Wie berechnet man rationale zahlen?

Rationale Zahlen berechnest du, indem du sie erst in dieselbe Schreibweise bringst und dann die passende Rechenregel nutzt. Bei Brüchen brauchst du zum Addieren einen gemeinsamen Nenner. Zum Beispiel: .

Warum sind ganze Zahlen wie 7 oder minus 5 auch rationale Zahlen?

Ganze Zahlen wie 7 oder −5 sind auch rationale Zahlen, weil du jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben kannst. Zum Beispiel gilt und . Damit passen ganze Zahlen zur Definition „als Bruch darstellbar“.

Wie wandelt man eine periodische Dezimalzahl (z. B. 0 Komma 3 periodisch oder 0 Komma 1 gefolgt von periodisch wiederholter 6) in einen Bruch um?

Eine periodische Dezimalzahl wandelst du in einen Bruch um, indem du sie als setzt und die Periode durch Verschieben wegsubtrahierst. Zum Beispiel: , dann , also und . Für : , , also und .

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Rationale Zahlen

Rationale Zahlen begegnen dir überall — beim Rechnen mit Geld oder bei Mengenangaben in Rezepten. Was rationale Zahlen sind und woran du sie erkennst, das erfährst du hier und im Video.

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Inhaltsübersicht

Rationale Zahlen — einfach erklärt

In der Mathematik hast du vielleicht schon die Zahlenmengen der natürlichen Zahlen und der ganzen Zahlen kennengelernt. Nun kommt eine weitere Zahlenmenge hinzu: Die rationalen Zahlen. Das sind alle Zahlen, die du als Bruch schreiben kannst.

Zur Gruppe der rationalen Zahlen zählen also:

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$ , wie 1, 2, 3
Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ , also 0, 1 oder -5
Brüche, wie  $\frac{3}{5}$
Gemischte Brüche, also Kombinationen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, wie  $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Dezimalzahlen, die entweder endlich sind (zum Beispiel 1,25) oder sich periodisch wiederholen (zum Beispiel 0,333…)

Das mathematische Symbol für die Zahlenmenge der rationalen Zahlen ist $\mathbb{Q}$ .

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Übrigens: Das Symbol $\mathbb{Q}$ kommt vom lateinischen Wort „quotient“. Es beschreibt also das Ergebnis, wenn du eine Zahl durch eine andere teilst.

Eigenschaften von rationalen Zahlen

Rationale Zahlen haben ein paar typische Merkmale, an denen du sie erkennst.

Du kannst Rationale Zahlen als Bruch darstellen:

Zähler und Nenner des Bruchs müssen ganze Zahlen sein. Der Nenner darf dabei nie null sein. Wie hier: $\frac{3}{4}$
Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, kannst du den Bruch als gemischten Bruch schreiben — also mit einer ganzen Zahl und einem echten Bruch. Hier ist ein Beispiel: $1\frac{4}{1} = \frac{5}{1}, \quad 2\frac{4}{3} = \frac{10}{3}$

Rationale Zahlen kannst du auch als Dezimalzahlen schreiben:

Hierzu zählen die endlichen und periodischen Dezimalzahlen. Dazu teilst du einfach den Zähler durch den Nenner. Hier zwei Beispiele:

Endlich: $\frac{4}{5} = 0{,}8$
$Du rechnest 4 geteilt durch 5 und bekommst die Dezimalzahl 0,8.$
Unendlich (periodisch): $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$

Auch Dezimalzahlen lassen sich in Brüche umwandeln:

Die Dezimalzahl 0,6 steht für 6 Zehntel. Deswegen schreibst du 0,6 als Bruch mit 10 im Nenner und kürzt anschließend. Hier ist ein Beispiel: $0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .
Ein weiteres Beispiel ist: $1{,}75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ — denn ist dasselbe wie $\frac{3}{4}$ . Zusammen ergibt das den gemischten Bruch: $1{,}75 = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Rationale vs. irrationale Zahlen

Rationale Zahlen kannst du immer als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben. Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben — ihre Dezimalzahlen gehen unendlich weiter und zeigen kein erkennbares Muster. Beispiele für irrationale Zahlen sind:

Quadratwurzeln von Zahlen, die keine perfekten Quadrate sind, wie √2 ≈ 1,41421356…
Kreiszahl Pi: π ≈ 3,141592653…
Eulersche Zahl: e ≈ 2,7182818…

Diese Zahlen kannst du zwar mit einem Taschenrechner runden, aber nie exakt als Bruch oder einfache Dezimalzahl darstellen. Zusammen bilden sowohl rationale als auch irrationale Zahlen die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ab.

Rationale Zahlen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie berechnet man rationale zahlen?

Rationale Zahlen berechnest du, indem du sie erst in dieselbe Schreibweise bringst und dann die passende Rechenregel nutzt. Bei Brüchen brauchst du zum Addieren einen gemeinsamen Nenner. Zum Beispiel: $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ .
Warum sind ganze Zahlen wie 7 oder minus 5 auch rationale Zahlen?

Ganze Zahlen wie 7 oder −5 sind auch rationale Zahlen, weil du jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben kannst. Zum Beispiel gilt $7=\frac{7}{1}$ und $-5=\frac{-5}{1}$ . Damit passen ganze Zahlen zur Definition „als Bruch darstellbar“.
Wie wandelt man eine periodische Dezimalzahl (z. B. 0 Komma 3 periodisch oder 0 Komma 1 gefolgt von periodisch wiederholter 6) in einen Bruch um?

Eine periodische Dezimalzahl wandelst du in einen Bruch um, indem du sie als setzt und die Periode durch Verschieben wegsubtrahierst. Zum Beispiel: $x=0{,}\overline{3}$ , dann $10x=3{,}\overline{3}$ , also und $x=\frac{1}{3}$ . Für $0{,}1\overline{6}$ : $x=0{,}1\overline{6}$ , $10x=1{,}\overline{6}$ , also und $x=\frac{1{,}5}{9}=\frac{1}{6}$ .

Bruchrechnen Regeln

Super! Jetzt weißt du, was rationale Zahlen sind. Falls du auch wissen möchtest, wie du richtig mit Brüchen rechnest und worauf du dabei achten musst, erfährst du das in diesem Video!