How to solve an exact differential equation?

Eine exakte Differentialgleichung löst du, indem du zuerst und abliest und danach prüfst. Zum Beispiel ist exakt, weil und gilt. Dann integrierst du nach zu . Danach bestimmst du aus zu und erhältst .

Wann hat eine Funktion ein Potential?

Eine Funktion hat ein Potential , wenn du und so wählen kannst, dass beide Ableitungen zu derselben passen. Diese Möglichkeit erkennst du an der Integrabilitätsbedingung . Der Grund ist der Satz von Schwarz, weil bei einem Potential die gemischten Ableitungen und gleich sein müssen.

Warum ist die Integrationskonstante nach dem Integrieren einer Funktion von x und y eine Funktion von y und keine echte Konstante?

Die Integrationskonstante wird beim Integrieren nach zu einer Funktion , weil jede reine -Funktion beim Ableiten nach wieder verschwindet. Zum Beispiel gilt , weil ist. Danach bestimmst du , indem du mit vergleichst.

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Exakte DGL

Name: Exakte DGL
Uploaded: 2026-03-31T07:30:19Z
Duration: 7 min 2 s
Description: Du möchtest wissen, was eine Exakte DGL ist und wie du sie lösen kannst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen bei diesen speziellen Differenzialgleichungen an einem einfachen Beispiel.

Du möchtest wissen, was eine Exakte DGL ist und wie du sie lösen kannst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen bei diesen speziellen Differenzialgleichungen an einem einfachen Beispiel.

Inhaltsübersicht

Exakte Differentialgleichung: Potentialkonstruktion

Zunächst schauen wir uns die Grundidee und zwar die Konstruktion eines Potentials an:

$\phi\left(x,\ y\left(x\right)\right)=C$

$\phi\left(x,\ y\left(x\right)\right)$ ist eine Potentialfunktion, die entlang von $y\left(x\right)$ konstant ist. Du kannst sie dir wie eine konstante Höhe im Gebirge vorstellen. Entlang der Höhenlinie bist du auf demselben Potential. Ein gleiches Spannungsniveau im elektrischen Schaltkreis wäre ebenfalls ein Beispiel dafür.

Exakte DGL, Satz von Schwarz, Potentialfunktion — Potential Veranschaulichung

Die Konstante kannst du mithilfe eines Anfangswertes bestimmen.

$C=\phi(x_0,\ y\left(x_0\right))$

Schließlich kann man die Gleichung eindeutig nach y auflösen, um eine Lösung zu erhalten.

Herleitung der Integrabilitätsbedingung

Du fragst dich, wo hier jetzt eine Differentialgleichung steckt? Dazu leiten wir $\phi(x)$ ab. Zunächst bilden wir die partielle Ableitung nach und danach nach , die wir noch mit der inneren Ableitung, also $y^\prime$ multiplizieren müssen. Auf der rechten Seite der Gleichung für $\phi$ steht eine Konstante, deren Ableitung Null ist.

$\phi^\prime\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}y^\prime=0$

Schon hat sich eine DGL ergeben. Nun ersetzen wir die partiellen Ableitungen von $\phi$ durch die Funktionen und .

$a(x,y(x))+b\left(x,y\left(x\right)\right)y^\prime(x)=0$

Eine exakte DGL muss genau diese Form haben. Vergleichst du diese mit dem vorherigen Ausdruck, stellst du fest, dass folgende Teile übereinstimmen.

$a\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial x}$

$b\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial y}$

$a\left(x,y\left(x\right)\right)$ ist die partielle Ableitung von $\phi(x)$ und $b\left(x,y\left(x\right)\right)$ die partielle Ableitung nach .

Jetzt leitest du nochmal nach der jeweils anderen Variable ab.

$a_y\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}$

$b_x\left(x,y\left(x\right)\right)=\frac{\partial\phi}{\partial y}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial x}$

Nach dem Satz von Schwarz kann in der zweiten Ableitung die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauscht werden, sodass die gemischten Ableitungen einander entsprechen.

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial x}$

Schreiben wir das nun wieder als und :

a_y=b_x

Wir haben uns eine Bedingung für Exaktheit hergeleitet. Sie heißt Integrabilitätsbedingung. Ist diese Bedingung erfüllt, haben wir eine exakte DGL.

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Exakte DGL — häufigste Fragen

(ausklappen)

How to solve an exact differential equation?

Eine exakte Differentialgleichung löst du, indem du zuerst und abliest und danach prüfst. Zum Beispiel ist exakt, weil und gilt. Dann integrierst du nach zu $\phi=\frac{3}{2}x^2+2xy+d(y)$ . Danach bestimmst du aus $\phi_y=b$ zu und erhältst $\frac{3}{2}x^2+2xy+2y^2=C$ .
Wann hat eine Funktion ein Potential?

Eine Funktion hat ein Potential $\phi(x,y)$ , wenn du $a(x,y)=\phi_x$ und $b(x,y)=\phi_y$ so wählen kannst, dass beide Ableitungen zu derselben $\phi$ passen. Diese Möglichkeit erkennst du an der Integrabilitätsbedingung . Der Grund ist der Satz von Schwarz, weil bei einem Potential die gemischten Ableitungen $\phi_{xy}$ und $\phi_{yx}$ gleich sein müssen.
Warum ist die Integrationskonstante nach dem Integrieren einer Funktion von x und y eine Funktion von y und keine echte Konstante?

Die Integrationskonstante wird beim Integrieren nach zu einer Funktion , weil jede reine -Funktion beim Ableiten nach wieder verschwindet. Zum Beispiel gilt $\int (x+y)\,dx=\frac{1}{2}x^2+xy+d(y)$ , weil $\frac{\partial}{\partial x}d(y)=0$ ist. Danach bestimmst du , indem du $\phi_y$ mit vergleichst.

Exakte DGL – Beispiel

Soweit zur Theorie. Es wird Zeit für ein Beispiel

$2x+y^2+\left(2xy+1\right)y^\prime=0$

Du hast diese Gleichung vor dir liegen und vergleichst sie mit der allgemeinen Form,

$a(x,y(x))+b\left(x,y\left(x\right)\right)y^\prime(x)=0$

um und zu bestimmen. Nun prüfst du die Integrabilitätsbedingung, indem du zuerst nach ableitest. abgeleitet nach ergibt Null und y^2 abgeleitet nach ergibt . Dann leitest du noch nach ab. y nach abgeleitet ergibt , die Konstante 1 fällt beim Ableiten raus. Du stellst fest,

a_y=2y=b_x=2y

dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. ist gleich . Daraus kannst du folgern, dass deine DGL exakt ist.

Das Potential kannst du auf verschiedene Arten konstruieren. Die erste Möglichkeit ist, dass du nach integrierst,

$\phi\left(x,y\right)=\int a\left(x,y\right)dx+d_1(y)$

da wir als $\frac{\partial\phi}{\partial x}$ definiert haben.

$\phi\left(x,y\right)=\int b\left(x,y\right)dy+d_2(x)$

Außerdem intergierst du entsprechend seiner Definition als $\frac{\partial\phi}{\partial y}$ nach .

Die Integrationskonstanten d_1 und d_2 sind jeweils von der Variablen oder abhängig, nach der nicht integriert wurde.

Zurück zum Beispiel: Wir integrieren nach

$\phi\left(x,y\right)=\int2x+y^2\ dx+d_1\left(y\right)$

Das ergibt

$\ x^2+y^2x+d_1\left(y\right)$

Als nächstes integrieren wir nach .

Jetzt vergleichen wir die Integrale:

$\phi\left(x,y\right)=x^2+y^2x+d_1\left(y\right)=xy^2+y+d_2\left(x\right)$

Du erkennst den Mischterm xy^2 in beiden Integralen. Der Anteil x^2 ist nur von abhängig und entspricht somit der Integrationskonstante $d_2\left(x\right)$ . Analog dazu ist $d_1\left(y\right)$ gleich .

Es ergibt sich

$\phi\left(x,y\right)=x^2+y^2x+y=C$

Ganz wichtig ist, dass du die Integrale vergleichst und nicht einfach beide Integrale addierst. Sonst nimmst du den Mischterm doppelt ins Ergebnis auf und das ist falsch.

Kommen wir jetzt noch zur zweiten Möglichkeit um $\phi$ zu ermitteln. Sie erfordert weniger Integrierarbeit, allerdings musst du dich mehr konzentrieren, um den Überblick zu behalten.

Nach der ersten Integration

$\phi\left(x,y\right)=\int2x+y^2dx+d_1\left(y\right)=x^2+y^2x+d_1\left(y\right)$

kannst du das Ergebnis auch nach der anderen Variablen ableiten und anschließend mit vergleichen.

Der Mischterm 2yx taucht auf beiden Seiten auf und außerdem ist $d_{1,y}\left(y\right)=1$ . Integriert nach ergibt sich $d_1\left(y\right)=y$ . Das führt ebenfalls zum Ergebnis