Was ist der Dreisatz in Mathe?

Der Dreisatz ist eine Rechenmethode, mit der du aus einem bekannten Verhältnis eine fehlende Größe berechnest. Du nutzt ihn, wenn zwei Größen zusammenhängen, zum Beispiel Menge und Preis. Typisch sind drei Schritte: auf 1 Einheit umrechnen und dann auf den gesuchten Wert hochrechnen.

Wie rechne ich eine Aufgabe mit proportionalem Dreisatz Schritt für Schritt?

Einen proportionalen Dreisatz rechnest du so: Erstens schreibst du das bekannte Verhältnis sauber auf. Zweitens rechnest du auf 1 Einheit um, indem du beide Seiten durch dieselbe Zahl teilst. Drittens rechnest du von 1 Einheit auf den Zielwert, indem du beide Seiten mit derselben Zahl multiplizierst.

Woran erkenne ich, ob ein Zusammenhang proportional oder antiproportional ist?

Proportional bedeutet: Je mehr von Größe A, desto mehr von Größe B (oder je weniger, desto weniger). Antiproportional bedeutet: Je mehr von A, desto weniger von B (oder je weniger, desto mehr). Zum Beispiel sind Menge und Preis proportional, aber Geschwindigkeit und Fahrzeit sind antiproportional.

Wie rechne ich eine Aufgabe mit antiproportionalem Dreisatz Schritt für Schritt?

Einen antiproportionalen Dreisatz rechnest du so: Erstens notierst du die Zuordnung (z. B. Zeit und Geschwindigkeit). Zweitens rechnest du eine Größe auf 1 Einheit um, aber die andere Größe rechnest du genau „entgegengesetzt“ (wenn du hier teilst, musst du dort multiplizieren). Drittens gehst du vom 1er-Wert zum Ziel und rechnest wieder entgegengesetzt.

Wie kann ich beim Dreisatz prüfen, ob mein Ergebnis stimmt?

Beim proportionalen Dreisatz prüfst du, ob der Quotient konstant bleibt, also in jeder Zeile gleich ist. Beim antiproportionalen Dreisatz prüfst du, ob das Produkt konstant bleibt (erste Größe mal zweite Größe). Zusätzlich hilft ein Plausibilitätscheck: Passt „mehr–mehr“ oder „mehr–weniger“ zum Ergebnis?

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Dreisatz einfach erklärt

Den Dreisatz brauchst du in Mathe genauso wie im Alltag. Wie er funktioniert, erklären wir dir hier und in unserem Video. Schritt für Schritt!

Inhaltsübersicht

Dreisatz einfach erklärt

Der Dreisatz ist ein nützliches Verfahren in Mathe. Denn mit ihm kannst du aus zwei gegebenen Größen eine fehlende Größe berechnen. Dazu brauchst du nur drei Schritte — daher der Name „Dreisatz“.

Beispiel: An der Käsetheke bezahlst du 17 € für 500 g Käse. Hier wird also einer Menge (kg/g) ein Preis (€) zugeordnet .

Nun möchtest du aber kein halbes Kilo Käse kaufen, sondern nur 200 Gramm. Doch wie viel musst du dafür bezahlen? Das berechnest du mit dem Dreisatz:

1. Schritt: Du weißt, dass du 500 g Käse für 17 € bekommst.
2. Schritt: Berechne, was 100 g Käse kosten. Dafür rechnest du auf beiden Seiten durch 5.
500 g : 5 = 100 g
17 € : 5 = 3,40 € → 100 g Käse kosten 3,40 €
3. Schritt: Berechne jetzt, was 200 g Käse kosten. Dafür rechnest du auf beiden Seiten mal 2.
100 g • 2 = 200 g
3,40 € • 2 = 6,80 € → 200 g Käse kosten 6,80 €

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Hierbei handelt es sich um einen proportionalen Zusammenhang. Daneben gibt es aber auch noch den umgekehrten Fall — den antiproportionalen Zusammenhang. Was beides bedeutet, schauen wir uns im Folgenden genauer an.

Dreisatz — proportional & antiproportional

Beim Dreisatz unterscheidest du zwischen dem proportionalen und dem antiproportionalen Zusammenhang. Bevor du also den Dreisatz anwenden kannst, musst du prüfen, um welches der beiden Verhältnisse es sich handelt.

Beim proportionalen Verhältnis gilt die Regel: „Je mehr, desto mehr“ oder „Je weniger, desto weniger“. Das siehst du auch an unserem Beispiel an der Käsetheke:

Je mehr Käse du kaufst, desto mehr Geld musst du bezahlen.
Je weniger Käse du kaufst, desto weniger Geld musst du bezahlen.

Beispiele für den proportionalen Zusammenhang sind:

Menge und Preis: Je mehr von einem Produkt du kaufst, desto mehr musst du ausgeben.
Rezept und Zutaten: Je mehr Kuchen du backst, desto mehr Mehl brauchst du.

Beim antiproportionalen Zusammenhang sieht das anders aus. Es gilt: „Je mehr, desto weniger“ oder „Je weniger, desto mehr“. Ein Beispiel dafür ist das Verhältnis zwischen der Internetverbindung und der Downloadzeit:

Je schneller die Internetverbindung, desto kürzer die Downloadzeit.
Je langsamer die Internetverbindung, desto länger die Downloadzeit.

Weitere antiproportionale Zusammenhänge sind zum Beispiel:

Geschwindigkeit und Fahrzeit: Je schneller du fährst, desto weniger Zeit benötigst du für die Strecke.
Arbeitsdauer und Anzahl der Arbeiter: Je mehr Arbeiter eine Aufgabe erledigen, desto weniger Zeit benötigen sie dafür.

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Proportionaler Zusammenhang — Beispiel

Der proportionale Dreisatz ist der normale Dreisatz, den du jetzt schon vom Einkaufen kennst: Je mehr du von etwas kaufst, desto mehr musst du auch bezahlen. Schauen wir uns noch ein anderes Beispiel zum proportionalen Zusammenhang an:

Du möchtest einen Kuchen für 4 Personen backen. Das Rezept besagt, dass du für 6 Personen 390 g Mehl benötigst. Wie viel Mehl brauchst du also für 4 Personen?

Erstelle eine Tabelle mit zwei Spalten. Links schreibst du die Anzahl der Personen hin und rechts die Menge Mehl in Gramm. In die Tabelle fügst du dann die Werte ein, die du schon kennst: 390 g für 6 Personen.
Nun berechnest du in einem Zwischenschritt, wie viel Mehl für nur eine Person notwendig ist. Dafür rechnest du beide bekannten Größen durch 6:
390 g : 6 = 65 g → Für eine Person brauchst du also 65 g Mehl.
Um jetzt zu bestimmen, wie viel Mehl für 4 Personen notwendig ist, multiplizierst du auf beiden Seiten mit 4:
65 g • 4 = 260 g → Für deinen Kuchen für 4 Personen brauchst du nur 260 g Mehl.

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Probe — Quotientengleichheit

Mit der Quotientengleichheit kannst du prüfen, ob es sich bei deiner Berechnung wirklich um einen proportionalen Zusammenhang handelt. Dabei berechnest du für jede Zeile deiner Tabelle den Quotienten. Wenn es eine proportionale Zuordnung ist, ist der Quotient immer gleich:

390 : 6 = 65
65 : 1 = 65
260 : 4 = 65

Tipp: Du kannst den proportionalen Dreisatz auch schneller mit Brüchen lösen. Für unser Kuchen-Beispiel sieht das so aus: $\frac{390g}{6} = \frac{x}{4}$ . Das löst du nach x auf, indem du mit 4 multiplizierst: $x = \frac{390g \cdot 4}{6} = 260g$ .

Antiproportionaler Zusammenhang — Beispiel

Handelt es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang, sieht die Dreisatz-Rechnung etwas anders aus.

Du fährst mit dem Fahrrad zum See. Mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h brauchst du 2,5 Stunden für die Strecke. Wie schnell müsstest du fahren, wenn du die Strecke in nur 2 Stunden schaffen möchtest?

Erstelle eine Tabelle mit zwei Spalten für die Fahrzeit und die Geschwindigkeit. Dort fügst du dann die Werte ein, die du schon kennst: 2,5 h mit 12 km/h.
Für den Zwischenschritt berechnest du nun, wie schnell du fahren müsstest, um die Strecke in einer Stunde zu schaffen. Dafür rechnest du die Zeit durch 2,5, aber die Geschwindigkeit mal 2,5. Denn wenn die Zeit sinkt, muss die Geschwindigkeit steigen:
2,5 h : 2,5 = 1 h
12 km/h • 2,5 = 30 km/h → Um in 1 h am See zu sein musst du 30 km/h schnell fahren.
Jetzt kannst du bestimmen, wie schnell du fahren musst, um in 2 Stunden am See zu sein. Auch hier rechnest du wieder antiproportional: Die Zeit multiplizierst du mit 2. Für die Geschwindigkeit rechnest du jedoch durch 2:
1 h • 2 = 2 h
30 km/h : 2 = 15 km/h → Wenn du 15 km/h schnell fährst, bist du in 2 Stunden am See.

Probe — Produktgleichheit

Auch einen antiproportionalen Zusammenhang kannst du überprüfen. Nämlich mit der Produktgleichheit. Handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung ist, ist das Produkt immer gleich:

2,5 • 12 = 30
1 • 30 = 30
2 • 15 = 30

Thema — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Dreisatz in Mathe?

Der Dreisatz ist eine Rechenmethode, mit der du aus einem bekannten Verhältnis eine fehlende Größe berechnest. Du nutzt ihn, wenn zwei Größen zusammenhängen, zum Beispiel Menge und Preis. Typisch sind drei Schritte: auf 1 Einheit umrechnen und dann auf den gesuchten Wert hochrechnen.
Wie rechne ich eine Aufgabe mit proportionalem Dreisatz Schritt für Schritt?

Einen proportionalen Dreisatz rechnest du so: Erstens schreibst du das bekannte Verhältnis sauber auf. Zweitens rechnest du auf 1 Einheit um, indem du beide Seiten durch dieselbe Zahl teilst. Drittens rechnest du von 1 Einheit auf den Zielwert, indem du beide Seiten mit derselben Zahl multiplizierst.
Woran erkenne ich, ob ein Zusammenhang proportional oder antiproportional ist?

Proportional bedeutet: Je mehr von Größe A, desto mehr von Größe B (oder je weniger, desto weniger). Antiproportional bedeutet: Je mehr von A, desto weniger von B (oder je weniger, desto mehr). Zum Beispiel sind Menge und Preis proportional, aber Geschwindigkeit und Fahrzeit sind antiproportional.
Wie rechne ich eine Aufgabe mit antiproportionalem Dreisatz Schritt für Schritt?

Einen antiproportionalen Dreisatz rechnest du so: Erstens notierst du die Zuordnung (z. B. Zeit und Geschwindigkeit). Zweitens rechnest du eine Größe auf 1 Einheit um, aber die andere Größe rechnest du genau „entgegengesetzt“ (wenn du hier teilst, musst du dort multiplizieren). Drittens gehst du vom 1er-Wert zum Ziel und rechnest wieder entgegengesetzt.
Wie kann ich beim Dreisatz prüfen, ob mein Ergebnis stimmt?

Beim proportionalen Dreisatz prüfst du, ob der Quotient konstant bleibt, also $\frac{\text{Wert}}{\text{Zuordnung}}$ in jeder Zeile gleich ist. Beim antiproportionalen Dreisatz prüfst du, ob das Produkt konstant bleibt (erste Größe mal zweite Größe). Zusätzlich hilft ein Plausibilitätscheck: Passt „mehr–mehr“ oder „mehr–weniger“ zum Ergebnis?