Was heißt punktweise Konvergenz bei einer Funktionenfolge?

Punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge bedeutet, dass für jedes fest gewählte im Intervall der Grenzwert existiert. Konkret hältst du konstant und lässt nur gegen unendlich laufen. Die so entstehende Zuordnung heißt Grenzfunktion.

Wie bestimme ich die Grenzfunktion bei punktweiser Konvergenz Schritt für Schritt?

Die Grenzfunktion bei punktweiser Konvergenz bestimmst du, indem du für jedes feste den Grenzwert berechnest. Praktisch: Setze ein konkretes ein, zum Beispiel bei erst , dann ist . Danach machst du das als allgemeine Rechnung für beliebiges .

Wie finde ich bei der Funktionenfolge x hoch n die Grenzfunktion auf dem Intervall von null bis eins?

Die Grenzfunktion der Funktionenfolge auf ist für alle gleich und für gleich . Denn für jedes feste mit gilt , während für alle bleibt. Damit ist auf und .

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Funktionenfolgen: Punktweise Konvergenz

Die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen bereitet dir noch Schwierigkeiten? Im Folgenden zeigen wir dir Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der punktweisen Konvergenz.

Konvergenz von Funktionenfolgen: Definition Funktionenfolge und punktweise konvergent

Wenn die Glieder f_n einer Folge von einem Parameter abhängen, spricht man von einer Funktionenfolge. $f_n(x)=\frac{x}{n}$ ist beispielsweise eine Funktion von und gleichzeitig eine Folge. Die einzelnen Folgenglieder erhält man, indem man für eine beliebige natürliche Zahl einsetzt, zum Beispiel $f_2\left(x\right)=\frac{x}{2}$ oder $f_3\left(x\right)=\frac{x}{3}$ .

Existiert für jedes $x\in\ I$ der Grenzwert:

$f\left(x\right)=\(\lim\limits_{n \to \infty} \ f_n\left(x\reight)$

dann ist die Funktionenfolge punktweise konvergent und f(x) heißt Grenzfunktion der Funktionenfolge.

Funktionenfolgen: Punktweise Konvergenz — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was heißt punktweise Konvergenz bei einer Funktionenfolge?

Punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge bedeutet, dass für jedes fest gewählte im Intervall der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ existiert. Konkret hältst du konstant und lässt nur gegen unendlich laufen. Die so entstehende Zuordnung heißt Grenzfunktion.
Wie bestimme ich die Grenzfunktion bei punktweiser Konvergenz Schritt für Schritt?

Die Grenzfunktion bei punktweiser Konvergenz bestimmst du, indem du für jedes feste $x\in I$ den Grenzwert $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ berechnest. Praktisch: Setze ein konkretes ein, zum Beispiel bei $f_n(x)=\frac{x}{n}$ erst , dann ist $f_n(2)=\frac{2}{n}\to 0$ . Danach machst du das als allgemeine Rechnung für beliebiges .
Wie finde ich bei der Funktionenfolge x hoch n die Grenzfunktion auf dem Intervall von null bis eins?

Die Grenzfunktion der Funktionenfolge auf ist für alle gleich und für gleich . Denn für jedes feste mit $0\le x<1$ gilt $x^n\to 0$ , während für alle bleibt. Damit ist auf und .