Randwertproblem
Du möchtest wissen, was man unter dem Begriff Randwertproblem versteht, wie es sich vom Anfangswertproblem unterscheidet und wie man dieses Randwertproblem lösen kann? Dann bist du hier genau richtig!
Inhaltsübersicht
Randwertproblem — häufigste Fragen
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Randwertproblem — häufigste Fragen
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Was ist ein Randwertproblem bei einer Differentialgleichung?Ein Randwertproblem liegt vor, wenn du eine Differentialgleichung löst und Zusatzbedingungen an den Rändern eines Intervalls erfüllen musst. Typisch sind Vorgaben an zwei Stellen, zum Beispiel
und 
. Diese Randbedingungen wählen aus allen Lösungen genau die passende aus.
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Woran erkenne ich den Unterschied zwischen einem Randwertproblem und einem Anfangswertproblem?Den Unterschied erkennst du daran, wo die Zusatzbedingungen liegen: Beim Anfangswertproblem sind Werte an einem Startpunkt gegeben, zum Beispiel
und 
. Beim Randwertproblem sind Werte an Randstellen vorgegeben, zum Beispiel und 
. Das beeinflusst, welche Konstanten du bestimmen kannst.
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Wie löse ich ein Randwertproblem, wenn ich Randbedingungen an zwei Stellen wie bei x gleich null und x gleich l habe?Du löst zuerst die Differentialgleichung allgemein und setzt dann die Randbedingungen ein, um die Konstanten (oder erlaubte Parameter) zu bestimmen. Konkret: Aus der allgemeinen Lösung
folgen durch und zwei Gleichungen für 
und 
.
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Was bedeuten Randbedingungen wie y bei x gleich null gleich null und y bei x gleich l gleich null bei einer schwingenden Saite?Die Randbedingungen und bedeuten bei einer schwingenden Saite: An beiden Enden ist die Auslenkung immer null. Physikalisch sind die Enden fest eingespannt oder festgehalten. Deshalb kann die Saite dort nicht nach oben oder unten ausweichen, egal wie sie dazwischen schwingt.
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Warum kommen bei Randwertproblemen von schwingenden Saiten Sinusfunktionen in der Lösung vor?Sinusfunktionen tauchen auf, weil sie die typischen Randbedingungen einer fest eingespannten Saite automatisch erfüllen. Für und ist
passend, denn der Sinus ist bei 
und 
null. Verschiedene 
sind Grund- und Oberschwingungen.
Abgrenzung Randwertproblem und Anfangswertproblem
Das Randwertproblem ist dem Anfangswertproblem sehr ähnlich. Im Gegensatz zum Anfangswertproblem kennst du beim Randwertproblem nicht unbedingt die Funktionswerte zum Anfangszeitpunkt, sondern die Zustände an den Rändern.
