Punktsymmetrie zum Ursprung

Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung?

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0), wenn du sie an diesem Punkt spiegeln kannst. Wenn du also den Funktionsgraphen um 180º um den Ursprung drehen würdest, würde er immer noch gleich aussehen. 

Schau dir dazu einmal den Graphen von der Funktion f(x) = x³ an:

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Nimm zum Beispiel den Punkt (2|8). Wenn du den am Koordinatenursprung spiegelst, erhältst du den Punkt (−2|−8). Der ist auch auf dem Funktionsgraphen von f(x) = x³.

Damit eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss für alle ihre Punkte gelten: Wenn du sie am Ursprung spiegeln würdest, wäre ihr Spiegelbild auch auf dem Graphen der Funktion.

Mathematisch kannst du das so ausdrücken:

Punktsymmetrie zum Ursprung überprüfen

Wenn du wissen willst, ob eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder nicht, kannst du die Bedingung f(−x) = − f(x) überprüfen.

Dafür bildest du f(−x) und − f(x), vereinfachst die Funktionen und vergleichst sie.

Schau dir das wieder an der Funktion f(x) = x³ an: 

1. Bilde die Funktion f(−x)
   Zuerst bildest du die Funktion f(−x) aus f(x). Dafür gehst du so vor: 
   Schritt 1: Setze −x in die Funktion ein. Dabei ersetzt du jedes x in der Funktionsgleichung mit − x. Vergiss dabei nicht, das − x erstmal in Klammern zu setzen. 
   f(x) = x³
    
   f(−x) = (−x)³
              
   Schritt 2: Vereinfache die Funktion. Das machst du, indem du die Klammern mit dem −x ausmultiplizierst. 
   f(−x) = (−x)³
             = (−1 • x)³
             =  (− 1)³ • x³                 → f(−x) = −  x³
             = − 1 · x³
             = −  x³
                                          
2. Bilde die Funktion − f(x)
   Als Nächstes bildest du die Funktion − f(x). Das machst du so:
   Schritt 1: Multipliziere die gesamte Funktion mit −1. Setze deine Funktion dabei in Klammern. 
   f(x) = x³     | · (− 1) 
    
   − f(x) = −(x³)
              
   Schritt 2: Vereinfache wieder die Funktion. Das machst du, indem du die Klammer um deine Funktion ausmultiplizierst.
   − f(x) = −(x³)
              = − 1 · x³                 → − f(x) = − x³
              = − x³
          
3. Vergleiche beide Funktionen. 
   Jetzt kannst du f(−x) und − f(x) vergleichen. Wenn beide gleich sind, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
   f(−x) = −x³ und − f(x) = −x³
    
   Du siehst: f(−x) = − f(x) und damit ist diese Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).

Schau dir das nochmal Schritt für Schritt an einem weiteren Beispiel an!

Punktsymmetrie überprüfen — Beispiel

Stell dir vor, du willst überprüfen, ob die Funktion f(x)= −2 x⁵ + x³ punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dabei gehst du wieder in mehreren Schritten vor: 

1. Bilde die Funktion f(−x)
   Schritt 1: Setze −x in die Funktion ein. 
   f(x)= −2 x⁵ + x³
    
     f(−x) = −2 (−x)⁵ + (−x)³
           
   Schritt 2: Vereinfache die Funktion, indem du die Klammern ausmultiplizierst. 
   f(−x) = −2 (−x)⁵ + (−x)³
             = −2 · (−1)⁵ · x⁵ + (−1)³ · x³
             = −2 · (−1) · x⁵ + (−1) · x³
             = 2 x⁵ + (− x³)
             = 2 x⁵ −x³
    
2. Bilde die Funktion − f(x)
   Schritt 1: Multipliziere die gesamte Funktion mit −1. 
   f(x)= −2 x⁵ + x³             | · (− 1) 
   − f(x) = − ( −2 x⁵ + x³)

   Schritt 2: Vereinfache wieder die Funktion, indem du die Klammer ausmultiplizierst.
   − f(x) = − ( −2 x⁵ + x³)
   

              = −1 · (−2 x⁵) + (−1) · x³
              =  2 x⁵ − x³
3. Vergleiche beide Funktionen
   f(−x) = 2 x⁵ − x³ und − f(x)  =  2 x⁵ − x³
   also gilt f(−x) = −f(x)
   Damit ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. 

Tipp: Wenn du Funktionen hast, die nur ungerade Hochzahlen besitzen, dann sind sie punktsymmetrisch. Zum Beispiel f(x) = x⁵ + x³.
Wenn gerade Exponenten dabei sind oder wenn eine Konstante addiert wird, sind sie nicht mehr punktsymmetrisch zum Ursprung.
Zum Beispiel f(x) = x⁵ + x² oder f(x) = x³ + 6. 

Übungen

Aufgabe 1: Prüfe, ob die Funktion f(x)= −2 x⁵ + x⁴ punktsymmetrisch zum Ursprung ist. 

Lösung:

1. Bilde f(−x) : 
f(−x) = −2 (−x)⁵ + (−x)⁴
          = −2 · (−1)⁵ · x⁵ + (−1)⁴ · x⁴
          = −2 ·( −1) · x⁵ + 1 · x⁴
          = 2 x⁵ + x⁴

2. Bilde − f(x):
− f(x) = − ( −2 x⁵ + x⁴ )
           = (−1) · −2 x⁵  + (−1) · x⁴
           =  2 x⁵ − x⁴

3. Vergleiche beide Funktionen:
f(−x) = 2 x⁵ + x⁴ und − f(x)  = 2 x⁵ − x⁴
also ist f(−x)  nicht das Gleiche wie − f(x). 
→ Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. 

Aufgabe 2: Prüfe, ob die Funktion f(x)= x punktsymmetrisch zum Ursprung ist. 

Lösung:

1. Bilde f(−x) : 
f(−x) = (−x)
          = −x 

2. Bilde − f(x):
− f(x) = − ( )
           = − 1 · x · ( )
           = −x 
           

3. Vergleiche beide Funktionen:
f(−x) = −x  und − f(x) = −x 
Damit gilt f(−x) = − f(x). 
→ Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 

Achsensymmetrie

Jetzt kannst du schon Punktsymmetrie zum Ursprung bei Funktionen überprüfen. Eine andere Form der Symmetrie ist die Achsensymmetrie. Die kannst du dir hier anschauen.