Zentrische Streckung

Zentrische Streckung einfach erklärt

Hast du schonmal ein Bild auf dem Computer mit der Maus größer oder kleiner gezogen? Dann hast du die zentrische Streckung schon einmal angewendet! Denn diese Vergrößerung funktioniert nach demselben Prinzip.

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Mit der zentrischen Streckung kannst du Figuren vergrößern oder verkleinern. Dabei bleiben aber die Verhältnisse aller Strecken der Figur gleich. Vergrößerst du zum Beispiel ein Quadrat mit der zentrischen Streckung, ist es danach immer noch ein Quadrat. 

Als Ausgangspunkt der Streckung nimmst du dabei einen bestimmten Punkt. Diesen nennst du auch Streckungszentrum Z. Wie groß oder klein die Figur am Ende wird, bestimmt der Streckungsfaktor k.

Zentrische Streckung: Beispiel

Damit du die zentrische Streckung selbst anwenden kannst, ist sie hier nochmal an dem Beispiel eines Dreiecks zu sehen:

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Auf dem Bild siehst du ein Dreieck und den Punkt Z: Das Dreieck soll nun doppelt so groß werden. Den Punkt Z sollst du dabei als Streckungszentrum verwenden.

Dafür kannst du nach unserer Schritt-für-Schritt-Anleitung vorgehen: 

1. Geraden zeichnen:
   Zeichne zunächst eine Gerade von Z zu jeder Ecke des Dreiecks.

   

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2. Miss die Abstände:
   Nun musst du die Punkte des vergrößerten Dreiecks berechnen: Dazu misst du den Abstand von Z zu allen Ecken. Die Strecke zwischen Z und A hat zum Beispiel die Länge 5 LE.

3. Bestimme den Streckungsfaktor k: 
   In der Aufgabenstellung steht, die Größe des Dreiecks soll verdoppelt werden. Das entspricht einem Streckungsfaktor k = 2.

4. Berechne die Punkte des vergrößerten Dreiecks:
   Um die Punkte des größeren Dreiecks zu berechnen, musst du den Streckungsfaktor k mit dem Abstand von Z, zu den jeweiligen Punkten des Dreiecks multiplizieren: 2 · 5 LE = 10 LE. Das ist jetzt der Abstand zwischen Z und der neuen Ecke A‘ des vergrößerten Dreiecks.

    

   

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   Diesen Schritt wiederholst du dann mit allen Ecken: Miss den Abstand und verdopple diesen dann.
   
   
5. Zeichne die Bildfigur:
   Verbinde als letzten Schritt die neu bestimmten Eckpunkte zu einem Dreieck.

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Das entstandene Dreieck ist das Bild des Original-Dreiecks.

Eigenschaften der zentrischen Streckung

Jede zentrische Streckung hat dieselben Merkmale:

• Alle parallelen Strecken bleiben parallel
• Alle Winkel bleiben gleich (Winkeltreue) 
• Wenn der Faktor k größer als 1 (k>1) ist, dann wird die Figur vergrößert → Streckungsfaktor 
• Wenn der Faktor k kleiner als 1 (k<1) ist, dann wird die Figur verkleinert → Stauchungsfaktor 
• Wenn der Faktor k negativ ist, dann wird die Figur zusätzlich noch gespiegelt 

Zentrische Streckung durch Zirkel-Zeichnung

Die zentrische Streckung kannst du auch mithilfe eines Zirkels durchführen. Schau dir dazu die folgenden Schritte an:

1. Zeichne zunächst eine Gerade von Z zu den jeweiligen Ecken
   
   
2. Bestimme den ersten Bildpunkt:
   Danach zeichnest du einen Kreis um die Ecke A, auf dem Z liegt. Dieser Kreis schneidet die Gerade im Bildpunkt A‘.

   

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3. Bestimme alle weiteren Bildpunkte:
   Wiederhole den zweiten Schritt jetzt mit allen Ecken. Verbinde danach alle Bildpunkte.

Beachte: Streckungsfaktor k anpassen!

Der Abstand von dem Streckungszentrum Z zu A kann mit der Zirkel-Zeichnung immer nur verdoppelt werden. Das bedeutet, der Streckungsfaktor k ist immer 2.

Um andere Streckungsfaktoren abzubilden, musst du das Vorgehen so oft wiederholen, bis der Streckungsfaktor erreicht ist. Dabei änderst du den Mittelpunkt des Kreises.  (A → A‘ usw.)

Wenn k = 3 sein soll, dann musst du einen weiteren Kreis um A‘ zeichnen:

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Flächeninhalt 

Super! Jetzt kannst du die zentrische Streckung berechnen und konstruieren. Wenn du wissen willst, wie du den Flächeninhalt anderer Figuren berechnest, dann schau in unser Video über Flächeninhalte rein!