Was ist der Unterschied zwischen einer expliziten und einer impliziten gewöhnlichen Differentialgleichung?

Eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung ist nach der höchsten Ableitung aufgelöst, zum Beispiel . Eine implizite gewöhnliche Differentialgleichung steht dagegen als Bedingung und ist nicht direkt nach (oder der höchsten Ableitung) umgestellt.

Was bedeutet es, wenn eine gewöhnliche Differentialgleichung autonom ist?

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist autonom, wenn die unabhängige Variable nicht explizit vorkommt. Dann hängt die Änderungsrate nur vom aktuellen Zustand ab, zum Beispiel statt . Das ist typisch für zeitinvariante Systeme in Physik und Technik.

Wie erkenne ich, ob eine gewöhnliche Differentialgleichung separierbar ist?

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist separierbar, wenn du sie so umformen kannst, dass alle -Terme auf einer Seite und alle -Terme auf der anderen stehen, also . Zum Beispiel wird zu .

Was ist der Unterschied zwischen einer homogenen und einer inhomogenen gewöhnlichen Differentialgleichung?

Bei einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung heißt „homogen“, dass keine äußere Anregung vorkommt, also (rechte Seite ist 0). „Inhomogen“ bedeutet mit einer von 0 verschiedenen rechten Seite, die das System „treibt“.

Was ist der Unterschied zwischen einer Anfangswertaufgabe und einer Randwertaufgabe bei gewöhnlichen Differentialgleichungen?

Eine Anfangswertaufgabe legt die Lösung durch Bedingungen an einem einzigen Punkt fest, zum Beispiel und eventuell . Eine Randwertaufgabe gibt Bedingungen an verschiedenen Stellen vor, zum Beispiel und , oft an den Grenzen eines Intervalls.

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Gewöhnliche DGL

Name: Gewöhnliche DGL
Uploaded: 2026-02-17T15:30:20Z
Duration: 2 min 9 s
Description: Du möchtest wissen, was eine gewöhnliche Differentialgleichung ist und in welchen Bereichen sie verwendet wird? Dann bist du hier genau richtig.

Du möchtest wissen, was eine gewöhnliche Differentialgleichung ist und in welchen Bereichen sie verwendet wird? Dann bist du hier genau richtig.

Inhaltsübersicht

Gewöhnliche Differentialgleichung Definition und allgemeine Erklärung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung, die auch häufig als gewöhnliche DGL oder GDGL abgekürzt wird, ist eine Gleichung oder ein Gleichungssystem, das aus einer Funktion {y}}(x) und ihren Ableitungen ${y}^\prime\left(x\right),{y}^{\prime\prime}\left(x\right),\ldots,{y}^{\left(m\right)}\left(x\right)$ besteht.

$F\left(x,\ y\left(x\right),y^\prime\left(x\right),\ldots,y^{\left(m\right)}\left(x\right)\right)=0$

Sie heißt gewöhnlich, da die unbekannte Funktion y nur von einer Variablen x abhängt und nur nach dieser abgeleitet wird. Eine Differentialgleichung beschreibt mathematisch Modelle für die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems.

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Gewöhnliche DGL — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen einer expliziten und einer impliziten gewöhnlichen Differentialgleichung?

Eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung ist nach der höchsten Ableitung aufgelöst, zum Beispiel . Eine implizite gewöhnliche Differentialgleichung steht dagegen als Bedingung und ist nicht direkt nach (oder der höchsten Ableitung) umgestellt.
Was bedeutet es, wenn eine gewöhnliche Differentialgleichung autonom ist?

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist autonom, wenn die unabhängige Variable nicht explizit vorkommt. Dann hängt die Änderungsrate nur vom aktuellen Zustand ab, zum Beispiel statt . Das ist typisch für zeitinvariante Systeme in Physik und Technik.
Wie erkenne ich, ob eine gewöhnliche Differentialgleichung separierbar ist?

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist separierbar, wenn du sie so umformen kannst, dass alle -Terme auf einer Seite und alle -Terme auf der anderen stehen, also $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g(x)\,h(y)$ . Zum Beispiel wird $y'=x\,y$ zu $\frac{1}{y}\,\mathrm{d}y=x\,\mathrm{d}x$ .
Was ist der Unterschied zwischen einer homogenen und einer inhomogenen gewöhnlichen Differentialgleichung?

Bei einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung heißt „homogen“, dass keine äußere Anregung vorkommt, also (rechte Seite ist 0). „Inhomogen“ bedeutet mit einer von 0 verschiedenen rechten Seite, die das System „treibt“.
Was ist der Unterschied zwischen einer Anfangswertaufgabe und einer Randwertaufgabe bei gewöhnlichen Differentialgleichungen?

Eine Anfangswertaufgabe legt die Lösung durch Bedingungen an einem einzigen Punkt fest, zum Beispiel und eventuell . Eine Randwertaufgabe gibt Bedingungen an verschiedenen Stellen vor, zum Beispiel $y(a)=\alpha$ und $y(b)=\beta$ , oft an den Grenzen eines Intervalls.

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Gewöhnliche Differentialgleichung Beispiel aus dem Bereich Mechanik

Am besten lässt sich das Thema an ein paar Beispielen erklären. Das erste Beispiel kommt aus der Mechanik: dort können Schwingungen mit einer DGL beschrieben werden. In der folgenden Grafik kannst du ein Feder-Masse-Dämpfer-System sehen.

Seine Schwingung lässt sich durch die folgende Gleichung beschreiben:

$kx+d\dot{x}+m\ddot{x}=0$

Die Variablen stehen hierbei für:

x = Position der Masse

k = Federsteifigkeit

d = Dämpferkonstante

Außer der Position x kommen in der Differentialgleichung auch die erste und die zweite Ableitung der Position vor. Das sind die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der Masse. Die Differentialgleichung beschreibt die Eigenschwingung der gefederten und gedämpften Masse.

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