Warum reicht es, die Wronski-Determinante nur an einem x zu prüfen?

Es reicht, die Wronski-Determinante an einem einzigen Wert zu prüfen, weil sie für Lösungen eines linearen homogenen Systems entweder überall 0 ist oder nirgends 0 (auf einem zusammenhängenden Intervall). Ist also , bleibt sie dort von 0 getrennt und die Lösungen sind linear unabhängig.

Wann darf ich die Wronski-Determinante nicht als Unabhängigkeits-Test benutzen?

Die Wronski-Determinante ist als Unabhängigkeitstest nicht zuverlässig, wenn die betrachteten Funktionen keine Lösungen derselben linearen homogenen Differentialgleichung sind oder wenn du außerhalb eines gemeinsamen Definitionsintervalls rechnest. Dann kann auftreten, obwohl die Funktionen trotzdem linear unabhängig sind.

Wie erkenne ich schnell, ob zwei Lösungsvektoren nur Vielfache sind?

Zwei Lösungsvektoren sind genau dann nur Vielfache, wenn es eine Konstante gibt mit für alle im Intervall. Schnelltest: Prüfe komponentenweise Quotienten, wo der Nenner nicht 0 ist, und kontrolliere, ob derselbe konstante Wert herauskommt. Zum Beispiel: Ergibt sich aus beiden Komponenten stets , sind sie Vielfache.

Welche Fehler passieren oft beim Aufstellen der Fundamentalmatrix?

Häufige Fehler beim Aufstellen der Fundamentalmatrix sind vertauschte Zeilen und Spalten, das Mischen von Lösungen aus verschiedenen Gleichungen und das Einsetzen von Zahlen statt der Funktionen . Beispiel: Wenn die Lösungsvektoren als Zeilen statt als Spalten eingetragen werden, entsteht eine andere Matrix und die Determinante wird falsch interpretiert.

Wie unterscheide ich die Fundamentalmatrix von der Wronski-Matrix?

Die Fundamentalmatrix besteht aus Lösungsvektoren eines Systems erster Ordnung als Spalten, also . Die Wronski-Matrix wird bei einer skalaren Gleichung n-ter Ordnung aus den Funktionen und ihren Ableitungen bis zur -ten Ableitung aufgebaut. Beide Determinanten heißen Wronski-Determinante, aber die Matrizen entstehen unterschiedlich.

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Fundamentalsystem und Wronski-Determinante

Name: Fundamentalsystem - Wronski-Determinante
Uploaded: 2026-02-16T08:20:18Z
Duration: 4 min 23 s
Description: Du möchtest wissen, was ein Fundamentalsystem ist? Im Folgenden erklären wir dir genauer, was es mit der Fundamentalmatrix und der Wronski-Determinante auf sich hat.

Du möchtest wissen, was ein Fundamentalsystem ist? Im Folgenden erklären wir dir genauer, was es mit der Fundamentalmatrix und der Wronski-Determinante auf sich hat.

Inhaltsübersicht

Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante Definitionen

Sind die Vektoren $y_1,\ y_2,\ \ldots\ ,\ y_n$ Lösungen der homogenen Differentialgleichung, dann ist auch jede Linearkombination der Lösungen eine Lösung des Differentialgleichungs-Systems.

Ein System von Lösungsvektoren $\left\{y_1,\ldots,y_n\right\}$ heißt linear unabhängig, wenn

$\alpha_1y_1+\ldots+a_my_m=0\ \rightarrow\ a_i=0$

nur die triviale Lösung, also wenn alle Koeffizienten a_i=0 sind, die dargestellte Gleichung löst.

Definition Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante

Ein linear unabhängiges System $\left\{y_1,\ldots,y_n\right\}$ heißt Fundamentalsystem. Die Lösungen $y_1,\ldots,y_n$ heißen Grundlösungen. Du kannst prüfen, ob ein System linear unabhängig ist, indem du die Determinante der Fundamentalmatrix berechnest. Die Fundamentalmatrix stellst du so auf:

$Y\left(x\right)=[y_1(x)|\ldots|y_n(x)]$

Die Spalten sind die Lösungsvektoren y_1 bis y_n des linearen DGL-Systems erster Ordnung. Die Determinante der Fundamentalmatrix heißt Wronski-Determinante.

$\exists\ x:\ \det{Y(x)}\neq0$

Ist diese für mindestens ein x ungleich Null, sind die Lösungen linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor. Das umgedrehte E $\exists$ ist der Existenzquantor. Er bedeutet: „Es existiert ein x“

Die allgemeine Lösung ist dann:

$y\left(x\right)=c_1y_1\left(x\right)+\ldots+c_ny_n\left(x\right)$
$y\left(x\right)=c_1y_1\left(x\right)+\ldots+c_ny_n\left(x\right)=[y_1(x)|\ldots\left|y_n\left(x\right)\right]\left[\begin{matrix}c_1\\\vdots\ \\c_n\\\end{matrix}\right]=Y\left(x\right)c$

Die mit Koeffizienten c_1 bis c_n multiplizierten summierten Grundlösungen y_1 bis y_n . Du kannst die Lösung auch kompakt in Abhängigkeit von der Fundamental Matrix schreiben.

Beispiel

Als nächstes schauen wir uns ein Beispiel an.

Dieses System hat dann die Lösungen y_1 und y_2 . Dann ergibt sich als Wronski-Determinante: $-\sin^2{x}-\cos^2{x}$ . Das ergibt -1, da $\sin^2{x}+\cos^2{x}$ gleich 1 ist.

-1 ist ungleich Null und damit sind die Lösungen linear unabhängig. Die allgemeine Lösung des DGL-Systems lautet also so:

$y\left(x\right)=c_1\binom{\sin{x}}{\cos{x}}+c_2\binom{\cos{x}}{-\sin{x}}=\left(\begin{matrix}\sin{x}&\cos{x}\\\cos{x}&-\sin{x}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c_1\\c_2\\\end{matrix}\right)$

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Alternativer Weg zur Bestimmung der Wronski-Determinante

Du kannst die Wronski-Determinante ebenfalls bestimmen, wenn dir ein potentielles Fundamentalsystem ${y_1\left(x\right),\ y_2\left(x\right),\ldots\ y_n(x)}$ einer skalaren Gleichung n-ter Ordnung vorliegt. Dann kannst du die sogenannte Wronski-Matrix aus den skalaren Lösungen und ihren Ableitungen aufstellen.

$W=\left(\begin{matrix}y_1&\cdots&y_n\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\\end{matrix}\right)$

In der obersten Zeile stehen die Funktionen y und in den Zeilen darunter die Ableitungen bis zur n-1ten Ableitung. Das Fundamentalsystem ${y_1,\ldots\ y_n}$ ist genau dann linear unabhängig, wenn

$\exists\ x:\ \det{W\left(x\right)}\neq0$

ist.

Fundamentalsystem und Wronski-Determinante — häufigste Fragen

(ausklappen)

Warum reicht es, die Wronski-Determinante nur an einem x zu prüfen?

Es reicht, die Wronski-Determinante an einem einzigen Wert zu prüfen, weil sie für Lösungen eines linearen homogenen Systems entweder überall 0 ist oder nirgends 0 (auf einem zusammenhängenden Intervall). Ist also $\det(Y(x_0)) \neq 0$ , bleibt sie dort von 0 getrennt und die Lösungen sind linear unabhängig.
Wann darf ich die Wronski-Determinante nicht als Unabhängigkeits-Test benutzen?

Die Wronski-Determinante ist als Unabhängigkeitstest nicht zuverlässig, wenn die betrachteten Funktionen keine Lösungen derselben linearen homogenen Differentialgleichung sind oder wenn du außerhalb eines gemeinsamen Definitionsintervalls rechnest. Dann kann $\det(W(x)) = 0$ auftreten, obwohl die Funktionen trotzdem linear unabhängig sind.
Wie erkenne ich schnell, ob zwei Lösungsvektoren nur Vielfache sind?

Zwei Lösungsvektoren sind genau dann nur Vielfache, wenn es eine Konstante gibt mit $y_2(x)=c\,y_1(x)$ für alle im Intervall. Schnelltest: Prüfe komponentenweise Quotienten, wo der Nenner nicht 0 ist, und kontrolliere, ob derselbe konstante Wert herauskommt. Zum Beispiel: Ergibt sich aus beiden Komponenten stets , sind sie Vielfache.
Welche Fehler passieren oft beim Aufstellen der Fundamentalmatrix?

Häufige Fehler beim Aufstellen der Fundamentalmatrix sind vertauschte Zeilen und Spalten, das Mischen von Lösungen aus verschiedenen Gleichungen und das Einsetzen von Zahlen statt der Funktionen . Beispiel: Wenn die Lösungsvektoren als Zeilen statt als Spalten eingetragen werden, entsteht eine andere Matrix und die Determinante wird falsch interpretiert.
Wie unterscheide ich die Fundamentalmatrix von der Wronski-Matrix?

Die Fundamentalmatrix besteht aus Lösungsvektoren eines Systems erster Ordnung als Spalten, also $Y(x)=[y_1(x)|\dots|y_n(x)]$ . Die Wronski-Matrix wird bei einer skalaren Gleichung n-ter Ordnung aus den Funktionen und ihren Ableitungen bis zur -ten Ableitung aufgebaut. Beide Determinanten heißen Wronski-Determinante, aber die Matrizen entstehen unterschiedlich.

Zweites Beispiel

Dazu wollen wir uns auch ein Beispiel ansehen. Du hast das Fundamentalsystem y_1,y_2,y_3 gegeben.

Beispiel Fundalmentalsystem und Wronski-Determinante

Dann ergibt sich die Wronski-Matrix aus den Ableitungen der drei Lösungen. X abgeleitet ergibt Eins. Noch einmal abgeleitet Null. Die Ableitung von e^x ist e^x und Sinus abgeleitet ergibt den Kosinus und in der zweiten Ableitung den negativen Sinus. Jetzt musst du die Determinante der Wronski-Matrix bilden.

Fassen wir noch schnell zusammen und schauen uns das Ergebnis an. Wir wissen, dass der Faktor e^x stets positiv ist. Den brauchen wir also nicht weiter zu betrachten. $\left(2-x\right)\ast\ sin{x}-x\ast\ cos{x}$ ist im allgemeinen Fall auch nicht gleich Null. Probieren wir das mal für ein beliebiges x aus, zum Beispiel $x=\pi$ . Wir setzen $\pi$ für x ein. Sinus $\pi$ ist gleich Null und Kosinus $\pi$ ist gleich -1. Übrig bleibt $\pi$ . Also haben wir ein x gefunden, für das die Wronksy-Determinante ungleich Null ist. Die Lösungen sind somit linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor.