Du möchtest wissen, wie du eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung in ein System 1. Ordnung transformierst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen an einem einfachen Beispiel.
Beispiel zur Transformation in ein System 1. Ordnung
In vielen Fällen ist es einfacher mit Differentialgleichungen erster Ordnung zu rechnen. Dafür gibt es verschiedene Lösungsmethoden, wie die Variation der Konstanten. Diese Methode kannst du auch auf Systeme übertragen. Wie du eine DGL höherer Ordnung in ein System erster Ordnung transformierst, zeigen wir direkt an einem Beispiel. Du hast eine DGL zweiter Ordnung, wie diese hier:
Nun führst du zwei neue Variablen ein: 
und 
. Diese setzt du in die ursprüngliche DGL zweiter Ordnung ein. Und schon ist es eine Differentialgleichung erster Ordnung.
Die zwei Variablen 
und 
verlangen nach einem System aus zwei Differentialgleichungen. Das ist wie bei linearen Gleichungssystemen. Du brauchst zwei Gleichungen bei zwei Unbekannten. Die zweite DGL deines Systems ergibt sich aus der Definition von , in der du 
durch ersetzt. und sind ja schließlich gleich. Es ergibt sich das Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Das kannst du jetzt auch in Matrizenschreibweise schreiben:
Die Vorfaktoren vor und kommen an die passende Stelle in der Matrix und Inhomogenitäten in einen Extra Vektor. Allgemein kannst du schreiben:
Im Beispiel ergeben sich für den Vektor y, die Matrix A und den b-Vektor:
