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Fourierreihen – Beispiel

Du hast die Fourierreihen nun hoffentlich verstanden und kannst dir das Ganze nun an zwei Beispielen genauer ansehen.

Fourierreihen – Beispiel und Erklärung

Unser erstes Beispiel ist diese periodische Funktion.

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$f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & f\"ur\ x=\pi\\ x, & f\"ur\ x\in (-\pi,\pi)\\ \end{cases}$

Es ist eine unstetige Funktion, die aus Geraden auf Abschnitten der Länge $2\pi$ besteht. Außerdem handelt es sich um eine ungerade Funktion, also kannst du schon jetzt folgern, dass alle a_n=0 sind. Die Koeffizienten b_n kannst du nach der Formel für die Koeffizienten in der Fourierreihe berechnen.

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left(x\right)\sin{nx\ }dx}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{x\sin{nx\ }dx}$

$=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin{nx}-nx\cos{nx}\ }{n^2}\right]_{-\pi}^\pi=\frac{2(\sin{n\pi}-n\pi\cos{n\pi})\ }{\pi n^2}=\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}$

Integral bestimmen

Für $f\left(x\right)$ setzt du ein und bestimmst das Integral und wertest es aus. Der Sinus von $n\ast\pi$ ist immer Null. Der Kosinus von $n\ast\pi$ ist abwechselnd Eins und minus Eins. Das $\pi$ und ein n kürzen sich heraus und es bleibt $\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}$ . Also ergibt sich folgende Fourierreihe:

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$Ff\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}}\sin{nx}$

Als nächstes wollen wir uns die Fourier-Polynome mal ansehen. Das erste Fourierpolynom ist F_2f und ergibt sich zu 2sinx :

Fourierreihe Beispiel — Fourier-Polynome

Der einzelne blau dargestellte Sinus kann die schwarze Funktion nicht zufriedenstellend nachbilden. Daher bestimmen wir F_3f :

$F_3f\left(x\right)=2\sin{x}-\sin{2x}$

Der orangefarbene Graph ist schon eine bessere Approximation. Jetzt machen wir größere Schritte. Wir bestimmen F_5f .

$F_5f\left(x\right)=2\sin{x}-\sin{2x}+\frac{2}{3}\sin{3x}-\funcapply\frac{1}{2}\sin{4x}$

Wie wir an der gelben Kurve erkennen können, ist die Approximation wieder besser geworden.

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