Wie wähle ich die neuen Variablen bei einer DGL zweiter Ordnung?

Bei einer DGL zweiter Ordnung wählst du die neuen Variablen als Funktion und erste Ableitung, also und . Dadurch kannst du über ausdrücken und bekommst ein System aus zwei DGL erster Ordnung.

Was ist die zweite Gleichung im System bei y₁ gleich y?

Die zweite Gleichung im System entsteht aus der Definition von : Weil und zugleich gilt, folgt direkt . Konkret bedeutet das: Die Ableitung der ersten neuen Variable ist die zweite Variable.

Wie baue ich die Matrix A aus den Vorfaktoren der DGL?

Die Matrix entsteht, indem du die rechten Seiten der Gleichungen als Linearkombination von schreibst und die Vorfaktoren als Matrixeinträge übernimmst. Zum Beispiel wird aus die Zeile .

Wo kommt die Inhomogenität in der Matrix-Vektor-Form hin?

Die Inhomogenität kommt in der Matrix-Vektor-Form in einen separaten Vektor , nicht in die Matrix . In der Schreibweise enthält genau die Terme, die nicht mit einer der Variablen multipliziert sind.

Warum brauche ich bei einer DGL vierter Ordnung vier Variablen?

Bei einer DGL vierter Ordnung brauchst du vier Variablen, weil du die Ableitungskette bis zur dritten Ableitung als eigene Zustandsgrößen abbilden musst, damit alles nur noch erste Ableitungen enthält. Auch wenn in der DGL nicht vorkommt, wird die Variable dafür trotzdem benötigt.

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Transformation in System 1. Ordnung

Name: Transformation in System 1. Ordnung
Uploaded: 2026-02-16T08:20:18Z
Duration: 3 min 29 s
Description: Du möchtest wissen, wie du eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung in ein System 1. Ordnung transformierst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen an einem einfachen Beispiel.

Du möchtest wissen, wie du eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung in ein System 1. Ordnung transformierst? Im Folgenden zeigen wir dir das Vorgehen an einem einfachen Beispiel.

Inhaltsübersicht

Beispiel zur Transformation in ein System 1. Ordnung

In vielen Fällen ist es einfacher mit Differentialgleichungen erster Ordnung zu rechnen. Dafür gibt es verschiedene Lösungsmethoden, wie die Variation der Konstanten. Diese Methode kannst du auch auf Systeme übertragen. Wie du eine DGL höherer Ordnung in ein System erster Ordnung transformierst, zeigen wir direkt an einem Beispiel.

Du hast eine DGL zweiter Ordnung, wie diese hier:

$y^{\prime\prime}+2y+x=0$

Nun führst du zwei neue Variablen ein: y_1=y und $y_2=y\prime$ . Diese setzt du in die ursprüngliche DGL zweiter Ordnung ein. Und schon ist es eine Differentialgleichung erster Ordnung.

Beispiel Transformation in System 1. Ordnung

Die zwei Variablen y_1 und y_2 verlangen nach einem System aus zwei Differentialgleichungen. Das ist wie bei linearen Gleichungssystemen. Du brauchst zwei Gleichungen bei zwei Unbekannten. Die zweite DGL deines Systems ergibt sich aus der Definition von y_2 , in der du durch y_1 ersetzt. und y_1 sind ja schließlich gleich. Es ergibt sich das Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Das kannst du jetzt auch in Matrizenschreibweise schreiben:

$\binom{y_1^\prime}{y_2^\prime}=\left(\begin{matrix}0&1\\-2&0\\\end{matrix}\right)\binom{y_1}{y_2}+\binom{0}{-x}$

Die Vorfaktoren vor y_2 und y_1 kommen an die passende Stelle in der Matrix und Inhomogenitäten in einen Extra Vektor. Allgemein kannst du schreiben:

$y^\prime=A(x)y+b(x)$

Im Beispiel ergeben sich für den Vektor y, die Matrix A und den b-Vektor:

$y=\binom{y_1}{y_2}\ \ A=\left(\begin{matrix}0&1\\-2&0\\\end{matrix}\right)\ b\left(x\right)=\binom{0}{-x}$

Transformation in System 1. Ordnung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie wähle ich die neuen Variablen bei einer DGL zweiter Ordnung?

Bei einer DGL zweiter Ordnung wählst du die neuen Variablen als Funktion und erste Ableitung, also und . Dadurch kannst du über ausdrücken und bekommst ein System aus zwei DGL erster Ordnung.
Was ist die zweite Gleichung im System bei y₁ gleich y?

Die zweite Gleichung im System entsteht aus der Definition von : Weil und zugleich gilt, folgt direkt . Konkret bedeutet das: Die Ableitung der ersten neuen Variable ist die zweite Variable.
Wie baue ich die Matrix A aus den Vorfaktoren der DGL?

Die Matrix entsteht, indem du die rechten Seiten der Gleichungen $y_1', y_2', \dots$ als Linearkombination von $y_1, y_2, \dots$ schreibst und die Vorfaktoren als Matrixeinträge übernimmst. Zum Beispiel wird aus die Zeile .
Wo kommt die Inhomogenität in der Matrix-Vektor-Form hin?

Die Inhomogenität kommt in der Matrix-Vektor-Form in einen separaten Vektor , nicht in die Matrix . In der Schreibweise enthält genau die Terme, die nicht mit einer der Variablen $y_1, y_2, \dots$ multipliziert sind.
Warum brauche ich bei einer DGL vierter Ordnung vier Variablen?

Bei einer DGL vierter Ordnung brauchst du vier Variablen, weil du die Ableitungskette bis zur dritten Ableitung als eigene Zustandsgrößen abbilden musst, damit alles nur noch erste Ableitungen enthält. Auch wenn $y^{(3)}$ in der DGL nicht vorkommt, wird die Variable dafür trotzdem benötigt.

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Weiteres Beispiel: DGL vierter Ordnung

Die Transformation in ein System erster Ordnung ist bei Differentialgleichungen höherer Ordnung genauso möglich. Machen wir mal ein Beispiel einer DGL vierter Ordnung.

$3y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y^\prime+4y=\sin\funcapply x$

Wir gehen nach dem gleichen Schema vor und führen neue Variablen ein.

Beispiel Transformation DGL 4. Ordnung in DGL 1. Ordnung

Du brauchst bei einer DGL vierter Ordnung vier neue Variablen; auch wenn die dritte Ableitung in der DGL nicht vorkommt, wie in diesem Fall. Diese kannst du jetzt in die Differentialgleichung vom Anfang einsetzen, damit sich eine DGL erster Ordnung ergibt. Jetzt lösen wir diese nach der Ableitung $y_4^\prime$ auf. Das DGL-System in Matrix-Schreibweise ergibt sich wie folgt:

Die ersten drei Zeilen der Matrix ergeben sich wieder aus den Definitionen der neuen Variablen. Du erkennst hier sogar ein Muster, eine um eine Stelle nach rechts versetzte Einheitsmatrix. Die letzte Zeile ist die ursprüngliche DGL. Somit enthält nur die letzte Stelle des b-Vektors einen Eintrag. Die Struktur

$A=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0&\ 1\\\vdots&\ 0\\\end{matrix}&\begin{matrix}0&0\\\ddots&0\\\end{matrix}\\\begin{matrix}0&0\\\ast&\ast\\\end{matrix}&\begin{matrix}0&1\\\ast&\ast\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)$
$b=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\\\begin{matrix}0\\\ast\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)$

der Matrix A und des Vektors b ist allgemeingültig. Sie enthält also in jedem Fall eine um rechts verschobene Einheitsmatrix und kann nur in der untersten Zeile überall Einträge haben.

Jetzt weißt du, wie du Differentialgleichungen höherer Ordnung ganz einfach lösen kannst, indem du sie in ein System erster Ordnung umformst.

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