Hast du schonmal ein Bild auf dem Computer mit der Maus größer oder kleiner gezogen? Dann hast du die zentrische Streckung schon einmal angewendet! Denn diese Vergrößerung funktioniert nach demselben Prinzip.
zentrische Streckung in der Bildbearbeitung am Computer
Mit der zentrischen Streckung kannst du Figuren vergrößern oder verkleinern. Dabei bleiben aber die Verhältnisse aller Strecken der Figur gleich. Vergrößerst du zum Beispiel ein Quadrat mit der zentrischen Streckung, ist es danach immer noch ein Quadrat.
Als Ausgangspunkt der Streckung nimmst du dabei einen bestimmten Punkt. Diesen nennst du auch Streckungszentrum Z. Wie groß oder klein die Figur am Ende wird, bestimmt der Streckungsfaktor k.
Auf dem Bild siehst du ein Dreieck und den Punkt Z: Das Dreieck soll nun doppelt so groß werden. Den Punkt Z sollst du dabei als Streckungszentrum verwenden.
Dafür kannst du nach unserer Schritt-für-Schritt-Anleitung vorgehen:
Geraden zeichnen: Zeichne zunächst eine Geradevon Z zu jeder Ecke des Dreiecks.
Miss die Abstände: Nun musst du die Punkte des vergrößerten Dreiecks berechnen: Dazu misst du den Abstand von Z zu allen Ecken. Die Strecke zwischen Z und A hat zum Beispiel die Länge 5 LE.
Bestimme den Streckungsfaktor k: In der Aufgabenstellung steht, die Größe des Dreiecks soll verdoppelt werden. Das entspricht einem Streckungsfaktor k = 2.
Berechne die Punkte des vergrößerten Dreiecks: Um die Punkte des größeren Dreiecks zu berechnen, musst du den Streckungsfaktor k mit dem Abstand von Z, zu den jeweiligen Punkten des Dreiecks multiplizieren: 2 · 5 LE = 10 LE. Das ist jetzt der Abstand zwischen Z und der neuen Ecke A‘ des vergrößerten Dreiecks.
Bestimme alle weiteren Bildpunkte:
Wiederhole den zweiten Schritt jetzt mit allen Ecken. Verbinde danach alle Bildpunkte.
Beachte: Streckungsfaktor k anpassen!
Der Abstand von dem Streckungszentrum Z zu A kann mit der Zirkel-Zeichnung immer nur verdoppelt werden. Das bedeutet, der Streckungsfaktor k ist immer 2.
Um andere Streckungsfaktoren abzubilden, musst du das Vorgehen so oft wiederholen, bis der Streckungsfaktor erreicht ist. Dabei änderst du den Mittelpunkt des Kreises. (A → A‘ usw.)
Wenn k = 3 sein soll, dann musst du einen weiteren Kreis um A‘ zeichnen:
Expertenwissen: Flächeninhalt von gestreckten Figuren
Bei gestreckten Figurenmusst du den Flächeninhalt der Originalfigur mit dem quadrierten Streckungsfaktor (k2) multiplizieren.
ABild = k2 · AOriginal
Zentrische Streckung — häufigste Fragen
(ausklappen)
Wie finde ich das Streckungszentrum, wenn Original und Bild gegeben sind?
Das Streckungszentrum findest du, indem du zu mindestens zwei passenden Punktpaaren (z. B. und , und ) jeweils die Gerade durch beide Punkte zeichnest. Der Schnittpunkt dieser Geraden ist das Streckungszentrum. Zum Beispiel schneiden sich die Geraden und genau in .
Wie berechne ich den Streckungsfaktor aus zwei passenden Streckenlängen?
Den Streckungsfaktor berechnest du als Verhältnis von Bildlänge zu Originallänge: . Wichtig ist, dass die Strecken zueinander gehören (entsprechende Seiten oder Abstände vom Zentrum). Zum Beispiel gilt bei und : .
Welche Fehler passieren oft beim Zeichnen der Bildpunkte bei einer zentrischen Streckung?
Häufige Fehler sind: Bildpunkte werden nicht auf der Geraden durch Streckungszentrum und Originalpunkt gesetzt, Abstände werden addiert statt mit multipliziert und die Richtung wird bei negativem verwechselt. Beispiel: Bei muss doppelt so lang wie sein, nicht .
Wie erkenne ich in einer Zeichnung, ob k negativ ist?
Du erkennst ein negatives daran, dass jeder Bildpunkt auf der Verlängerung der Geraden durch Zentrum und Originalpunkt liegt, aber auf der gegenüberliegenden Seite des Streckungszentrums. Das entspricht einer Punktspiegelung an plus Streckung. Beispiel: Liegt links von , dann liegt rechts von auf derselben Geraden.
Was passiert mit dem Umfang einer Figur bei einer zentrischen Streckung?
Der Umfang wird bei einer zentrischen Streckung mit dem Betrag des Streckungsfaktors multipliziert, also . Das liegt daran, dass alle Längen im gleichen Verhältnis skaliert werden. Bei negativem ändert sich die Lage (Spiegelung), aber der Umfang bleibt trotzdem -fach.
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Zentrische Streckung
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Flächeninhalt
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und 
, 
und 
) jeweils die Gerade durch beide Punkte zeichnest. Der Schnittpunkt dieser Geraden ist das Streckungszentrum. Zum Beispiel schneiden sich die Geraden 
und 
genau in 
.
. Wichtig ist, dass die Strecken zueinander gehören (entsprechende Seiten oder Abstände vom Zentrum). Zum Beispiel gilt bei 
und 
: 
.
multipliziert und die Richtung wird bei negativem 
muss 
doppelt so lang wie 
sein, nicht 
.
. Das liegt daran, dass alle Längen im gleichen Verhältnis skaliert werden. Bei negativem 
-fach.
