Was ist eine Differentialgleichung?

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und mindestens eine ihrer Ableitungen vorkommen. Du suchst also eine Funktion , die die Beziehung zwischen , (oder höheren Ableitungen) und erfüllt. So modellierst du Änderungsraten direkt in der Gleichung.

Was ist die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung?

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist die Menge aller Funktionen, die die Differentialgleichung erfüllen, meist beschrieben durch Parameter wie Integrationskonstanten. Du bekommst nicht nur eine einzelne Funktion, weil eine DGL oft mehrere Lösungen zulässt. Erst durch Zusatzangaben wie einen Anfangswert wählst du eine konkrete Lösung aus.

Ist eine Differentialgleichung eine Ableitung?

Eine Differentialgleichung ist keine Ableitung, sondern eine Gleichung, die Ableitungen enthält. Eine Ableitung ist ein einzelner Ausdruck wie , der die Änderungsrate von beschreibt. In einer Differentialgleichung verknüpfst du solche Ableitungen mit und oft auch mit , um zu bestimmen.

Video

Bernoulli DGL

Name: Bernoulli DGL
Uploaded: 2026-04-08T16:47:19Z
Duration: 3 min 30 s
Description: Du möchtest wissen, was eine Bernoulli DGL ist und wie du sie lösen kannst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen bei diesen speziellen Differentialgleichungen an einem einfachen Beispiel.

Du möchtest wissen, was eine Bernoulli DGL ist und wie du sie lösen kannst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen bei diesen speziellen Differentialgleichungen an einem einfachen Beispiel.

Abiturvorbereitung

Klasse 11

Klasse 12

Klasse 13

Inhaltsübersicht

Bernoulli Differentialgleichung: Lösung durch Substitutionsfunktion

im Videozur Stelle im Video springen

(00:11)

Eine bernoullische DGL ist eine Differentialgleichung erster Ordnung dieser Form:

$y^\prime+a\left(x\right)\ast\ y+b\left(x\right)\ast\ y^\alpha=0$

a(x) und b(x) sind beliebige Funktionen und Alpha ist eine reelle Zahl. Um diese DGL zu lösen, führen wir die Substitutionsfunktion

$u=y^{1-\alpha}$

ein. Du wirst gleich sehen, warum die Substitution und die Rücksubstitution sinnvoll sind.

Dazu leiten wir zunächst ab. Erst bilden wir die äußere Ableitung und multiplizieren nach der Kettenregel mit der Inneren. Jetzt lösen wir die bernoullische Differentialgleichung nach $y^\prime$ auf und erhalten die explizite Form der DGL. Diesen Ausdruck setzen wir in die Ableitung $u^\prime$ ein.

Jetzt musst du die DGL etwas umformen, indem du ausmultiplizierst und zusammenfasst. Wie du siehst, heben sich $y^{-\alpha}$ und $y^\alpha$ genau auf, so dass $(1-\alpha \cdot b(x)$ alleine dasteht. Du siehst, dass außerdem $y^{1-\alpha}$ in der DGL auftaucht.

Bernoulli DGL: Rücksubstitution — Rücksubstitution

Das ist genau unsere neu eingeführte Funktion , die wir einsetzen. Nun haben wir alle vorkommenden y-Ausdrücke ersetzt und erhalten eine Differentialgleichung für . Diese wollen wir uns genauer anschauen. Sie sieht gar nicht mehr so kompliziert aus: Es ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, die du lösen kannst. Sobald du die Lösung für kennst, kannst du mit Rücksubstitution die Lösung für bestimmen.

$y=u^\frac{1}{1-\alpha}$

Beispiel – Lösung der homogenen DGL

im Videozur Stelle im Video springen

(01:40)

Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir betrachten folgende bernoullische DGL:

$y^\prime=y+xy^3$

Unser ergibt sich:

$u=y^{1-\alpha}=y^{1-3}=y^{-2}$

Bernoulli DGL Beispiel — Beispiel Lösung homogener Differentialgleichungen

Das kannst du jetzt ableiten. Dann setzt du für $y^\prime$ die Differentialgleichung ein und multiplizierst die Klammer aus. Jetzt setzen wir für $y^{-2}$ das ein und erhalten eine einfache DGL. Die Lösung der homogenen Differentialgleichungen, bestimmst du zum Beispiel mit Trennung der Variablen.

Das sollte inzwischen ein Kinderspiel für dich sein. Du separierst alle u-Anteile und alle x-Anteile auf unterschiedliche Seiten des Gleichheitszeichens:

$\frac{du_h}{u_h}=-2\ dx$

Bernoulli DGL Beispiel: Homogene Lösung — Beispiel: Homogene Lösung

Danach integrierst und stellst das Ergebnis noch nach u_h um. Die homogene Lösung steht.

Bernoulli DGL — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist eine Differentialgleichung?

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und mindestens eine ihrer Ableitungen vorkommen. Du suchst also eine Funktion , die die Beziehung zwischen , (oder höheren Ableitungen) und erfüllt. So modellierst du Änderungsraten direkt in der Gleichung.
Was ist die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung?

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist die Menge aller Funktionen, die die Differentialgleichung erfüllen, meist beschrieben durch Parameter wie Integrationskonstanten. Du bekommst nicht nur eine einzelne Funktion, weil eine DGL oft mehrere Lösungen zulässt. Erst durch Zusatzangaben wie einen Anfangswert wählst du eine konkrete Lösung aus.
Ist eine Differentialgleichung eine Ableitung?

Eine Differentialgleichung ist keine Ableitung, sondern eine Gleichung, die Ableitungen enthält. Eine Ableitung ist ein einzelner Ausdruck wie , der die Änderungsrate von beschreibt. In einer Differentialgleichung verknüpfst du solche Ableitungen mit und oft auch mit , um zu bestimmen.