Lineare & nichtlineare DGL
Du möchtest den Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen kennen lernen und wissen, was es mit den linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auf sich hat? Dann bist du hier in unserem Artikel und Video genau richtig!
Inhaltsübersicht
Unterschied nichtlineare und lineare Differentialgleichung
Beginnen wir mit den linearen Differentialgleichungen. Man bezeichnet eine DGL als linear, wenn sie in folgender Form dargestellt werden kann:
Die Ableitungen werden mit Koeffizienten multipliziert und summiert. Die Koeffizienten können von x abhängen. Kannst du die DGL nicht so darstellen und steckt y oder eine seiner Ableitungen in einer nichtlinearen Funktion, heißt sie nichtlinear.
Lineare & nichtlineare DGL — häufigste Fragen
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Lineare & nichtlineare DGL — häufigste Fragen
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Woran erkenne ich, ob eine Differentialgleichung linear oder nichtlinear ist?Eine Differentialgleichung ist linear, wenn
und seine Ableitungen nur „in erster Potenz“ vorkommen und jeweils nur mit einem Faktor (Koeffizienten) multipliziert und dann addiert werden. Nichtlinear ist sie, sobald z. B. Produkte wie 
oder Funktionen wie 
auftreten.
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Warum ist eine Differentialgleichung nichtlinear, wenn y in einer Funktion wie Kosinus von y steht?Eine Differentialgleichung ist nichtlinear, wenn selbst als Argument in einer nichtlinearen Funktion steht, zum Beispiel in . Dann lässt sich die Gleichung nicht mehr als Summe von Termen der Form „Koeffizient mal
“ schreiben. Beispiel: 
ist nichtlinear.
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Was bedeutet bei einer linearen Differentialgleichung der Begriff Koeffizient?Ein Koeffizient ist bei einer linearen Differentialgleichung der Faktor, der vor oder vor einer Ableitung von steht. Er „gewichtet“ also die einzelnen Terme. Der Koeffizient darf eine Funktion von
sein, zum Beispiel ist in 
der Koeffizient vor gleich 
.
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Woran sehe ich, ob die Koeffizienten in einer linearen Differentialgleichung von x abhängen?Ob ein Koeffizient von abhängt, erkennst du daran, dass im Faktor ein vorkommt oder er ausdrücklich als Funktion
geschrieben wird. Beispiel: In hängt der Koeffizient von ab, in 
nicht.
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Was ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten?Eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist eine lineare DGL, bei der alle Koeffizienten echte Konstanten sind, also nicht von abhängen. Dann stehen vor
nur feste Zahlen (oder feste Ausdrücke ohne ). Beispiel: 
hat konstante Koeffizienten.
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Beispiele für nichtlineare und lineare Differentialgleichung
Schauen wir uns als nächstes zwei Beispiele an:
Bei der ersten Gleichung handelt es sich um eine lineare Differentialgleichung. In der zweiten Gleichung siehst du, dass gilt: 
. 
ist somit ein nichtlinearer Koeffizient.
Schauen wir uns eine weitere Gleichung an:
Hierbei handelt es sich um eine nichtlineare Differentialgleichung, denn hier ist y das Argument der nichtlinearen Kosinusfunktion, es steckt also selbst im Kosinus.