Wann kann ich die abc-Formel überhaupt benutzen?

Du kannst die abc-Formel benutzen, wenn du eine quadratische Gleichung der Form lösen willst. Sie eignet sich auch, um Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Wichtig ist, dass die Gleichung auf 0 gesetzt ist.

Wie mache ich aus einer Gleichung zuerst die Form ax² + bx + c = 0?

Du bringst alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite 0 steht. Dafür addierst oder subtrahierst du passende Terme auf beiden Seiten, bis die Gleichung die Form hat. Zum Beispiel wird aus die Form .

Wie lese ich a, b und c richtig ab, wenn vor x kein Plus steht?

Du liest a, b und c immer mit Vorzeichen ab, auch wenn kein Plus dasteht. Ein Minus vor einem Term gehört also zum Koeffizienten. In gilt deshalb , und .

Was sagt mir die Diskriminante D darüber, wie viele Lösungen es gibt?

Die Diskriminante zeigt dir, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt. Gilt , hat die Gleichung zwei Lösungen, bei genau eine Lösung und bei keine Lösung. Der Wert D steht unter der Wurzel.

Wie erkenne ich an meinen Ergebnissen, ob ich eine doppelte Nullstelle habe?

Du erkennst eine doppelte Nullstelle daran, dass beide Lösungen gleich sind, also . Dann liefert die abc-Formel zweimal denselben Wert, weil unter der Wurzel 0 steht. Zum Beispiel ergibt die Lösungen und .

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abc Formel

Wichtige Inhalte in diesem Video

abc-Formel einfach erklärt

(00:16)

abc-Formel — Anwendung

(00:57)

Du willst wissen, was es mit der abc-Formel auf sich hat? Dann bist du bei unserem Video und Beitrag genau richtig!

Inhaltsübersicht

abc-Formel einfach erklärt

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(00:16)

Mit der abc-Formel kannst du quadratischen Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0 lösen. Die Formel sieht so aus:

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}$

Du benutzt sie zum Beispiel, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c zu bestimmen. Wie das funktioniert, sehen wir uns jetzt an!

abc-Formel — Anwendung

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(00:57)

Möchtest du Gleichungen oder die Nullstellen einer quadratischen Funktion mithilfe der abc-Formel ausrechnen, kannst du unsere Schritt-für-Schritt-Anleitung befolgen.

➡️ Beispiel 1: 2x² – 16 = 4x

Schritt 1: Gleichung gleich 0 setzen. Um die abc-Formel anzuwenden, muss auf einer Seite der Gleichung die Null stehen. Ggf. musst du die Gleichung umstellen.

2x² – 16 = 4x | – 4x

2x² – 16 – 4x = 0

2x² – 4x – 16 = 0

Schritt 2: Koeffizienten a, b und c ablesen

ax² + bx + c = 0

2x² – 4x – 16 = 0

a = 2, b = -4, c = -16

Schritt 3: a, b und c in die Formel einsetzen

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}$

$x_{1,2} = \cfrac{-(\textcolor{blue}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{blue}{-4})^2-4\cdot \textcolor{red}{2}\cdot (\textcolor{olive}{-16}})}{2 \cdot \textcolor{red}{2}}$

Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

$x_{1,2} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16-8 \cdot (-16)}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{16+128}}{4} = \cfrac{4 \pm \sqrt{144}}{4} =\cfrac{4 \pm 12}{4}$

$\Longrightarrow \quad \quad x_1 =\frac{4+12}{4}= 4$ und $x_2 = \frac{4-12}{4}= -2$

Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

x₁ = 4

x₂ = -2

➡️ Beispiel 2: f(x) = x² + 4x + 4

Schritt 1: Gleichung gleich 0 setzen

x² + 4x + 4 = 0

Schritt 2: a, b und c ablesen

a = 1, b = 4, c = 4

Schritt 3: a, b und c in die Formel einsetzen

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{olive}{c}}}{2\textcolor{red}{a}}$

$x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{4} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{4}^2-4\cdot\textcolor{red}{1}\cdot\textcolor{olive}{4}}}{2\cdot\textcolor{red}{1}}$

Schritt 4: Ergebnisse ausrechnen

$x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} = \cfrac{-4 \pm 0}{2}$

$\Longrightarrow \quad \quad x_1 =\frac{-4+0}{2}= -2$ und $x_2 = \frac{-4-0}{2}= -2$

Schritt 5: Nullstellen aufschreiben

x₁ = -2

x₂ = -2

Die Funktion hat bei x= -2 eine doppelte Nullstelle.

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abc-Formel — Diskriminante

Mithilfe der abc-Formel kannst du erkennen, ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat. Dafür verwendest du den Teil unter der Wurzel b² – 4ac. Den bezeichnest du auch als Diskriminante D.

D > 0: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen

➡️ Beispiel: x² – 5x + 6 = 0
Diskriminante D = (-5)² – 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 – 24 = 1
→ x₁ = 3; x₂ = 2

D = 0: Die quadratische Gleichung hat eine Lösung

➡️ Beispiel: x² – 4x + 4 = 0
Diskriminante D = (-4)² – 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 16 – 16 = 0
→ x_1/2 = 8

D < 0: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung

➡️ Beispiel: x² + 2x + 5 = 0
Diskriminante D = 2² – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 4 – 20 = -16
→ kein Ergebnis für x_1/2 möglich

abc-Formel — Herleitung

Abschließend zeigen wir dir, wie du die abc-Formel herleiten kannst. Dabei musst du die allgemeine Gleichung ax² + bx + c = 0 nach x auflösen. Dafür benötigst du die quadratische Ergänzung und die erste binomische Formel .

$\begin{align*} ax^2+bx+c&=0 \qquad | -c\\ ax^2+bx&=-c \qquad| \div a \\ x^2+\cfrac{b}{a}x &= -\cfrac{c}{a}\qquad | \text{ quadratische Ergänzung}\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= -\cfrac{c}{a} + \left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= -\cfrac{c}{a} + \cfrac{b^2}{4a^2}\\ x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&= \cfrac{b^2-4ac}{4a^2}\qquad | \text{ erste binomische Formel}\\ \left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2&= \cfrac{b^2-4ac}{4a^2} \qquad |\sqrt\\ x+\cfrac{b}{2a} &=\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}} \qquad | -\cfrac{b}{2a}\\ x & = -\cfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ x & = -\cfrac{b}{2a}\pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Rightarrow x_{1,2} &= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{align*}$

abc Formel — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wann kann ich die abc-Formel überhaupt benutzen?

Du kannst die abc-Formel benutzen, wenn du eine quadratische Gleichung der Form lösen willst. Sie eignet sich auch, um Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Wichtig ist, dass die Gleichung auf 0 gesetzt ist.
Wie mache ich aus einer Gleichung zuerst die Form ax² + bx + c = 0?

Du bringst alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite 0 steht. Dafür addierst oder subtrahierst du passende Terme auf beiden Seiten, bis die Gleichung die Form hat. Zum Beispiel wird aus die Form .
Wie lese ich a, b und c richtig ab, wenn vor x kein Plus steht?

Du liest a, b und c immer mit Vorzeichen ab, auch wenn kein Plus dasteht. Ein Minus vor einem Term gehört also zum Koeffizienten. In gilt deshalb , und .
Was sagt mir die Diskriminante D darüber, wie viele Lösungen es gibt?

Die Diskriminante zeigt dir, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt. Gilt , hat die Gleichung zwei Lösungen, bei genau eine Lösung und bei keine Lösung. Der Wert D steht unter der Wurzel.
Wie erkenne ich an meinen Ergebnissen, ob ich eine doppelte Nullstelle habe?

Du erkennst eine doppelte Nullstelle daran, dass beide Lösungen gleich sind, also . Dann liefert die abc-Formel zweimal denselben Wert, weil unter der Wurzel 0 steht. Zum Beispiel ergibt die Lösungen und .

pq-Formel

Neben der abc-Formel kannst du zum Lösen von quadratischen Gleichungen auch die pq-Formel verwenden. Welche Formel das ist und wie du sie anwendest, zeigen wir dir in unserem Video!