Welche Rechenregeln gelten für die komplexe Konjugation bei Summe, Produkt und Quotient?

Die Konjugation verteilt sich auf Summe, Produkt und Quotient: , und für . Das liegt daran, dass nur das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt.

Wie nutze ich die komplexe Konjugation, um einen Bruch wie 1 geteilt durch z in die Form a + i·b zu bringen?

Du bringst in die Form , indem du mit erweiterst. Dann gilt . Für wird daraus .

Wie erkenne ich schnell, ob eine komplexe Zahl rein reell oder rein imaginär ist, nur mit der Konjugation?

Rein reell ist , wenn gilt, denn dann ist der Imaginärteil 0. Rein imaginär ist , wenn gilt, denn dann ist der Realteil 0. Beispiel: erfüllt , erfüllt .

Warum bleibt der Betrag bei komplexer Konjugation gleich?

Der Betrag bleibt gleich, weil Konjugation nur spiegelt und keine Abstände ändert. Rechnerisch gilt und auch . Deshalb folgt .

Welche typischen Fehler passieren, wenn ich die Konjugation in Polardarstellung r·e^(i·θ) anwende?

Typisch ist, dass fälschlich negiert oder der Winkel unverändert gelassen wird. Korrekt ist , der Betrag bleibt also gleich. Außerdem wird oft falsch behandelt: , nur wechselt das Vorzeichen.

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Komplex konjugiert

Wichtige Inhalte in diesem Video

Komplex konjugiert einfach erklärt

(00:11)

Komplex konjugiert Beispiele

(00:37)

Komplex konjugiert Polarkoordinaten

(01:19)

Komplex konjugiert: grafisch

(02:08)

Komplexe Zahlen können komplex konjugiert werden. Wie das funktioniert erfährst du in diesem Beitrag. In unserem Video zur komplexen Konjugation zeigen wir es dir mit tollen Animationen. Schau es dir an!

Inhaltsübersicht

Komplex konjugiert einfach erklärt

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(00:11)

Wenn du eine komplexe Zahl

$z = x + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}$

gegeben hast, dann bekommst du die zu komplex konjugierte Zahl $\overline{z}$ , indem du das Vorzeichen des Imaginärteils herumdrehst

$\overline{z} = x + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{-y}) = x \ \textcolor{red}{-} \ \text{i} \cdot y$ .

Unter anderem kannst du mit Hilfe der komplexen Konjugation den Betrag $\lvert z \rvert$ einer komplexen Zahl berechnen.

$\lvert z \rvert^2 = z \cdot \overline{z}$

Hinweis: Wenn du eine komplexe Zahl zweimal komplex konjugierst, ändert sich nichts. Das heißt $\overline{\overline{z}} = z$ .

Komplex konjugiert Beispiele

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(00:37)

In diesem Abschnitt schauen wir uns Beispiele zu typischen Aufgaben an. Beispiele zum Berechnen des Betrags einer komplexen Zahl findest du hier .

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel 1: Komplexe Konjugation

Du hast folgende komplexe Zahl gegeben

$z = 12 + \text{i} \cdot \textcolor{red}{9}$ .

Der Imaginärteil ist hier $\textcolor{red}{+9}$ . Wenn du das Vorzeichen davon vertauschst, erhältst du die zu komplex konjugierte Zahl

$\overline{z} = 12 + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{-9}) = 12 \ \textcolor{red}{-} \ \text{i} \cdot 9$ .

Beispiel 2: komplex konjugiert

Du könntest auch eine komplexe Zahl gegeben haben, wo der Imaginärteil negativ ist. Zum Beispiel

$z = 5 + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 5 - \text{i} \cdot \textcolor{red}{1}$ .

Hier ist der Imaginärteil $\textcolor{red}{-1}$ . Für die komplexe Konjugation von machst du aus dem Minuszeichen ein Pluszeichen

$\overline{z} = 5 + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{+} 1) = 5 + \text{i} \cdot \textcolor{red}{1}$ .

Komplex konjugiert Polarkoordinaten

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(01:19)

Eine weitere Darstellungsmöglichkeit von komplexen Zahlen sind Polarkoordinaten

$z = \textcolor{orange}{r}(\cos(\textcolor{violet}{\theta}) + \text{i} \cdot \sin(\textcolor{violet}{\theta})) = \textcolor{orange}{r} \text{e}^{\text{i} \cdot \textcolor{violet}{\theta}}$ .

Hier kannst du die zu komplex konjugierte Zahl $\overline{z}$ ähnlich berechnen wie bei den kartesischen Koordinaten. Der Unterschied liegt nur darin, dass du das Vorzeichen des Winkels $\textcolor{violet}{\theta}}$ änderst. Das heißt du bekommst

$\overline{z} = r(\cos(\textcolor{red}{-}\theta) + \text{i} \cdot \sin(\textcolor{red}{-}\theta))$

$= r(\cos(\theta) + \text{i} \cdot (\textcolor{red}{-}\sin(\theta))) = r(\cos(\theta) \textcolor{red}{ \ - \ } \text{i} \cdot \sin(\theta))$

für die Darstellung mit Sinus und Cosinus und

$\overline{z} = r \text{e}^{\text{i} \cdot (\textcolor{red}{-} \theta)} = r \text{e}^{\textcolor{red}{-} \text{i} \cdot \theta}$

für die Darstellung mit der e-Funktion .

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Komplex konjugiert: grafisch

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(02:08)

Grafisch kannst du dir die komplexe Konjugation folgendermaßen vorstellen: Du nimmst den Punkt $(\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y})$ , der die komplexe Zahl $z = \textcolor{blue}{x} + \text{i} \cdot \textcolor{red}{y}$ in der komplexen Ebene darstellt, und spiegelst diesen entlang der -Achse.

Es ändert sich nur die -Koordinate. Der Punkt $(\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y})$ wird dadurch zum Punkt $(\textcolor{blue}{x}, \textcolor{orange}{-y})$ .

Auf ähnliche Weise kannst du dir die Situation in Polarkoordinaten vorstellen. Der Abstand vom Ursprung bleibt unverändert. Der Winkel $\textcolor{violet}{\theta}$ wird durch die komplexe Konjugation zum Winkel $\textcolor{brown}{-\theta}$ .

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Komplex konjugiert — häufigste Fragen

(ausklappen)

Welche Rechenregeln gelten für die komplexe Konjugation bei Summe, Produkt und Quotient?

Die Konjugation verteilt sich auf Summe, Produkt und Quotient: $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$ , $\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}$ und $\overline{\frac{z}{w}}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ für $w\neq 0$ . Das liegt daran, dass nur das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt.
Wie nutze ich die komplexe Konjugation, um einen Bruch wie 1 geteilt durch z in die Form a + i·b zu bringen?

Du bringst $\frac{1}{z}$ in die Form $a+i\cdot b$ , indem du mit $\frac{\overline{z}}{\overline{z}}$ erweiterst. Dann gilt $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$ . Für wird daraus $\frac{x-i y}{x^2+y^2}$ .
Wie erkenne ich schnell, ob eine komplexe Zahl rein reell oder rein imaginär ist, nur mit der Konjugation?

Rein reell ist , wenn $z=\overline{z}$ gilt, denn dann ist der Imaginärteil 0. Rein imaginär ist , wenn $z=-\overline{z}$ gilt, denn dann ist der Realteil 0. Beispiel: erfüllt $z=\overline{z}$ , erfüllt $z=-\overline{z}$ .
Warum bleibt der Betrag bei komplexer Konjugation gleich?

Der Betrag bleibt gleich, weil Konjugation nur spiegelt und keine Abstände ändert. Rechnerisch gilt $|z|^2=z\overline{z}$ und auch $|\overline{z}|^2=\overline{z}\,z=z\overline{z}$ . Deshalb folgt $|\overline{z}|=|z|$ .
Welche typischen Fehler passieren, wenn ich die Konjugation in Polardarstellung r·e^(i·θ) anwende?

Typisch ist, dass fälschlich negiert oder der Winkel unverändert gelassen wird. Korrekt ist $\overline{r e^{i\theta}}=r e^{-i\theta}$ , der Betrag bleibt also gleich. Außerdem wird oft $\cos$ falsch behandelt: $\cos(-\theta)=\cos(\theta)$ , nur $\sin$ wechselt das Vorzeichen.

Komplex konjugiert und Betrag

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Die komplex konjugierte Zahl hilft dir unter anderem dabei, den Betrag einer komplexen Zahl zu berechnen. Wie das genau funktioniert, erklären wir dir in unserem Video dazu.