Woran erkenne ich, ob eine Differentialgleichung trennbar ist?

Eine Differentialgleichung ist trennbar, wenn sie sich in die Form umschreiben lässt, also ein Faktor nur von und ein Faktor nur von abhängt. Dann kann man die Terme so sortieren, dass links nur und rechts nur steht.

Wie bringe ich eine trennbare Differentialgleichung in die Form „nur y links“?

Du schreibst zuerst als und sortierst dann alle -abhängigen Teile auf die linke Seite und alle -abhängigen Teile nach rechts. Ziel ist die Form , damit beide Seiten getrennt integrierbar sind.

Wann integriere ich bei der Variablentrennung bestimmt statt unbestimmt?

Bestimmt integrierst du, wenn du die Anfangswerte direkt als untere Integrationsgrenzen einsetzen willst, sodass keine Konstante mehr separat bestimmt werden muss. Unbestimmt integrierst du, wenn du erst eine allgemeine Lösung mit aufschreibst und die Anfangsbedingung später einsetzt.

Wie nutze ich eine Anfangsbedingung, um die Konstante C zu finden?

Du setzt die Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung ein, also den gegebenen -Wert und den dazugehörigen -Wert, und löst dann nach auf. Konkret: Wenn gilt, setzt man und in die Gleichung mit ein.

Wie mache ich eine Probe, ob meine Lösung wirklich stimmt?

Für die Probe leitest du deine gefundene Funktion ab und setzt anschließend und in die ursprüngliche Differentialgleichung ein. Stimmen linke und rechte Seite dann überein, ist die Lösung korrekt. Beispiel: Ergibt das Einsetzen wieder , passt die Lösung.

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Trennung der Variablen

Name: Trennung der Variablen
Uploaded: 2026-02-18T15:35:33Z
Duration: 3 min 38 s
Description: Du möchtest wissen, wie die Methode der Trennung der Variablen funktioniert? Im Folgenden zeigen wir dir, was trennbare Differentialgleichungen sind und wie du sie mithilfe der Trennung der Variablen lösen kannst.

Du möchtest wissen, wie die Methode der Trennung der Variablen funktioniert? Im Folgenden zeigen wir dir, was trennbare Differentialgleichungen sind und wie du sie mithilfe der Trennung der Variablen lösen kannst.

Inhaltsübersicht

Lösung von homogenen Differentialgleichungen

Die Methode der Trennung der Variablen wird auch häufig als Trennung der Veränderlichen, Separation der Variablen oder Separationsmethode bezeichnet. Du kannst dieses Verfahren anwenden, wenn du eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in folgender Form schreiben kannst:

$y^\prime=f\left(x\right)g(y)$

Die DGL heißt dann trennbar oder separierbar. f(x) fasst alle von abhängigen Anteile zusammen und g(x) enthält alle von abhängigen Anteile. $y^\prime$ ist die Ableitung von nach , die du auch so darstellen kannst:

Im nächsten Schritt sortierst du. Der Term links vom Gleichheitszeichen ist nur noch direkt von abhängig, rechts kommt nur noch vor.

$\frac{dy}{g\left(y\right)}=f\left(x\right)dx$

Separation der Variablen: Bestimmte und unbestimmte Integration

Jetzt kannst du integrieren. Dafür hast du zwei Möglichkeiten. Entweder integrierst du unbestimmt und kümmerst dich erst später um die auftretende Konstante C oder du integrierst bestimmt und setzt die Anfangswerte als untere Grenzen ein.

Trennung der Variablen: Bestimmte und unbestimmte Integration — Bestimmte und unbestimmte Integration

Beides hat Vor- und Nachteile. Die direkte Integration spart dir am Ende Arbeit, weil du die Anfangswerte nicht mehr einsetzen musst, um C zu bestimmen. Sie ist allerdings unübersichtlicher. Letztendlich ist es Geschmackssache, welche Integrationsmethode du bevorzugst. Nachdem du die Stammfunktionen bestimmt hast, kannst du die Gleichung nach y auflösen und erhältst deine Lösung.

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Trennung der Variablen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Woran erkenne ich, ob eine Differentialgleichung trennbar ist?

Eine Differentialgleichung ist trennbar, wenn sie sich in die Form $y' = f(x)\,g(y)$ umschreiben lässt, also ein Faktor nur von und ein Faktor nur von abhängt. Dann kann man die Terme so sortieren, dass links nur und rechts nur steht.
Wie bringe ich eine trennbare Differentialgleichung in die Form „nur y links“?

Du schreibst zuerst als $\frac{dy}{dx}$ und sortierst dann alle -abhängigen Teile auf die linke Seite und alle -abhängigen Teile nach rechts. Ziel ist die Form $\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$ , damit beide Seiten getrennt integrierbar sind.
Wann integriere ich bei der Variablentrennung bestimmt statt unbestimmt?

Bestimmt integrierst du, wenn du die Anfangswerte direkt als untere Integrationsgrenzen einsetzen willst, sodass keine Konstante mehr separat bestimmt werden muss. Unbestimmt integrierst du, wenn du erst eine allgemeine Lösung mit aufschreibst und die Anfangsbedingung später einsetzt.
Wie nutze ich eine Anfangsbedingung, um die Konstante C zu finden?

Du setzt die Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung ein, also den gegebenen -Wert und den dazugehörigen -Wert, und löst dann nach auf. Konkret: Wenn gilt, setzt man und in die Gleichung mit ein.
Wie mache ich eine Probe, ob meine Lösung wirklich stimmt?

Für die Probe leitest du deine gefundene Funktion ab und setzt anschließend und in die ursprüngliche Differentialgleichung ein. Stimmen linke und rechte Seite dann überein, ist die Lösung korrekt. Beispiel: Ergibt das Einsetzen wieder $y'=\frac{x}{y}$ , passt die Lösung.

Beispiel

Üben wir das am besten gemeinsam an einem Beispiel. Wir haben folgende Differentialgleichung:

$y^\prime=\frac{x}{y}$

Gehen wir nun die einzelnen Schritte durch. Du kannst $y^\prime$ umschreiben zu $\frac{dy}{dx}$ . Danach sortierst du alle nach rechts und alle auf die linke Seite des Gleichheitszeichens. Jetzt kannst du beide Seiten integrieren.

Trennung der Variablen: Beispiel — Beispiel

Wir entscheiden uns für die unbestimmte Integration, um einen besseren Überblick zu behalten.

$\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C$

Jetzt können wir die DGL nach y umstellen. Das ist die allgemeine Lösung der DGL. Die eindeutige Lösung erhältst du mit einer Anfangsbedingung. Sagen wir, unsere Anfangsbedingung ist:

$y\left(0\right)=1$

Diese setzt du in die Gleichung der allgemeinen Lösung ein. Du quadrierst beide Seiten und teilst durch zwei, sodass sich $C=\frac{1}{2}$ ergibt. Damit ist deine eindeutige Lösung:

Um sicher zu gehen, dass du alles richtig gemacht hast, kannst du eine Probe machen. Dafür leitest du ab, indem du die Kettenregel anwendest.

$y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\ast\ 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Erst leitest du die Wurzel ab und dann bildest du die innere Ableitung von x^2+1 . Sie ist . Das fasst du zusammen. Setze jetzt die Ableitung in die ursprüngliche DGL $y^\prime=\frac{x}{y}$ ein.

$y^\prime=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{y}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

im Zähler bleibt stehen und für im Nenner setzt du $\sqrt{x^2+1}$ ein. Die Ausdrücke sind gleich. Wir haben alles richtig gemacht. Jetzt kennst du die trennbaren Differentialgleichungen und du weißt, wie du sie lösen kannst.