Woran erkenne ich schnell, ob eine Differentialgleichung homogen oder inhomogen ist?

Du erkennst eine homogene Differentialgleichung daran, dass nach dem Umstellen rechts nur steht, also . Steht rechts eine von der unabhängigen Variablen abhängige „Störfunktion“ , ist sie inhomogen. Beispiel: homogen, inhomogen.

Was bedeutet die Inhomogenität auf der rechten Seite physikalisch?

Die Inhomogenität auf der rechten Seite bedeutet physikalisch eine äußere Einwirkung oder Quelle, die das System antreibt. Sie steht für etwas, das von außen Energie oder Impuls zuführt, zum Beispiel eine anregende Kraft. Dadurch folgt die Bewegung nicht nur der „Eigenbewegung“, sondern zusätzlich der Anregung.

Warum beschreibt die homogene Gleichung beim Feder-Masse-Dämpfer-System nur die Eigenschwingung?

Die homogene Gleichung beschreibt beim Feder-Masse-Dämpfer-System nur die Eigenschwingung, weil keine äußere Kraft wirkt, also . Dann entsteht die Bewegung ausschließlich aus Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit. Dämpfung baut Energie ab, deshalb klingt die Schwingung typischerweise ab.

Was ändert sich am Feder-Masse-Dämpfer-System, wenn eine äußere Kraft als rechte Seite dazukommt?

Mit einer äußeren Kraft wird aus die inhomogene Gleichung . Neben der abklingenden Eigenschwingung gibt es dann eine erzwungene Antwort, die von Form und Frequenz von abhängt. Im eingeschwungenen Zustand dominiert oft die erzwungene Schwingung.

Wie setze ich die Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung aus homogener Lösung und partikulärer Lösung zusammen?

Die Gesamtlösung einer inhomogenen Differentialgleichung setzt du als Summe zusammen. löst die zugehörige homogene Gleichung (rechte Seite ), ist eine konkrete Lösung, die trifft. Die Konstanten in bestimmst du mit Anfangs- oder Randbedingungen.

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Homogene & inhomogene DGL

Name: Homogene & inhomogene DGL
Uploaded: 2026-02-17T15:20:19Z
Duration: 2 min 24 s
Description: Differentialgleichungen lassen sich in homogene und inhomogene Differentialgleichungen unterscheiden. Hier erklären wir dir, woran du diese Unterteilung formal erkennen kannst und wie sie in der Physik angewendet wird.

Differentialgleichungen lassen sich in homogene und inhomogene Differentialgleichungen unterscheiden. Hier erklären wir dir, woran du diese Unterteilung formal erkennen kannst und wie sie in der Physik angewendet wird.

Inhaltsübersicht

Unterschied homogene und inhomogene Differentialgleichung

Zu Beginn schauen wir uns daher nochmal an, wie man eine Differentialgleichung allgemein schreiben kann:

$f\left(y,y^\prime,\ldots,y^{\left(m\right)}\right)=b(x)$

Dabei sortierst du alle Ableitungen und die Funktion y selbst auf die linke Seite und alle Terme, die nur von x abhängen nach rechts. Die rechte Seite der Differentialgleichung ist die Inhomogenität. Sie wird auch Störfunktion genannt.

homogene differentialgleichung, inhomogene differentialgleichung, dgl — Homogene & inhomogene DGL

Homogene DGL:

$b\left(x\right)=0$
$f\left(y,y^\prime,\ldots,y^{\left(m\right)}\right)=0$

Wenn b(x) = 0 ist, heißt die Differentialgleichung homogen.

Inhomogene DGL:

$b\left(x\right)\neq0$
$f\left(y,y^\prime,\ldots,y^{\left(m\right)}\right)=b(x)$

Ansonsten wird sie als inhomogen bezeichnet.

Homogene & inhomogene DGL — häufigste Fragen

(ausklappen)

Woran erkenne ich schnell, ob eine Differentialgleichung homogen oder inhomogen ist?

Du erkennst eine homogene Differentialgleichung daran, dass nach dem Umstellen rechts nur steht, also $f(y,y',\dots)=0$ . Steht rechts eine von der unabhängigen Variablen abhängige „Störfunktion“ $b(x)\neq 0$ , ist sie inhomogen. Beispiel: homogen, inhomogen.
Was bedeutet die Inhomogenität auf der rechten Seite physikalisch?

Die Inhomogenität auf der rechten Seite bedeutet physikalisch eine äußere Einwirkung oder Quelle, die das System antreibt. Sie steht für etwas, das von außen Energie oder Impuls zuführt, zum Beispiel eine anregende Kraft. Dadurch folgt die Bewegung nicht nur der „Eigenbewegung“, sondern zusätzlich der Anregung.
Warum beschreibt die homogene Gleichung beim Feder-Masse-Dämpfer-System nur die Eigenschwingung?

Die homogene Gleichung beschreibt beim Feder-Masse-Dämpfer-System nur die Eigenschwingung, weil keine äußere Kraft wirkt, also $kx(t)+d\dot{x}(t)+m\ddot{x}(t)=0$ . Dann entsteht die Bewegung ausschließlich aus Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit. Dämpfung baut Energie ab, deshalb klingt die Schwingung typischerweise ab.
Was ändert sich am Feder-Masse-Dämpfer-System, wenn eine äußere Kraft als rechte Seite dazukommt?

Mit einer äußeren Kraft wird aus $kx+d\dot{x}+m\ddot{x}=0$ die inhomogene Gleichung $kx+d\dot{x}+m\ddot{x}=F(t)$ . Neben der abklingenden Eigenschwingung gibt es dann eine erzwungene Antwort, die von Form und Frequenz von abhängt. Im eingeschwungenen Zustand dominiert oft die erzwungene Schwingung.
Wie setze ich die Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung aus homogener Lösung und partikulärer Lösung zusammen?

Die Gesamtlösung einer inhomogenen Differentialgleichung setzt du als Summe zusammen. löst die zugehörige homogene Gleichung (rechte Seite ), ist eine konkrete Lösung, die trifft. Die Konstanten in bestimmst du mit Anfangs- oder Randbedingungen.

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Inhomogenität Beispiel aus der Physik

Schauen wir uns als nächstes an, wie die Inhomogenität in der Physik vorkommt. Dafür nutzen wir das Feder-Masse-Dämpfer-System mit Federsteifigkeit k, Dämpferkonstante d und Masse m.

$kx(t)+d\dot{x}(t)+m\ddot{x}(t)=0$

Schauen wir uns die DGL nochmals an. Hier ist unsere unbekannte Funktion die Position, die wir nach der Zeit abgeleiten. Alle x beinhaltenden Ableitungen und x selbst stehen bereits auf der linken Seite der Gleichung. Rechts steht eine Null, sodass wir folgern können, dass es sich um eine homogene Differentialgleichung handelt. Diese beschreibt nur die Eigenschwingung des Systems. Wäre die Masse zum Zeitpunkt t=0 ausgelenkt, würde sie danach wieder in den Gleichgewichtszustand schwingen und dann stillstehen.

Eine Inhomogenität wäre bei mechanischen Schwingungen eine anregende Kraft F(x)

$kx+d\dot{x}+m\ddot{x}=F(x)$

Die inhomogene DGL beschreibt zusätzlich zur Eigenschwingung die durch die Kraft F erzwungene Schwingung. Da die Masse dauerhaft bewegt wird, pendelt sie sich nicht ein, sondern folgt der Anregung. Deshalb wird die rechte Seite auch Störfunktion genannt. Sie stört in diesem Fall die Masse daran, sich in ihrer Gleichgewichtslage einzupendeln.

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