Betrag

Für den Betrag des Integrals $|\int_a^b f(x) dx|$ berechnest du auch zuerst alle Teilintegrale. Allerdings haben dann alle Teilintegrale ein positives Vorzeichen.

Dabei gilt immer:

$\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$

Mit dem Beispiel aus der 6.Regel berechnest du den Betrag also so:

$\int_{\textcolor{red}{-a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(x)\mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{\left| \int_{-a}^0 f(x)\mathop{\mathrm{d}x}\right| } + \textcolor{blue}{ \left|\int_0^a f(x)\mathop{\mathrm{d}x}\right| } = 2 \cdot \textcolor{red}{ \int_{-a}^0 f(x)\mathop{\mathrm{d}x} }$

Beide Teilintegrale sind ja gleich groß.

Integral — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob ich Flächeninhalt oder orientierte Fläche berechne?

Du berechnest eine orientierte Fläche, wenn du $\int_a^b f(x)\,dx$ direkt auswertest und Vorzeichen zulässt. Liegt unter der x-Achse, wird der Integralwert dort negativ. Den Flächeninhalt bekommst du, wenn du unterhalb der x-Achse mit Beträgen rechnest, also $\int_a^b |f(x)|\,dx$ .
Wann muss ich das Integral in Teilintervalle aufteilen?

Du musst das Integral in Teilintervalle aufteilen, wenn sich im Intervall das Vorzeichen von ändert oder du Beträge berechnen willst. Dann trennst du an den Nullstellen oder an Stellen, wo sich die Situation ändert. Beispiel: Für den Flächeninhalt bei Vorzeichenwechsel rechnest du $\int_a^c |f(x)|\,dx + \int_c^b |f(x)|\,dx$ .
Welche Fehler passieren oft beim Einsetzen der Grenzen in F(b) minus F(a)?

Ein häufiger Fehler ist, statt zu rechnen und dadurch das Vorzeichen zu vertauschen. Außerdem werden Klammern beim Einsetzen von oft vergessen, besonders bei Minuswerten. Beispiel: Bei ist $F(-1)=(-1)^2-3\cdot(-1)=1+3$ , nicht .
Wie finde ich eine Stammfunktion, wenn ich sie nicht sofort sehe?

Eine Stammfunktion findest du oft, indem du die Funktion in einfache Summanden zerlegst und Standardregeln nutzt. Ziehe zuerst Vorfaktoren heraus und integriere dann termweise, statt alles auf einmal zu „erraten“. Beispiel: Aus wird $\int 2x\,dx+\int e^x\,dx = x^2+e^x + C$ .
Warum brauche ich beim unbestimmten Integral eine Konstante C?

Du brauchst beim unbestimmten Integral die Konstante , weil Ableiten konstante Zahlen „verschwinden“ lässt. Deshalb haben unendlich viele Funktionen dieselbe Ableitung und unterscheiden sich nur um eine Konstante. Beispiel: , und haben alle die Ableitung , daher $\int 2x\,dx = x^2 + C$ .

Bestimmtes und Unbestimmtes Integral

Beim Integralberechnen kannst du zwei verschiedene Integrale berechnen: Mit dem bestimmten Integral rechnest du die Fläche A unter dem Graphen von f(x) aus. Dabei rechnest du die Fläche zwischen der Stelle a und der Stelle b aus.

$A = \int_a^b f(x)\mathop{\mathrm{d}x}$

Bei einem unbestimmten Integral benutzt du als untere Integrationsgrenze x=0 und für die obere Integrationsgrenze die neue Variable t. Wenn du das unbestimmte Integral berechnest, bekommst du die Stammfunktion F(t) von der Integralfunktion f(x). Das nennst du auch f(x) integrieren.

$F(t) = \int_a^t f(x)\mathop{\mathrm{d}x}$

Wichtig: Wenn du deine Stammfunktion F(t) ableitest , bekommst du wieder deine Integralfunktion f(x).
Das ist so ein wichtiges Konzept, dass es einen eigenen Namen hat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)

$\textcolor{olive}{F(\textcolor{blue}{t})} = \int_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{blue}{t}} \textcolor{red}{f(x)} \mathop{\mathrm{d}x}$