Satz vom Nullprodukt
Mit dem Satz vom Nullprodukt kannst du Gleichungen einfacher lösen und Nullstellen berechnen. Wie das geht, zeigen wir dir in diesem Beitrag und in unserem Video .
Inhaltsübersicht
Satz vom Nullprodukt einfach erklärt
Der Satz vom Nullprodukt hilft dir bei Gleichungen, bei denen auf einer Seite ein Produkt steht und auf der anderen Seite eine 0.
Ein Produkt ist gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Schau dir dieses Beispiel dazu an:
3 • x = 0
Du kannst den Satz vom Nullprodukt anwenden, weil auf einer Seite der Gleichung ein Produkt steht und auf der anderen Seite eine 0. Die beiden Faktoren des Produkts sind 3 und x. Wegen der Nullproduktregel muss einer der Faktoren gleich 0 sein, also
3 = 0 oder x = 0
Weil 3 ungleich 0 ist, muss x gleich 0 sein. Deshalb ist x = 0 die Lösung der Gleichung.
Satz vom Nullprodukt: Aufgaben – Quadratische Gleichungen
Stell dir vor, du willst folgende quadratische Gleichung lösen:
x2 – 2x = 0
Hier kannst du die Produkt gleich null Regel nicht direkt anwenden, weil auf der linken Seite der Gleichung kein Produkt steht, sondern eine Summe. Dann gehst du so vor:
1. x ausklammern
x • (x – 2) = 0
2. Satz vom Nullprodukt anwenden: Dafür setzen wir die Faktoren einzeln gleich 0:
x = 0 oder x – 2 = 0
3. Einzelne Gleichungen lösen , falls nötig:
x = 0 kannst du nicht weiter auflösen.
x – 2 = 0 kannst du auflösen zu x = 2.
Die Lösungen der Gleichung sind also x1 = 0 und x2 = 2.
Achtung! Wenn in der quadratischen Gleichung eine Zahl ohne x vorkommt, wie in x2 – 2x + 3 = 0, kannst du nicht ausklammern und den Satz vom Nullprodukt nicht anwenden! Hier hilft dir dann die Mitternachtsformel weiter.
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Satz vom Nullprodukt: Aufgaben – Nullstellen berechnen
Beispiel 1
Schau dir die Funktion f(x) = 2x4 – 6x3 an. Wie kannst du hier die Nullstellen berechnen ? Dafür setzt du zuerst die Funktion gleich 0:
2x4 – 6x3 = 0
Jetzt kannst du diese Gleichung lösen:
1. Möglichst hohe Potenz von x ausklammern
x3 • (2x – 6) = 0
2. Satz vom Nullprodukt anwenden: Dafür setzen wir die Faktoren einzeln gleich 0:
x3 = 0 oder 2x – 6 = 0
3. Einzelne Gleichungen lösen, falls nötig:
x3 = 0 kannst du auflösen zu x = 0.
2x – 6 = 0 kannst du auflösen:
Die Nullstellen der Funktion sind also x1 = 0 und x2 = 3.
Beispiel 2
Schau dir nun noch f(x) = (x + 1)2 • (x – 4) an und berechne die Nullstellen. Dazu musst du die Gleichung Null setzen:
(x + 1)2 • (x – 4) = 0
Hier kannst du den Satz des Nullprodukts direkt anwenden, weil auf der linken Seite der Gleichung ein Produkt und auf der rechten Seite eine 0 steht.
1. Satz vom Nullprodukt anwenden: Dafür setzen wir die Faktoren einzeln gleich 0:
(x + 1)2 = 0 oder x – 4 = 0
2. Einzelne Gleichungen lösen, falls nötig:
(x + 1)2 = 0 kannst du auflösen:
x – 4 = 0 kannst du auflösen zu x = 4.
Die Lösungen der Gleichung sind also x1 = – 1 und x2 = 4.
Satz vom Nullprodukt — häufigste Fragen
(ausklappen)
Satz vom Nullprodukt — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Wann muss ich die Gleichung erst umformen, bevor ich den Satz vom Nullprodukt anwenden kann?Du musst erst umformen, wenn nicht ein Produkt gleich 0 dasteht. Bringe die Gleichung zuerst in die Form
, indem du alles auf eine Seite bringst und dann faktorisierst (zum Beispiel ausklammern). Steht dort eine Summe wie 
, geht Nullprodukt erst nach dem Ausklammern.
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Welche Fehler passieren oft beim Ausklammern, bevor ich die Nullproduktregel benutze?Häufig wird beim Ausklammern ein Term vergessen oder das Vorzeichen falsch übernommen. Außerdem wird nicht der größte gemeinsame Faktor ausgeklammert, wodurch das Produkt unübersichtlich bleibt. Zum Beispiel wird aus fälschlich
, richtig ist 
.
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Wie gehe ich mit Nullstellen um, die mehrfach vorkommen, zum Beispiel bei (x + 1)²?Eine Potenz wie
bedeutet, dass die Nullstelle zweimal vorkommt. Du setzt den Faktor trotzdem gleich 0 und bekommst 
, notierst aber die Vielfachheit: Nullstelle mit Multiplizität 2. Grafisch berührt die Funktion dort oft nur die x-Achse.
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Wie überprüfe ich am Ende schnell, ob meine gefundenen Nullstellen wirklich stimmen?Setze jede gefundene Nullstelle in die ursprüngliche Gleichung oder in f(x) ein und prüfe, ob wirklich 0 herauskommt. Das ist der schnellste Test gegen Umformungsfehler. Beispiel: Für
muss bei und 
jeweils 
gelten.
Satz von Vieta
Willst du wissen, wie du quadratische Gleichungen sogar im Kopf lösen kannst? Dann schau dir unbedingt unser Video zum Satz von Vieta an! Viel Spaß damit!
