Welche Lösungen muss ich bei einer Wurzelgleichung sofort ausschließen, weil unter der Wurzel nichts Negatives stehen darf?

Du musst alle x-Werte ausschließen, bei denen ein Wurzelausdruck negativ wird. Das liegt daran, dass die Quadratwurzel im Reellen nur für Radikanden größer oder gleich 0 definiert ist. Beispiel: Bei gilt , also .

Warum entstehen beim Quadrieren manchmal Extrawurzeln, die am Ende doch nicht stimmen?

Beim Quadrieren können Extrawurzeln entstehen, weil die Umkehrung nicht eindeutig ist. Aus folgt nämlich oder , und durch das Quadrieren gehen Vorzeicheninformationen verloren. Deshalb musst du jede gefundene Lösung am Ende in die Ursprungsgleichung einsetzen.

Wie löse ich eine Wurzelgleichung, wenn auf beiden Seiten eine Wurzel steht?

Du quadrierst beide Seiten erst dann, wenn beide Wurzeln isoliert gegenüberstehen. Konkret stellst du zuerst her und quadrierst dann zu . Danach löst du die Gleichung normal und machst eine Probe, weil Extrawurzeln möglich sind.

Wie vermeide ich Fehler beim Quadrieren, wenn rechts eine Klammer steht wie „4 – x“?

Du vermeidest Fehler, indem du die Klammer beim Quadrieren immer als Binom behandelst: ist nicht . Rechne mit der binomischen Formel: , also . So stimmen Vorzeichen und Mittelterm.

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Wurzelgleichungen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Wurzel auflösen einfach erklärt

(00:15)

Wurzelgleichungen Schritt für Schritt auflösen

(00:49)

Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen eine Variable unter einer Wurzel steht. Wie du so eine Wurzel auflösen kannst, zeigen wir dir hier und im Video .

Inhaltsübersicht

Wurzel auflösen einfach erklärt

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(00:15)

Vielleicht sitzt du gerade vor einer Wurzelgleichung und fragst dich, wie du sie auflösen kannst. Eine Wurzelgleichung kann zum Beispiel so aussehen:

$\sqrt{x+5}+3=6$

Wenn in deiner Gleichung eine Variable unter einer Wurzel steht, dann musst du zuerst die Wurzel isolieren und auf eine Seite bringen. Dann kannst du die Wurzel auflösen, indem du beide Seiten der Gleichung quadrierst, also hoch 2 rechnest. Danach löst du die Gleichung normal auf.

Schauen wir uns das jetzt noch einmal Schritt für Schritt an.

Wurzelgleichungen Schritt für Schritt auflösen

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(00:49)

Um die Wurzelgleichung $\sqrt{x+5}+3=6$ zu lösen, befolgst du vier Schritte:

Zuerst isolierst du die Wurzel und bringst alles, was nicht Teil der Wurzel ist, auf die andere Seite.
Hier rechnest du also auf beiden Seiten minus 3.
$\begin{array}{lll} &\sqrt{x+5}+3 &=6 \; | -3\\ = & \sqrt{x+5} &=3 \\ \end{array}$
Dann kannst du die Wurzel auflösen: Rechne beide Seiten hoch 2. Das nennst du auch quadrieren. Quadrieren ist wie das Gegenteil einer Wurzel, so wie Minus das Gegenteil von Plus ist. Die Wurzel verschwindet dadurch.
$\begin{array}{lll} &\sqrt{x+5} &=3\; | \; hoch \; 2\\ = & x+5 &=9\\ \end{array}$
Jetzt hast du eine normale Gleichung. Die löst du weiter auf.
Rechne hier auf beiden Seiten minus 5 und du siehst, dass x = 4 ist.
$\begin{array}{lll} &x+5 &=9\; | -5\\ = & x &=4\\ \end{array}$
Zuletzt solltest du noch einmal die Gegenprobe machen. Setze dazu die 4 in deine Ursprungsgleichung ein und schaue nach, ob das Ergebnis korrekt ist.
$\begin{array}{lll} &\sqrt{4+5}+3 &=6\\ = & \sqrt{9} +3&=6 \\ = & 3+3&=6 \\ = & 6&=6 \\ \end{array}$

Tipp: Die normale Wurzel √ kannst du auch als ²√ schreiben. Du löst sie deshalb mit hoch 2 auf. Du kannst auch höhere Wurzeln auflösen. Zum Beispiel die dritte Wurzel aus x. Dazu quadrierst du nicht, sondern rechnest hoch 3.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Gleichungen mit zwei Wurzeln auflösen

Es kann vorkommen, dass du eine Wurzelgleichung hast, bei der eine weitere Wurzel unter deiner Wurzel steht. Die Vorgehensweise ändert sich für das Auflösen der Wurzel allerdings nicht.

Stell dir vor, du hast folgende Aufgabe:

$\sqrt{x + \sqrt{2x}} = 2$

Den ersten Schritt kannst du dir bei dieser Aufgabe sparen: Die Wurzel ist bereits isoliert!
Du löst also direkt die äußere Wurzel auf, indem du beide Seiten der Gleichung quadrierst.
$\begin{array}{lll} &\sqrt{x + \sqrt{2x}} &= 2 \; | \; hoch \; 2\\ = & x + \sqrt{2x}&=4 \\ \end{array}$
Jetzt bleibt noch die andere Wurzel übrig. Du fängst wieder mit Schritt 1 an. Du rechnest auf beiden Seiten minus x, um die Wurzel zu isolieren.
$\begin{array}{lll} &x + \sqrt{2x}&=4 \; | - x\\ = &\sqrt{2x}&=4 - x \\ \end{array}$
Auch hier kannst du die Wurzel auflösen. Du quadrierst wieder beide Seiten. Wichtig: Die Klammer kannst du mit der 2. binomischen Formel auflösen.
$\begin{array}{lll} &\sqrt{2x}&=4 - x\; | \; hoch \; 2\\ = &2x&=(4 - x)^2 \\ = &2x&=x^2 - 8x + 16\\ \end{array}$
Wenn du jetzt noch die 2x auf die andere Seite bringst, hast du eine quadratische Gleichung. Die würdest du jetzt zum Beispiel mit der p-q-Formel weiter auflösen.
$0 = x^2-10x+16$

Achtung: Vergiss nicht, die Ergebnisse der p-q-Formel durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung zu überprüfen.

Wurzelgleichungen — häufigste Fragen

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Welche Lösungen muss ich bei einer Wurzelgleichung sofort ausschließen, weil unter der Wurzel nichts Negatives stehen darf?

Du musst alle x-Werte ausschließen, bei denen ein Wurzelausdruck negativ wird. Das liegt daran, dass die Quadratwurzel im Reellen nur für Radikanden größer oder gleich 0 definiert ist. Beispiel: Bei $\sqrt{x-3}$ gilt $x-3 \ge 0$ , also $x \ge 3$ .
Warum entstehen beim Quadrieren manchmal Extrawurzeln, die am Ende doch nicht stimmen?

Beim Quadrieren können Extrawurzeln entstehen, weil die Umkehrung nicht eindeutig ist. Aus folgt nämlich oder , und durch das Quadrieren gehen Vorzeicheninformationen verloren. Deshalb musst du jede gefundene Lösung am Ende in die Ursprungsgleichung einsetzen.
Wie löse ich eine Wurzelgleichung, wenn auf beiden Seiten eine Wurzel steht?

Du quadrierst beide Seiten erst dann, wenn beide Wurzeln isoliert gegenüberstehen. Konkret stellst du zuerst $\sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)}$ her und quadrierst dann zu . Danach löst du die Gleichung normal und machst eine Probe, weil Extrawurzeln möglich sind.
Wie vermeide ich Fehler beim Quadrieren, wenn rechts eine Klammer steht wie „4 – x“?

Du vermeidest Fehler, indem du die Klammer beim Quadrieren immer als Binom behandelst: ist nicht . Rechne mit der binomischen Formel: , also . So stimmen Vorzeichen und Mittelterm.

Exponentialgleichungen lösen

Jetzt weißt du, was du machst, wenn du in einer Gleichung ein Variable unter einer Wurzel hast. Doch was musst du tun, um eine Gleichung aufzulösen, in der die Variable im Exponenten steht? Das erklären wir dir in unserem Beitrag zum Exponentialgleichungen lösen.