Was ist eine partikuläre Lösung?

Eine partikuläre Lösung ist eine konkrete Funktion, die die inhomogene Differentialgleichung vollständig erfüllt, also inklusive der rechten Seite (Störfunktion). Sie enthält keine freie Integrationskonstante. Du brauchst sie, weil du zusammen mit der homogenen Lösung daraus die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL erhältst.

Wie löst man eine inhomogene Differentialgleichung?

Eine inhomogene Differentialgleichung löst du, indem du zuerst die homogene Lösung bestimmst und danach eine partikuläre Lösung passend zur rechten Seite ansetzt. Dann leitest du den Ansatz ab, setzt beides in die DGL ein und bestimmst die unbekannten Koeffizienten durch Sortieren und Koeffizientenvergleich. Beispiel: Bei nimmst du .

Was ist die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung?

Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung ist die Summe aus homoger Lösung und einer partikulären Lösung. Die homogene Lösung enthält die freie Konstante und beschreibt damit eine ganze Lösungsfamilie. Wenn du eine Anfangsbedingung hast, bestimmst du damit den konkreten Wert von .

Video

Hier geht's zum Video „Variation der Konstanten“

Ansatz vom Typ der rechten Seite / Störfunktion

Name: Ansatz vom Typ der rechten Seite / Störfunktion
Uploaded: 2026-04-08T16:47:19Z
Duration: 6 min 31 s
Description: Du möchtest wissen, wie der Ansatz vom Typ der rechten Seite funktioniert? Dann zeigen wir dir hier, wie du lineare Differentialgleichungen mit dieser Methode lösen kannst, an einfachen Beispielen.

Wichtige Inhalte in diesem Video

Ansatz vom Typ der rechten Seite

(00:16)

Beispiel 1

(01:13)

Du möchtest wissen, wie der Ansatz vom Typ der rechten Seite funktioniert? Dann zeigen wir dir hier, wie du lineare Differentialgleichungen mit dieser Methode lösen kannst, an einfachen Beispielen.

Abiturvorbereitung

Klasse 11

Klasse 12

Klasse 13

Inhaltsübersicht

Ansatz vom Typ der rechten Seite

im Videozur Stelle im Video springen

(00:16)

Du hast bereits die Methode der Variation der Konstanten kennengelernt. Diese kannst du bei allen linearen Differentialgleichungen anwenden. Sie ist also sehr praktisch. Dennoch musst du einmal integrieren. Integrieren kann manchmal sehr aufwendig sein. Daher gibt es den Ansatz vom Typ der rechten Seite, der auch als Ansatz vom Typ der Störfunktion bezeichnet wird. Somit ist es zu empfehlen, die Störfunktion der DGL zunächst einmal anzuschauen. Viele Differentialgleichungen kannst du nämlich mit dieser Methode lösen. Aber Achtung, das ist nur möglich, wenn deine DGL eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist.

Ansatz vom Typ der rechten Seite: Verschiedene Typen des inhomogenen Teils — Verschiedene Typen des inhomogenen Teils

Ist dein inhomogener Anteil ein Polynom, eine trigonometrische Funktion, eine Exponentialfunktion oder gar eine Kombination aus diesen Typen, kannst du für die Partikulärlösung einen Ansatz vom Typ der Störfunktion b(x) wählen. Dabei hat dein Ansatz die gleiche Bauart, wie die rechte Seite der DGL.

Beispiel 1

im Videozur Stelle im Video springen

(01:13)

Für unser Beispiel wählen wir folgende Differentialgleichung:

$y^\prime=y+1+x^2$

Sie eignet sich für diese Methode, denn die DGL ist linear mit konstanten Koeffizienten. Jetzt schaust du dir die Störfunktion b(x) genau an. Im Beispiel ist $b\left(x\right)=1+x^2$ und damit ein Polynom zweiten Grades. Somit darfst du als partikuläre Lösung einen Ansatz vom Typ der rechten Seite,

$y_p\left(x\right)=a_2x^2+a_1x+a_0$

also ein Polynom zweiten Grades, wählen. Darin muss auch der lineare Anteil a_1x vorkommen, obwohl es in b(x) keinen linearen Anteil gibt. Nun leitest du den gewählten Ansatz ab.

Ansatz vom Typ der rechten Seite: Beispiel — Beispiel

Beides setzt du dann in die inhomogene DGL ein. Dann sortierst du und vergleichst die Koeffizienten. Daraus resultieren für a_2 der Wert -1, für a_1=-2 und für a_0=-3 . Jetzt kannst du die Koeffizienten in deinen ursprünglichen Ansatz einsetzen. Dann erhältst du die Partikulärlösung. Die Gesamtlösung ist die Summe aus homogener und partikulärer Lösung:

$y\left(x\right)=y_h\left(x\right)+y_p\left(x\right)=Ce^x-(x^2+2x+3)$

Es ergibt sich hier das gleiche Ergebnis, das man auch mithilfe der Variation der Konstanten erhalten hätte.

Beispiel 2

im Videozur Stelle im Video springen

(02:41)

Nehmen wir mal ein anderes Beispiel:

$y^\prime+y=2\sin{3x}$

Die homogene Lösung ist leicht zu bestimmen. Es ist:

$y_h=Ce^{-x}$

Um jetzt einen Ansatz für die Partikulärlösung zu finden, schaust du dir die Störfunktion an.

An dieser Stelle machen viele Studenten den Fehler, den Ansatz zu wählen, aber dabei den Kosinusanteil zu vergessen. Der Kosinus muss im Ansatz auftauchen, obwohl dieser nicht in der Störfunktion vorkommt. Nur so ist ein trigonometrischer Ansatz vollständig. Jetzt bestimmst du die Ableitung. Wie vorher setzt du danach Ansatz und Ableitung in die DGL ein.

Ansatz vom Typ der rechten Seite: Lösung Beispiel — Lösung Beispiel

Nachdem wir sortiert haben, können wir mit Koeffizientenvergleich die Konstanten bestimmen. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem. Du kannst zum Beispiel die zweite Gleichung nach A auflösen und sie in die Erste einsetzen. Danach musst du noch nach B umstellen und erhältst als Ergebnis für B $-\frac{3}{5}$ . Anschließend setzt du B in die zweite Gleichung ein, um A zu bestimmen. A ist $\frac{1}{5}$ . Deine Partikulärlösung ist somit:

$y_p=\frac{1}{5}\sin{3x}-\frac{3}{5}\cos{3x}$

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Ansatz vom Typ der rechten Seite / Störfunktion — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist eine partikuläre Lösung?

Eine partikuläre Lösung ist eine konkrete Funktion, die die inhomogene Differentialgleichung vollständig erfüllt, also inklusive der rechten Seite (Störfunktion). Sie enthält keine freie Integrationskonstante. Du brauchst sie, weil du zusammen mit der homogenen Lösung daraus die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL erhältst.
Wie löst man eine inhomogene Differentialgleichung?

Eine inhomogene Differentialgleichung löst du, indem du zuerst die homogene Lösung bestimmst und danach eine partikuläre Lösung passend zur rechten Seite ansetzt. Dann leitest du den Ansatz ab, setzt beides in die DGL ein und bestimmst die unbekannten Koeffizienten durch Sortieren und Koeffizientenvergleich. Beispiel: Bei $\sin(kx)$ nimmst du $A\sin(kx)+B\cos(kx)$ .
Was ist die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung?

Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung ist die Summe aus homoger Lösung und einer partikulären Lösung. Die homogene Lösung enthält die freie Konstante und beschreibt damit eine ganze Lösungsfamilie. Wenn du eine Anfangsbedingung hast, bestimmst du damit den konkreten Wert von .