Was ist hier genau die Definitionsmenge von f?

Die Definitionsmenge von f ist . Das sind alle natürlichen Zahlen inklusive 0, also . Du darfst für f nur solche n einsetzen, weil die Funktion als angegeben ist.

Was ist hier genau die Zielmenge von f?

Die Zielmenge von f ist . Das sind alle ganzen Zahlen, also . Das bedeutet: f soll Werte liefern, die ganze Zahlen sind, und du prüfst Surjektivität immer bezogen auf genau diese Zielmenge.

Wie kann ich bei dieser Fallunterscheidung prüfen, ob f injektiv ist?

Du prüfst Injektivität, indem du zeigst, dass aus immer folgt. Wegen der Fallunterscheidung vergleichst du dabei getrennt die Fälle gerade-gerade, ungerade-ungerade und gerade-ungerade. So stellst du sicher, dass nicht zwei verschiedene n denselben Funktionswert erzeugen.

Wie kann ich bei dieser Funktion prüfen, ob f surjektiv auf ℤ ist?

Für Surjektivität auf musst du zu jeder ganzen Zahl ein finden mit . Dazu stellst du die beiden Fälle nach n um: Für gerade n gilt , für ungerade n gilt . Dann prüfst du, ob jede ganze Zahl so erreichbar ist.

Wie hilft mir die Trennung in gerade und ungerade Zahlen, um zu entscheiden, ob f bijektiv ist?

Die Trennung in gerade und ungerade Zahlen zeigt dir, welche Werte aus welchen n entstehen. Gerade n liefern und damit nichtnegative ganze Zahlen, ungerade n liefern und damit negative ganze Zahlen. So kannst du systematisch prüfen, ob jeder Zielwert genau einmal getroffen wird, also Bijektivität.

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Injektiv Surjektiv Bijektiv Übungsaufgabe II

Die folgende Aufgabe um die Abbildungseigenschaften zu bestimmen ist etwas komplexer:

Entscheide ob die folgende Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Begründe deine Antwort.

$f: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{Z}$

$n \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac {n}{2}, wenn\,n\,gerade\\ \\ -\frac {n+1}{2}, wenn\,n\,ungerade\\ \end{matrix} \right$

Bei der Lösung der Aufgabe ist es wichtig, dass du dir erst einmal bewusst machst, wie die Definitionsmenge und die Zielmenge aussehen.

Die Lösung der Aufgabe sowie alle notwendigen Überlegungen und Berechnungen zeigen wir dir ausführlich in unserem Video !

Injektiv Surjektiv Bijektiv Übungsaufgabe II — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist hier genau die Definitionsmenge von f?

Die Definitionsmenge von f ist $\mathbb{N}_0$ . Das sind alle natürlichen Zahlen inklusive 0, also $0, 1, 2, 3, \dots$ . Du darfst für f nur solche n einsetzen, weil die Funktion als $f:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{Z}$ angegeben ist.
Was ist hier genau die Zielmenge von f?

Die Zielmenge von f ist $\mathbb{Z}$ . Das sind alle ganzen Zahlen, also $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$ . Das bedeutet: f soll Werte liefern, die ganze Zahlen sind, und du prüfst Surjektivität immer bezogen auf genau diese Zielmenge.
Wie kann ich bei dieser Fallunterscheidung prüfen, ob f injektiv ist?

Du prüfst Injektivität, indem du zeigst, dass aus immer folgt. Wegen der Fallunterscheidung vergleichst du dabei getrennt die Fälle gerade-gerade, ungerade-ungerade und gerade-ungerade. So stellst du sicher, dass nicht zwei verschiedene n denselben Funktionswert erzeugen.
Wie kann ich bei dieser Funktion prüfen, ob f surjektiv auf ℤ ist?

Für Surjektivität auf $\mathbb{Z}$ musst du zu jeder ganzen Zahl ein $n \in \mathbb{N}_0$ finden mit . Dazu stellst du die beiden Fälle nach n um: Für gerade n gilt $z=\frac{n}{2}$ , für ungerade n gilt $z=-\frac{n+1}{2}$ . Dann prüfst du, ob jede ganze Zahl so erreichbar ist.
Wie hilft mir die Trennung in gerade und ungerade Zahlen, um zu entscheiden, ob f bijektiv ist?

Die Trennung in gerade und ungerade Zahlen zeigt dir, welche Werte aus welchen n entstehen. Gerade n liefern $\frac{n}{2}$ und damit nichtnegative ganze Zahlen, ungerade n liefern $-\frac{n+1}{2}$ und damit negative ganze Zahlen. So kannst du systematisch prüfen, ob jeder Zielwert genau einmal getroffen wird, also Bijektivität.