Primzahlen
Du möchtest wissen, was Primzahlen sind und wie du sie erkennst? Hier und im Video erklären wir alles rund um die besonderen Zahlen!
Inhaltsübersicht
Was sind Primzahlen?
Primzahlen sind natürliche Zahlen. Sie haben genau zwei Teiler: Du kannst sie nur durch 1 und sich selbst teilen.
- Die 5 ist beispielsweise eine Primzahl, da du sie nur durch 1 und durch 5 teilen kannst. ✓
- Die 4 dagegen kannst du neben der 1 und der 4 auch noch durch 2 teilen. Sie hat also mehr als zwei Teiler und ist damit keine Primzahl. ✗
Es hilft dir, wenn du die Primzahlen auswendig kennst oder zumindest eine Liste davon hast. Deshalb hast du hier direkt eine Übersicht aller Primzahlen bis 100.
Wichtig: Primzahlen gehören zu den natürlichen Zahlen. Das bedeutet, dass Primzahlen immer ganze Zahlen ohne Komma sind. Deshalb müssen die Teiler von Primzahlen auch natürliche Zahlen sein. Wenn du zum Beispiel 5 durch 2 teilst, erhältst du 2,5 — das ist aber keine natürliche Zahl. Deswegen ist die 5 nicht durch 2, sondern nur durch 5 und 1 teilbar.
Sind 0 und 1 Primzahlen?
Ob die Zahlen 0 und 1 Primzahlen sind, kannst du einfach herausfinden. Dazu überprüfst du, ob die Zahlen mehr als zwei Teiler haben:
Ist 0 eine Primzahl?
Du kannst zwar 0 durch 1 teilen (0 : 1 = 0), aber es wird problematisch, wenn du versuchst 0 durch sich selbst zu teilen. Es ist nämlich nicht möglich, durch 0 zu teilen.
→ ✗ Die 0 ist deshalb keine Primzahl.
Ist 1 eine Primzahl?
Du kannst 1 sowohl durch sich selbst, als auch durch 1 teilen, weil du in beiden Fällen das Gleiche rechnest (1 : 1 = 1). Bei einer Primzahl brauchst du jedoch zwei verschiedene Teiler und die 1 hat nur einen einzigen Teiler.
→ ✗ Die 1 ist deshalb keine Primzahl.
Gut zu wissen: Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen Primzahlen sind ungerade.
Wozu sind Primzahlen wichtig?
Mit Primzahlen kannst du herausfinden, ob du eine Zahl in kleinere Teile zerlegen kannst oder nicht. In der Mathematik hilft dir das zum Beispiel beim Kürzen von Brüchen. Wenn du weißt, welche Zahlen Primzahlen sind, erkennst du schneller, ob zwei Zahlen gemeinsame Teiler haben.
Schon gewusst? Auch in der Technik spielen Primzahlen eine große Rolle — vor allem bei der Verschlüsselung. Wenn du zum Beispiel eine Nachricht über WhatsApp verschickst oder Online-Banking nutzt, wird dein Code mit sehr großen Primzahlen geschützt. Weil sie sehr schwer vorherzusagen sind, eignen sie sich super für sichere Passwörter und Datenübertragungen.
Wie bestimmst du Primzahlen?
Manchmal musst du selbst bestimmen, ob eine Zahl eine Primzahl ist. Das machst du, indem du sie schrittweise durch andere Primzahlen teilst. Wenn die Zahl nämlich durch andere Primzahlen teilbar ist, hat sie mehr als zwei Teiler und ist damit keine Primzahl.
Beispiel 1: Ist 21 eine Primzahl?
Als Erstes musst du herausfinden, ob du 21 durch andere Primzahlen teilen kannst. Gehe dafür schrittweise bekannte Primzahlen durch. Beispielsweise eignen sich 2, 3, 5 und 7 für den Anfang besonders gut.
- 21 : 2 = 10,5 → Das Ergebnis ist eine Kommazahl. 2 ist also kein Teiler von 21. Dann musst du die nächste Primzahl ausprobieren.
- 21 : 3 = 7 → Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Das bedeutet, dass 7 ein Teiler von 21 ist. Die Zahl 21 hat somit mehr als zwei Teiler und ist deshalb keine Primzahl.
Beispiel 2: Ist 49 eine Primzahl?
Hier gehst du wie beim ersten Beispiel vor. Prüfe Schritt für Schritt, ob du 49 durch andere Primzahlen teilen kannst.
- 49 : 2 = 24,5 → Das Ergebnis 24,5 ist keine natürliche Zahl. Also ist 2 kein Teiler von 49.
- 49 : 3 = 16,33… → Auch 3 ist kein Teiler von 49.
- 49 : 5 = 9,8 → Leider ist die 5 ebenfalls kein Teiler von 49.
- 49 : 7 = 7 → Die Zahl 7 ist ein rundes Ergebnis und damit eine natürliche Zahl. Das heißt, du hast einen dritten Teiler gefunden und 49 ist keine Primzahl.
Beispiel 3: Ist 13 eine Primzahl?
Jetzt kennst du den Ablauf bereits. Überprüfe als Letztes noch die 13.
- 13 : 2 = 6,5
- 13 : 3 = 4,33…
- 13 : 5 = 2,6
- 13 : 7 = 1,85…
Für die 13 findest du keine weiteren Teiler. Das bedeutet also, dass du 13 nur durch 1 und sich selbst teilen kannst. Also ist 13 eine Primzahl.
So bestimmst du Primzahlen mit dem Sieb des Erastothenes
Mit dem Sieb des Eratosthenes bestimmst du Primzahlen ohne, dass du rechnen musst. Schau dir anhand der Zahlen 1 bis 100 an, wie diese Methode funktioniert. Dabei listest du zuerst alle Zahlen übersichtlich nacheinander auf.
Danach streichst du alle Zahlen heraus, von denen du weißt, dass es sich um keine Primzahlen handelt. Wie du oben schon erfahren hast, ist die 1 keine Primzahl. Daher kannst du sie aus der Liste streichen.
Die nächste Zahl ist die 2. Von der 2 wissen wir schon, dass es eine Primzahl ist, deswegen kannst du sie markieren. Wenn du eine Primzahl entdeckt hast, streichst du immer alle Vielfachen von der Zahl durch. Jede Vielfache von 2 ist nämlich nicht nur durch 1 und sich selbst teilbar, sondern auch durch 2. Deswegen kann es sich bei den Vielfachen um keine Primzahlen handeln.
Als Nächstes machst du den Schritt mit der 3. Die 3 ist ebenfalls eine Primzahl, weshalb du alle Vielfachen von 3 streichen musst.
Darauf folgt die 4, die wir bereits gestrichen haben. Also kannst du direkt mit der 5 weitermachen. Da die 5 nur durch sich selbst und 1 teilbar ist, kannst du sie markieren.
Die nächste nicht gestrichene Zahl wäre jetzt die 7. Auch sie ist eine Primzahl, weshalb du alle Vielfache davon aus der Liste streichen kannst.
Jetzt kannst du das Vorgehen mit allen anderen Zahlen, die du noch nicht herausgestrichen hast, wiederholen. Am Ende sollte das Sieb des Eratosthenes von 1 bis 100 so aussehen.
Du kannst das Sieb des Eratosthenes für beliebig große Zahlen anwenden. Je mehr Zahlen du jedoch prüfen willst, desto aufwendiger wird die Methode.
Anwendung von Primzahlen: Primfaktorzerlegung
Stell dir Primzahlen wie die „Bausteine“ von natürlichen Zahlen vor. Du kannst jede Zahl aus dem Produkt von Primzahlen darstellen.
- 10 = 2 · 5
- 36 = 2 · 2 · 3 · 3
Das ist wie gesagt praktisch, wenn du Brüche kürzen willst und dafür den kleinsten gemeinsamen Teiler suchst.
Wenn du eine Zahl in ihre kleinsten Primzahlen aufteilst, nennst du das auch Primfaktorzerlegung. Sie funktioniert am besten, wenn du deine Zahl erst durch 2 teilst und die übrigen Teiler dann weiter zerlegst.
Schau dir die Primfaktorzerlegung an zwei Beispielen genauer an:
12 = 2 · 6 → (12 : 2 = 6 ⇔ 2 · 6 = 12). Teile erst durch 2. Der übrige Teiler 6 ist noch keine Primzahl. Du kannst ihn also weiter zerlegen.
12 = 2 · 2 · 3→ Jetzt hast du 12 in ihre Teiler zerlegt. Da 2 und 3 Primzahlen sind, kannst du sie nicht weiter zerlegen.
30 = 2 · 15 → Die 30 teilst du wieder durch 2. Die 15 kannst du noch weiter teilen.
30 = 2 · 3 · 5→ Mit der 3 und 5 kannst du die Zahl komplett zerlegen.
Besondere Primzahlen: Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge
Bei den Primzahlen gibt es auch sogenannte Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge. Primzahlzwillinge sind Primzahlen, zwischen denen nur eine Zahl liegt, wie z. B. 17 und 19 oder 71 und 73. Damit haben Primzahlzwillinge immer eine Differenz von 2 (19 — 17 = 2).
Bei Primzahldrillingen hingegen liegt zwischen zwei der drei Zahlen eine weitere Zahl. Diese haben also immer eine Differenz von 2. Zwischen den anderen Zahlen muss ein Abstand von drei Zahlen liegen und damit eine Differenz von 4. Beispielsweise ist 11, 13 und 17 ein Primzahldrilling (13 — 11 = 2; 17 — 13 = 4). Die einzige Ausnahme zu dieser Regel ist der Primzahldrilling 3, 5 und 7. Hier ist die Differenz immer 2.
Primfaktorzerlegung
Jetzt weißt du alles, was es über Primzahlen zu wissen gibt. Wenn du Zahlen in ihre Faktoren zerlegen musst, brauchst du die Primfaktorzerlegung! In diesem Video zeigen wir dir anhand von vielen Beispielen nochmal genau, wie sie funktioniert!
