Was muss bei einer quadratischen Gleichung stimmen, damit ich die pq-Formel benutzen kann?

Du kannst die pq-Formel benutzen, wenn die Gleichung die Form hat. Entscheidend ist, dass vor keine Zahl steht, also der Koeffizient 1 ist. Dann liest du p und q ab und setzt beide in die Formel ein.

Wie bringe ich eine Gleichung so in Normalform, dass vor x² wirklich eine 1 steht?

Du bringst vor eine 1, indem du die ganze Gleichung durch die Zahl vor teilst. Steht dort ein Minus, kannst du auch mit (–1) multiplizieren, dann wechseln alle Vorzeichen. Beispiel: Aus wird .

Wie lese ich p und q aus der Normalform richtig ab?

In der Normalform ist p die Zahl vor dem x und q die Zahl ohne x. Achte dabei auf das Vorzeichen, weil es zu p und q dazugehört. Beispiel: Bei gilt und .

Was setze ich für p ein, wenn vor dem x keine Zahl steht oder nur ein Minus steht?

Wenn vor dem x keine Zahl steht, setzt du für p den Wert 1 ein, weil dann dasselbe ist wie . Steht nur ein Minus vor dem x, setzt du ein, weil dasselbe ist wie . Beispiele: hat , hat .

Wie erkenne ich schon vor dem Ausrechnen, ob es zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung gibt?

Du erkennst das an dem Term unter der Wurzel . Ist er positiv, gibt es zwei Lösungen, bei 0 gibt es genau eine Lösung und bei einer Minuszahl gibt es keine Lösung. Beispiel: Bei wird der Wurzelterm 0, daher ist die einzige Lösung.

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Quadratische Gleichungen lösen“

Hier geht's zum Video „Quadratische Gleichungen“

Hier geht's zum Video „Lösungsmenge“

Hier geht's zum Video „Mitternachtsformel“

pq Formel einfach erklärt

Wichtige Inhalte in diesem Video

(00:12)

Gleichung mit pq Formel lösen

(01:12)

Du willst wissen, was die pq Formel ist und wie du sie ganz einfach anwendest? Das erfährst du hier!

Inhaltsübersicht

pq Formel einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

(00:12)

Mit der pq Formel kannst du quadratische Gleichungen in Normalform lösen. Eine quadratische Gleichung in Normalform kann unterschiedlich aussehen:

Normalform	Beispiel
x² + px + q = 0	x² + 4x + 3 = 0
x² + px = 0	x² + 4x = 0
x² + q = 0	x² + 3 = 0
x²= 0

Hast du eine Gleichung in einer der vier Formen, kannst du die pq Formel anwenden. Sie lautet:

$x_{1,2} = -\frac{\textcolor{blue}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{q}}$

Schau dir gleich an einem Beispiel an, wie du beim Lösen der Gleichung genau vorgehst! Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung findest du auch in unserem Video !

Gleichung mit pq Formel lösen

im Videozur Stelle im Video springen

(01:12)

Um mit der pq Formel eine Gleichung zu lösen, gehst du so vor:

Bringe die Gleichung durch Umformen in Normalform (falls nötig)
Finde p und q heraus.
Setze p und q in die pq Formel ein.
Berechne die beiden Ergebnisse.
Schreibe die Lösungsmenge auf.

Schau dir die Schritte am Beispiel x² + 4x + 3 = 0 an.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

1. Gleichung in Normalform bringen

Bei x² + 4x + 3 = 0 hast du schon eine Normalform. Du kannst Schritt 1 also überspringen.

Anders sieht es bei diesen Beispielen aus:

x² + 4x = –3 → hier musst du zuerst die –3 auf die andere Seite bringen. Rechne dazu auf beiden Seiten +3.
$\begin{align*} x^2 + \textcolor{blue}{4}x&=- \textcolor{orange}{3} &&|\textcolor{orange}{+3} \\ x^2+ \textcolor{blue}{4}x+\textcolor{orange}{3}&=0 \end{align*}$

2x² + 4x + 3 = 0 → hier steht eine Zahl vor dem x². Um eine Normalform zu bekommen, teilst du auf beiden Seiten durch 2.
$\begin{align*} \textcolor{red}{2}x^2 + \textcolor{blue}{4}x + \textcolor{orange}{3} = 0 &&|: \textcolor{red}{2} \\ x^2+ \textcolor{blue}{2}x+\textcolor{orange}{1,5}&=0 \end{align*}$

–x² + 4x + 3 = 0 → hier steht ein Minus vor dem x². Um eine Normalform zu bekommen, rechnest du auf beiden Seiten mal (-1). Dabei ändern sich einfach alle Vorzeichen — aus jedem Plus wird ein Minus und umgekehrt.
$\begin{align*} \textcolor{red}{-}x^2 + \textcolor{blue}{4}x + \textcolor{orange}{3} = 0 &&|\cdot \textcolor{red}{(-1)} \\ x^2 \textcolor{blue}{-4}x\textcolor{orange}{-3}&=0 \end{align*}$

2. p und q herausfinden

p und q herauszufinden ist einfach: p ist die Zahl vor dem x und q ist die Zahl ohne x. Im Beispiel x² + 4x + 3 = 0 ist also p = 4 und q = 3.

Manchmal fehlt in der Gleichung aber die Zahl vor dem x oder die Zahl ohne x. Dann kannst du einige Merkregeln beachten, um p und q trotzdem zu finden:

Kein px in der Gleichung → p = 0
Beispiel: x² + 3 = 0
Keine Zahl vor dem x → p = 1
Beispiel: x² + x + 3 = 0
Minus vor dem x → p = -1
Beispiel: x²– x + 3 = 0
Kein q in der Gleichung → q = 0
Beispiel: x² + 4x = 0

Übrigens: Ist p oder q in deiner Gleichung 0, kannst du natürlich die pq Formel anwenden. Es gibt in diesen Fällen aber auch leichtere Lösungsverfahren. Schau dir in unserem Video an, wie du dabei vorgehen kannst.

3. p und q in die pq Formel einsetzen

Setze im Beispiel p = 4 und q = 3 in die pq Formel ein:

$\begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{\textcolor{blue}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{q}} \\ &= -\frac{\textcolor{blue}{4}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{4}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{3}} \end{align*}$

4. Ergebnisse der pq Formel berechnen

Meistens erhältst du mit der pq Formel zwei Ergebnisse. Für die erste Lösung x₁ schreibst du ein Plus vor die Wurzel, für die zweite Lösung x₂ ein Minus:

$x_{1} = -\frac{\textcolor{blue}{4}}{2} \textcolor{magenta}{+} \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{4}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{3}} = -2 + \sqrt{2^2-3} = -2 + 1 = -1$

$x_{2} = -\frac{\textcolor{blue}{4}}{2} \textcolor{magenta}{-} \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{4}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{3}} = -2 - \sqrt{2^2-3} = -2 - 1 = -3$

5. Lösungsmenge aufschreiben

Zum Schluss gibst du noch die Lösungsmenge an. Dafür schreibst du einfach die beiden Lösungen x₁ = -1 und x₂ = -3 in geschweifte Klammern. Die Lösungsmenge bezeichnest du dann mit dem Buchstaben L:

L = {-1, -3}

Wichtig! Nicht immer gibt es bei der pq Formel zwei Lösungen! Manchmal gibt es auch nur eine Lösung oder überhaupt keine. Schau dir diese Fälle an Beispielen an.

Beispiel 1: pq Formel mit einer Lösung

Löse die quadratische Gleichung x² – 4x + 4 = 0 mithilfe der pq Formel.

Gleichung in Normalenform bringen
Die Gleichung ist schon in Normalform.
p und q herausfinden
p = -4 und q = 4
p und q in die pq Formel einsetzen
$\begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{\textcolor{blue}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{q}} \\ &= -\frac{\textcolor{blue}{-4}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{-4}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{4}} \end{align*}$
Ergebnisse der pq Formel berechnen
$\begin{align*}x_{1} &= 2 + \sqrt{(-2)^2 - \textcolor{orange}{4}} = 2 + 0 = 2\\x_{2} &= 2 - \sqrt{(-2)^2 - \textcolor{orange}{4}} = 2 - 0 = 2 \end{align*}$

→ Du bekommt hier beides Mal das gleiche Ergebnis. Es gibt also nur eine Lösung, nämlich x = 2.
Lösungsmenge aufschreiben
Die Lösungsmenge ist also L = {2}.

Wie kannst du schon vor dem Rechnen herausfinden, ob es nur eine Lösung gibt? Dafür gibt es einen Trick.

Merke: Wenn bei der pq Formel unter der Wurzel eine 0 herauskommt, gibt es nur eine Lösung. Du kannst also einfach vor dem eigentlichen Rechnen den Teil $(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2})^2 - \textcolor{orange}{q}$ unter der Wurzel ermitteln. Ergibt das 0, hat die Gleichung nur eine Lösung. Du nennst den Term unter der Wurzel auch Diskriminante .

Beispiel 2: pq Formel ohne Lösung

Löse die Gleichung 2x² – 2x + 4 = 0 nach x auf.

Gleichung in Normalenform bringen
Teile alles durch 2, um die Gleichung auf Normalform zu bringen:
$\begin{align*} 2x^2-2x+4 &= 0 &&|:2 \\ x^2-x+2 &=0 \end{align*}$
p und q herausfinden
p = -1 und q = 2
p und q in die pq Formel einsetzen
$\begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{\textcolor{blue}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{q}} \\ &= -\frac{\textcolor{blue}{-1}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{-1}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{2}} \end{align*}$
Ergebnisse der pq Formel berechnen
$x_{1} = \frac{1}{2} + \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{-1}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{2}} = \frac{\textcolor{blue}{1}}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \textcolor{orange}{2}} = \frac{\textcolor{blue}{1}}{2} + \sqrt{-\frac{7}{4}}$

$x_{2} = \frac{1}{2} - \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{-1}}{2}\right)^2 - \textcolor{orange}{2}} = \frac{\textcolor{blue}{1}}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} - \textcolor{orange}{2}} = \frac{\textcolor{blue}{1}}{2} - \sqrt{-\frac{7}{4}}$

→ Unter der Wurzel steht eine Minuszahl. Die Wurzel aus negativen Zahlen kannst du aber gar nicht ziehen! Deshalb hat die Gleichung keine Lösung.
Lösungsmenge aufschreiben
Die Lösungsmenge ist also L = { }.

Merke: Wenn bei der pq Formel unter der Wurzel eine Minuszahl herauskommt, gibt es keine Lösung.

pq Formel Herleitung

Woher kommen die pq Formeln eigentlich? Das siehst du an der Herleitung der pq Formel. Schau dir dafür zunächst eine allgemeine Gleichung in Normalform an. Du willst sie nach x auflösen. Bringe dazu als Erstes das q auf die andere Seite:

x²+ px + q = 0 | – q

x²+ px = – q

Mache nun eine quadratische Ergänzung auf der linken Seite. Dazu schreibst du zuerst px als $2 \cdot \frac{\textcolor{blue}{p}}{2}x$ um. Wozu das gut ist, siehst du später in der Rechnung. Dann addierst du auf beiden Seiten $\left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2$ .

$\begin{align*} x^2+2 \cdot \frac{\textcolor{blue}{p}}{2}x &= -\textcolor{orange}{q} &&|+\left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2 \\ x^2+2 \cdot \frac{\textcolor{blue}{p}}{2}x + \left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2 &= \left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{orange}{q} \end{align*}$

Nun kannst du die linke Seite mit der ersten binomischen Formel vereinfachen:

$\left(x+\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2 = \left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{orange}{q}$

Im letzten Schritt musst du nur noch die Wurzel ziehen :

$x + \frac{\textcolor{blue}{p}}{2} = \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{orange}{q}}$

Wenn du noch $\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}$ auf die andere Seite bringst, erhältst du als Ergebnis erhältst du die pq Formeln:

$\Rightarrow x_{1,2} =- \frac{\textcolor{blue}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{blue}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{orange}{q}}$

pq Formel einfach erklärt — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was muss bei einer quadratischen Gleichung stimmen, damit ich die pq-Formel benutzen kann?

Du kannst die pq-Formel benutzen, wenn die Gleichung die Form hat. Entscheidend ist, dass vor keine Zahl steht, also der Koeffizient 1 ist. Dann liest du p und q ab und setzt beide in die Formel ein.
Wie bringe ich eine Gleichung so in Normalform, dass vor x² wirklich eine 1 steht?

Du bringst vor eine 1, indem du die ganze Gleichung durch die Zahl vor teilst. Steht dort ein Minus, kannst du auch mit (–1) multiplizieren, dann wechseln alle Vorzeichen. Beispiel: Aus wird .
Wie lese ich p und q aus der Normalform richtig ab?

In der Normalform ist p die Zahl vor dem x und q die Zahl ohne x. Achte dabei auf das Vorzeichen, weil es zu p und q dazugehört. Beispiel: Bei gilt und .
Was setze ich für p ein, wenn vor dem x keine Zahl steht oder nur ein Minus steht?

Wenn vor dem x keine Zahl steht, setzt du für p den Wert 1 ein, weil dann dasselbe ist wie . Steht nur ein Minus vor dem x, setzt du ein, weil dasselbe ist wie . Beispiele: hat , hat .
Wie erkenne ich schon vor dem Ausrechnen, ob es zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung gibt?

Du erkennst das an dem Term unter der Wurzel $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ . Ist er positiv, gibt es zwei Lösungen, bei 0 gibt es genau eine Lösung und bei einer Minuszahl gibt es keine Lösung. Beispiel: Bei wird der Wurzelterm 0, daher ist die einzige Lösung.

Mitternachtsformel

Wenn vor dem x² eine Zahl steht, musst du deine Gleichung nicht unbedingt umformen. Du kannst auch die Mitternachtsformel anwenden. Wie das genau geht, erfährst du hier!