Anfangswertproblem
Du möchtest wissen, was es mit dem Anfangswertproblem auf sich hat, wann es eintritt und wie es sich lösen lässt? In diesem Beitrag erklären wir es dir.
Inhaltsübersicht
Lösen einer Differentialgleichung mithilfe der e-Funktion
Wenn du eine Differentialgleichung löst, erhältst du zunächst eine allgemeine Lösung. Nehmen wir an, wir haben die folgende Differentialgleichung gegeben:
Diese Gleichung wird gelöst durch die Exponentialfunktion, denn hier ist die Funktion genau gleich, wie ihre Ableitung:
Also löst die e-Funktion die Differentialgleichung. Aber ist das die einzige Lösung?
Wenn man den Lösungsansatz
wählt, ergibt sich die Ableitung:
Das neue y löst die Differentialgleichung ebenso. Du kannst die e-Funktion sogar mit einer beliebigen Konstante multiplizieren
und erhältst unendlich viele Lösungen beziehungsweise die allgemeine Lösung.
Anfangswertproblem — häufigste Fragen
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Anfangswertproblem — häufigste Fragen
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Was ist ein Anfangswertproblem bei einer Differentialgleichung?Ein Anfangswertproblem ist eine Differentialgleichung zusammen mit mindestens einer Anfangsbedingung wie
. Der Anfangswert beschreibt den Startzustand an einer Stelle 
und legt fest, welche konkrete Lösung aus der ganzen Lösungsfamilie gemeint ist.
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Warum hat eine Differentialgleichung ohne Anfangswert keine eindeutige Lösung?Eine Differentialgleichung ohne Anfangswert hat meist keine eindeutige Lösung, weil beim Lösen Integrationskonstanten frei bleiben. Dadurch entsteht eine ganze Familie von Lösungen. Konkret bedeutet das: Wenn die allgemeine Lösung
ist, liefert jedes 
eine andere Kurve.
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Wie bestimme ich die Konstante in der allgemeinen Lösung mit einem Anfangswert?Die Konstante bestimmst du, indem du den Anfangswert in die allgemeine Lösung einsetzt und dann nach der Konstante auflöst. Zum Beispiel: Aus und
wird 
, also 
.
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Wie erkenne ich im Graphen, welche Lösungskurve zum Anfangswert gehört?Im Graphen gehört die Lösungskurve zum Anfangswert genau zu der Kurve, die durch den Anfangspunkt verläuft. Konkret: Zeichne den Punkt
ein. Von allen Lösungskurven ist die gesuchte Lösung diejenige, die diesen Punkt trifft.
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Wie viele Anfangswerte brauche ich bei einer Differentialgleichung zweiter oder dritter Ordnung?Bei einer Differentialgleichung zweiter Ordnung brauchst du 2 Anfangswerte, bei dritter Ordnung 3 Anfangswerte, damit die Lösung eindeutig festliegt. Typisch sind Werte wie
und 
beziehungsweise zusätzlich 
, weil entsprechend viele Konstanten auftreten.
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Bestimmen eines Anfangswerts
Um jetzt die eindeutige Lösung bestimmen zu können, benötigst du noch einen Anfangswert. Der könnte
sein. Anfangswert bedeutet, dass man den Anfangszustand kennt. Es gibt viele Differentialgleichungen in Zeit, bei denen die Beschreibung eines Phänomens ab dem Zeitpunkt Null läuft.
Wir setzen zunächst in die allgemeine Lösung ein
Wie du weißt ist 
somit ergibt sich:
Dann setzen wir dies mit dem Anfangswert gleich.
Aufgelöst nach C
ergibt sich C ist gleich Eins.