Was sind zusammengesetzte Körper in Mathe?

Zusammengesetzte Körper in Mathe sind Körper, die aus mindestens zwei einfachen Grundkörpern zusammengesetzt sind, zum Beispiel aus Würfel, Quader, Zylinder, Pyramide oder Kugel. Du kannst sie dir wie „zusammengesteckte“ Bauteile vorstellen. Für Rechnungen zerlegst du sie gedanklich wieder in diese Teile.

Wie erkenne ich bei einem zusammengesetzten Körper die einzelnen Grundkörper?

Die einzelnen Grundkörper erkennst du, indem du nach typischen Formen suchst und den Körper gedanklich „zerschneidest“. Achte auf runde Teile (Zylinder oder Kugel) und eckige Teile (Würfel oder Quader). Beispiel: Ein „Haus“ ist oft ein Quader als Wandteil und eine Pyramide als Dach.

Wie berechne ich das Volumen von einem zusammengesetzten Körper?

Das Volumen eines zusammengesetzten Körpers berechnest du, indem du die Volumina der Teilkörper ausrechnest und anschließend addierst. Beispiel: Würfel mit hat , eine Pyramide mit und hat , also .

Wie berechne ich die Oberfläche von einem zusammengesetzten Körper?

Die Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers berechnest du, indem du die Oberflächen der Teilkörper addierst und dann die gemeinsame Kontaktfläche abziehst, weil sie innen liegt. Beispiel: Zwei Würfel mit ergeben , gemeinsame Fläche , also .

Welche Formeln brauche ich am häufigsten für Würfel Quader Zylinder Pyramide und Kugel?

Am häufigsten brauchst du diese Formeln: Würfel , ; Quader , ; Zylinder , ; Pyramide ; Kugel , .

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Zusammengesetzte Körper

Wichtige Inhalte in diesem Video

Zusammengesetzte Körper — einfach erklärt

(00:13)

Zusammengesetzte Körper — Volumen berechnen

(00:51)

Zusammengesetzte Körper — Oberfläche berechnen

(02:26)

Um zusammengesetzte Körper berechnen zu können, musst du dich gut mit den Grundkörpern auskennen. Wie genau das geht, erfährst du hier und im Video.

Inhaltsübersicht

Zusammengesetzte Körper — einfach erklärt

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(00:13)

Ein zusammengesetzter Körper ist ein Körper, der aus mindestens zwei zusammengesteckten einfachen Körpern besteht. Dazu zählen Würfel, Quader, Zylinder, Pyramiden und Kugeln.

Das Bild zeigt, wie durch das Aufsetzen der Pyramide auf den Würfel ein zusammengesetzter Körper in Hausform entsteht. — Beispiel zusammengesetzter Körper

Um das Volumen oder die Oberfläche von einem zusammengesetzten Körper zu berechnen, zerlegst du ihn in seine einzelnen Formen. Dann berechnest du die Größen für die einzelnen Körper, bevor du sie addierst. Es ist also wichtig, dass du die Formeln der einfachen Körper kennst.

Formeln der Grundkörper

Körper	Volumen	Oberfläche
Würfel		$O_W=6\cdot a^2$
Quader	$V_Q=l\cdot b\cdot h$	$O_Q=2\cdot a \cdot b+2\cdot a \cdot c + 2 \cdot b\cdot c$
Zylinder	$V_Z=r^2\cdto \pi \cdot h$	$O_Z=2 \cdot G + M$
Pyramide	$V_P=\frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$
Kugel	$V_K=\frac {4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$	$O_K=4 \cdot \pi \cdot r^2$

Zusammengesetzte Körper — Volumen berechnen

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(00:51)

Um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zu berechnen, musst du die einzelnen Bestandteile erkennen und ihre Volumenformeln wissen. Du berechnest dann die einzelnen Volumen und addierst sie schließlich. Schauen wir uns das anhand folgendem Beispiel an:

Das Bild zeigt ein Spielhaus aus einem Würfel und einer Pyramide mit den zugehörigen Maßen. Die Kantenlänge a beträgt 4 Zentimeter, die Höhe des Würfels h ist 6 Zentimeter und die Höhe der Pyramide beträgt 12 Zentimeter. — Beispiel Spielhaus

Angenommen, du hast ein Spielhaus. Die Wohnfläche des Hauses ist dabei ein Würfel und misst für jede Seite a 4 cm. Das Dach besteht aus einer Pyramide mit einer Höhe (h) von 6 cm, einer quadratischen Grundfläche (G) mit 4 cm für alle Seitenlängen und einer Seitenflächenhöhe (h_s) von 12 cm.

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Spielhaus Volumen berechnen

Um das Volumen zusammengesetzter Körper zu berechnen, hast du zwei Möglichkeiten. Gehen wir beide für das Volumen des Spielhauses durch.

Volumen Spielhaus — erster Rechenweg

Beim ersten Weg gehst du wie folgt vor:

Zerlege den zusammengesetzten Körper in seine einfachen Bestandteile.
Das Spielhaus besteht aus zwei Körpern: einem Würfel und einer Pyramide.

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Bestandteile des Spielhauses
Verwende die entsprechenden Formeln, um das Volumen jedes Einzelteils zu berechnen.
Dafür benötigst du folgende Fomeln:
$V_{\text{Würfel}}=a^3$
$V_{\text{Würfel}}=4^3$
$V_{\text{Würfel}}= 64 [cm^3]$

$V_{\text{Pyramide}}=\frac {1}{3} \cdot a^2 \cdot h$
$V_{\text{Pyramide}}=\frac {1}{3} \cdot 4^2 \cdot 6$
$V_{\text{Pyramide}}=\frac {1}{3} \cdot 16 \cdot 6$
$V_{\text{Pyramide}}=\frac {1}{3} \cdot 96$
$V_{\text{Pyramide}}= 32 [cm^3]$
Addiere die Volumina der Einzelteile, um das Gesamtvolumen zu erhalten.
$V_{\text{gesamt}}=V_{\text{Würfel}} + V_{\text{Pyramide}}$
$V_{\text{gesamt}}=64 + 32$
$V_{\text{gesamt}}=96 [cm^3]$

Das Spielhaus hat also ein Gesamtvolumen von 96 cm³.

Volumen Spielhaus — zweiter Rechenweg

Beim zweiten Weg berechnest du die Volumen der Teilkörper gleich gemeinsam. Du musst sie am Schluss also nicht nochmal addieren.

Zerlege den zusammengesetzten Körper in seine einfachen Bestandteile.
Das Spielhaus besteht aus zwei Körpern: einem Würfel und einer Pyramide.
Addiere die beiden Volumenformeln und berechne das Gesamtvolumen.
$V_{\text{gesamt}}=V_{\text{Würfel}} + V_{\text{Pyramide}}$
$V_{\text{gesamt}}=(a^3) + (\frac {1}{3} \cdot a^2 \cdot h)$
$V_{\text{gesamt}}=(4^3) + (\frac {1}{3} \cdot 4^2 \cdot 6)$
$V_{\text{gesamt}}=64 + (\frac {1}{3} \cdot 16 \cdot 6)$
$V_{\text{gesamt}}=64 + (\frac {1}{3} \cdot 96)$
$V_{\text{gesamt}}=64 + 32$
$V_{\text{gesamt}}=96 [cm^3]$

Auch über den zweiten Weg erhältst du für das Spielhaus ein Gesamtvolumen von 96 cm³. Es spielt also keine Rolle, welchen Weg du nimmst.

Wichtig: Der zweite Weg ist etwas genauer als der erste, da keine Rundungsfehler auftreten.

Zusammengesetzte Körper — Oberfläche berechnen

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(02:26)

Auch um die Oberfläche von zusammengesetzten Körpern zu berechnen, siehst du dir zuerst an, aus welchen Einzelteilen er besteht.

Wichtig: Von der Gesamtoberfläche musst du die gemeinsame Fläche der beiden Körper abziehen! Das ist die Fläche, an der sich die Körper berühren. Sie zählt also nicht zur Oberfläche, sondern zum Innenraum.

Spielhaus Oberfläche berechnen

Wir betrachten wieder unser Beispiel von oben und folgen dem ersten Rechenweg. Du berechnest die Oberflächen der Einzelteile also nacheinander.

Zerlege den zusammengesetzten Körper in seine einfachen Bestandteile.
Das Spielhaus besteht aus zwei Körpern: einem Würfel und einer Pyramide.
Verwende die entsprechenden Formeln, um die Oberfläche jedes Einzelteils zu berechnen.
$O_{\text{Würfel}}=6 \cdot a^2$
$O_{\text{Würfel}}=6 \cdot 4^2$
$O_{\text{Würfel}}=6 \cdot 16$
$O_{\text{Würfel}}= 96 [cm^2]$

$O_{\text{Pyramide}}=G + M$
Um die Oberfläche der Pyramide zu berechnen, brauchst du die Größen G (Grundfläche) und M (Mantelfläche). Da du jedoch nur die Seitenlänge (a), die Höhe (h) und die Seitenflächenhöhe (h_s) gegeben hast, kannst du die Formel wie folgt umschreiben:


$M = n \cdot \frac {1}{2} \cdot a \cdot h_s$ .

n ist dabei die Anzahl der Ecken der Pyramide. Hier also 4. Die beiden Formeln setzt du nun anstelle von G und M in die Oberflächenformel der Pyramide ein. Dadurch erhältst du folgende Gleichung, mit der du nun die Oberfläche berechnen kannst:

$O_{\text{Pyramide}}=a^2 + n \cdot \frac {1}{2} \cdot a \cdot h_s$
$O_{\text{Pyramide}}=4^2 + 4 \cdot \frac {1}{2} \cdot 4 \cdot 12$
$O_{\text{Pyramide}}=16 + 4 \cdot \frac {1}{2} \cdot 48$
$O_{\text{Pyramide}}=16 + 4 \cdot 24$
$O_{\text{Pyramide}}=16 + 96$
$O_{\text{Pyramide}}=112[cm^2]$
Berechne die gemeinsame Fläche.
Um herauszufinden, wie groß die gemeinsame Fläche ist, schauen wir uns nochmal die Abbildung an.

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Gemeinsame Fläche

Die Pyramide sitzt auf dem Würfel. Dabei berührt die obere Seite des Würfels die Grundfläche der Pyramide. Die gemeinsame Fläche beträgt also 2 · a².
$gemeinsame Fläche = 2 \cdot a^2$
$gemeinsame Fläche = 2 \cdot 4^2$
$gemeinsame Fläche = 2 \cdot 16$

Sie ziehst du nun von der Gesamtoberfläche ab.
Addiere die beiden Oberflächen und ziehe die gemeinsamen Flächen ab.
$O_{\text{gesamt}}=O_{text{Würfel}} + O_{text{Pyramide}} - gemeinsame Fläche$
$O_{\text{gesamt}}=96 + 112 - 32$
$O_{\text{gesamt}}=208 - 32$
$O_{\text{gesamt}}=176 [cm^2]$

Die Gesamtoberfläche des Spielhauses beträgt also 176 cm².

Du kannst die Oberfläche auch mithilfe des zweiten Wegs berechnen. Dafür sieht die Formel dann so aus:
$O_{\text{gesamt}}=O_{text{Würfel}} + O_{text{Pyramide}} - gemeinsame Fläche$
$O_{\text{gesamt}}=(6 \cdot a^2) +(a^2 + n \cdot \frac {1}{2} \cdot a \cdot h_s) - 2 \cdot a^2$

Zusammengesetzte Körper — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was sind zusammengesetzte Körper in Mathe?

Zusammengesetzte Körper in Mathe sind Körper, die aus mindestens zwei einfachen Grundkörpern zusammengesetzt sind, zum Beispiel aus Würfel, Quader, Zylinder, Pyramide oder Kugel. Du kannst sie dir wie „zusammengesteckte“ Bauteile vorstellen. Für Rechnungen zerlegst du sie gedanklich wieder in diese Teile.
Wie erkenne ich bei einem zusammengesetzten Körper die einzelnen Grundkörper?

Die einzelnen Grundkörper erkennst du, indem du nach typischen Formen suchst und den Körper gedanklich „zerschneidest“. Achte auf runde Teile (Zylinder oder Kugel) und eckige Teile (Würfel oder Quader). Beispiel: Ein „Haus“ ist oft ein Quader als Wandteil und eine Pyramide als Dach.
Wie berechne ich das Volumen von einem zusammengesetzten Körper?

Das Volumen eines zusammengesetzten Körpers berechnest du, indem du die Volumina der Teilkörper ausrechnest und anschließend addierst. Beispiel: Würfel mit hat , eine Pyramide mit und hat $V_2=\frac{1}{3}Gh=12$ , also $V_{\text{gesamt}}=39$ .
Wie berechne ich die Oberfläche von einem zusammengesetzten Körper?

Die Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers berechnest du, indem du die Oberflächen der Teilkörper addierst und dann die gemeinsame Kontaktfläche abziehst, weil sie innen liegt. Beispiel: Zwei Würfel mit ergeben $2\cdot 6a^2=48$ , gemeinsame Fläche $2\cdot a^2=8$ , also $O_{\text{gesamt}}=40$ .
Welche Formeln brauche ich am häufigsten für Würfel Quader Zylinder Pyramide und Kugel?

Am häufigsten brauchst du diese Formeln: Würfel , ; Quader , ; Zylinder $V=\pi r^2h$ , $O=2\pi r^2+2\pi rh$ ; Pyramide $V=\frac{1}{3}Gh$ ; Kugel $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ , $O=4\pi r^2$ .

Geometrische Körper

Um einen zusammengesetzten Körper berechnen zu können, ist es hilfreich, wenn du dich gut mit geometrischen Körpern auskennst. Alles Wichtige über sie erfährst du hier!