Wie merke ich schnell, welcher Term sich zum Substituieren am besten eignet?

Am besten eignet sich der Term, der sich exakt wiederholt und in verschiedenen Potenzen vorkommt. So wird aus einer „höheren“ Gleichung oft eine quadratische in z. Konkret: Wenn nur und vorkommen, setze , weil dann gilt.

Welche typischen Fehler passieren bei der Rücksubstitution, wenn ich am Ende wieder nach x auflöse?

Häufiger Fehler: Aus wird nur statt . Außerdem wird vergessen, dass bei keine reelle Lösung für x existiert, weil nie negativ ist. Auch Vorzeichenfehler beim Zurücksetzen von z kommen oft vor.

Wie prüfe ich meine gefundenen Lösungen, ohne dass ich mich verrechne?

Prüfe jede x-Lösung, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt und beide Seiten getrennt ausrechnest. Nutze dabei als Zwischenschritt, weil das bei biquadratischen Gleichungen Rechenfehler reduziert. Beispiel: Erst berechnen, dann , erst danach in die Gleichung einsetzen.

Wann hat eine Gleichung nach der Substitution zwar z-Lösungen, aber trotzdem keine reellen x-Lösungen?

Das passiert, wenn eine gefundene z-Lösung negativ ist, also . Denn bei der Rücksubstitution gilt , und kann für reelle Zahlen nie kleiner als 0 sein. Beispiel: Aus folgt , und dafür gibt es keine reellen x.

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Substitution

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist eine Substitution?

(00:14)

Substitution in Mathe – Beispiel

(00:59)

Hier erklären wir dir, was eine Substitution ist und wie du mit dem Substitutionsverfahren Gleichungen lösen kannst. Schau dir am besten auch gleich unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Was ist eine Substitution?

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(00:14)

Stell dir vor, du willst die Lösung der folgenden Gleichung berechnen: x^4-x^2-2=4 . Was auf den ersten Blick schwierig aussieht, kannst du mit einer Substitution und Resubstitution leicht lösen. Hierfür ersetzt du $\color{blue}{x^2}$ durch die neue Variable $\color{red}{z}$ und löst du die Gleichung in vier Schritten:

1. Substitution: Du ersetzt in der Gleichung $\color{blue}{x^2}$ durch $\color{red}{z}$ .

2. Berechnung von $\color{red}{z}$ : Das machst du zum Beispiel mit Hilfe der Mitternachts- oder pq-Formel

3. Resubstitution: Nun ersetzt du $\color{red}{z}$ wieder durch $\color{blue}{x^2}$ .

4. Berechnung von $\color{blue}{x}$ : Nachdem du $\color{red}{z}$ kennst, kannst du jetzt auch $\color{blue}{x}$ leicht berechnen.

Im folgenden Beispiel zeigen wir dir, wie du durch Substituieren die Lösungen einer Gleichung findest.

Substitution in Mathe – Beispiel

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(00:59)

Lass uns als Beispiel die folgende Gleichung mit dem Substitutionsverfahren lösen:

$x^4-x^2-2=4$

Als erstes bringst du alles auf eine Seite, indem du auf beiden Seiten abziehst.

$\begin{align*} \ x^4-x^2-2&=4 \;\; \; |-4\\ \ x^4-x^2-6&=0\\ \end{align*}$

Dann stellst du fest, dass du diese Gleichung auch umschreiben kannst.

$({\textcolor{blue}{x^2})^2-\textcolor{blue}{x^2}-6&=0$

Wann verwende ich eine Substitution?

Wenn in einer Gleichung als Variablen nur x^2 und x^4 vorkommen, kannst du sie immer durch Substituieren lösen. Das ist zum Beispiel hier der Fall:

$x^4-x^2-6=0$

Schauen wir uns jetzt an, wie du Schritt für Schritt vorgehst:

1. Substitution: Du ersetzt $\color{blue}{x^2}$ durch $\color{red}{z}$ , sodass du eine vereinfachte Gleichung erhältst.

$\begin{align*} (\textcolor{blue}{x^2})^2-\textcolor{blue}{x^2}-6&=0\\ (\textcolor{red}{z})^2-\textcolor{red}{z}-6&=0\\ \end{align*}$

2. Berechnung von $\textcolor{red}{z}$ : Jetzt kannst du diese Gleichung mit der Mitternachtsformel (alternativ p-q-Formel ) lösen:

$\begin{align*} \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1\cdot (-6)}}{2 \cdot 1}\\ \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{1 \pm 5}{2}\\ \color{red}{z_1}&=\frac{6}{2}=3 \;\; \text{und} \;\;\textcolor{red}{z_2} =\frac{-4}{2}=-2\\ \end{align*}$

3. Resubstitution: $\textcolor{red}{z}$ ersetzt du nun wieder durch $\textcolor{blue}{x^2}$ :

$\begin{align*} &\textcolor{red}{z_1} = 3 &\textcolor{red}{z_2} = -2\\ &\textcolor{blue}{x^2}=3 &\textcolor{blue}{x^2} =-2\\ \end{align*}$

4. Berechnung von $\textcolor{blue}{x}$ : Nun musst du nach $\textcolor{blue}{x}$ auflösen. Hierfür musst Du die Wurzel aus und ziehen:

$\begin{alignat*}{3} \textcolor{blue}{x^2} &=3 \;\;&\Leftrightarrow \;\;& \textcolor{blue}{x_{1,2}} = \pm\sqrt{3}\\ \textcolor{blue}{x^2} &=-2 \;\;&\Leftrightarrow \;\;& \textcolor{blue}{x_{3,4}} =\pm\sqrt{-2}\\ \end{alignat*} \begin{align*} \end{align*}$

Vorsicht: Aus negativen Zahlen darfst du keine Wurzel ziehen! Das heißt also, dass es für $\textcolor{blue}{x^2}=-2$ keine Lösung gibt.

Deine zwei Lösungen lauten daher $\textcolor{blue}{x_{1,2}}=\pm\sqrt{3}$ . Gar nicht so schwer, oder?

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Weitere Übung im Substitutionsverfahren

Du willst das Substituieren noch einmal üben? Dann haben wir noch eine zweite Aufgabe für dich:

$2x^4-18x^2+28=0$

Diese Gleichung kannst du auch umschreiben:

$2\cdot(\textcolor{blue}{x^2})^2-18\cdot\textcolor{blue}{x^2}+28=0$

1. Substitution: Als Erstes musst du $\textcolor{blue}{x^2}$ durch $\textcolor{red}{z}$ substituieren.

$2\cdot(\textcolor{red}{z})^2-18 \cdot\textcolor{red}{z}+28=0$

2. Berechnung von $\textcolor{red}{z}$ : Jetzt kannst du $\textcolor{red}{z}$ mit der Mitternachtsformel leicht bestimmen.

$\begin{align*} \textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2-4 \cdot 2 \cdot 28}} {2 \cdot 2}\\ \textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm \sqrt{324-224}} {4}\\ \textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm 10} {4}\\ \textcolor{red}{z_1}& = \frac{28}{4} = 7 \;\; \text{und} \;\; \textcolor{red}{z_2} = \frac{8}{4} = 2\\ \end{align*}$

3. Rücksubstitution: Das Substitut $\textcolor{red}{z}$ ersetzt du wieder durch $\textcolor{blue}{x^2}$ .

$\begin{align*} \textcolor{red}{z_1}&= 7 \;\; &\textcolor{red}{z_2}= 2\\ \textcolor{blue}{x^2}&= 7 \;\; &\textcolor{blue}{x^2}= 2\\ \end{align*}$

4. Berechnung von $\textcolor{blue}{x}$ : Nun löst du nach $\textcolor{blue}{x}$ auf.

$\begin{alignat*}{3} \textcolor{blue}{x^2}=7 \;\;&\Leftrightarrow& \;\;\textcolor{blue}{x_{1,2}}=\pm\sqrt{7}\\ \textcolor{blue}{x^2}=2 \;\;&\Leftrightarrow& \;\;\textcolor{blue}{x_{3,4}}=\pm\sqrt{2}\\ \end{alignat*}$

Durch Substituieren hast du die Lösungen für $\textcolor{blue}{x}$ herausgefunden. Sie lauten:

$\textcolor{blue}{x_1}=\sqrt{2}, \textcolor{blue}{x_2}=-\sqrt{2}, \textcolor{blue}{x_3}=\sqrt{7}, \textcolor{blue}{x_4}=-\sqrt{7}$

Substitution — Zusammenfassung

Unter Substitution versteht du das Ersetzen eines bestimmten Terms einer Gleichung durch eine einzelne Variable. Dadurch vereinfacht sich das Lösen der Gleichung. Du ersetzt also etwas Schwierigeres durch etwas Einfacheres und tauscht es nach der Berechnung wieder zurück.

Substitution — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie merke ich schnell, welcher Term sich zum Substituieren am besten eignet?

Am besten eignet sich der Term, der sich exakt wiederholt und in verschiedenen Potenzen vorkommt. So wird aus einer „höheren“ Gleichung oft eine quadratische in z. Konkret: Wenn nur und vorkommen, setze , weil dann gilt.
Welche typischen Fehler passieren bei der Rücksubstitution, wenn ich am Ende wieder nach x auflöse?

Häufiger Fehler: Aus wird nur $x=\sqrt{z}$ statt $x=\pm\sqrt{z}$ . Außerdem wird vergessen, dass bei keine reelle Lösung für x existiert, weil nie negativ ist. Auch Vorzeichenfehler beim Zurücksetzen von z kommen oft vor.
Wie prüfe ich meine gefundenen Lösungen, ohne dass ich mich verrechne?

Prüfe jede x-Lösung, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt und beide Seiten getrennt ausrechnest. Nutze dabei als Zwischenschritt, weil das bei biquadratischen Gleichungen Rechenfehler reduziert. Beispiel: Erst berechnen, dann , erst danach in die Gleichung einsetzen.
Wann hat eine Gleichung nach der Substitution zwar z-Lösungen, aber trotzdem keine reellen x-Lösungen?

Das passiert, wenn eine gefundene z-Lösung negativ ist, also . Denn bei der Rücksubstitution gilt , und kann für reelle Zahlen nie kleiner als 0 sein. Beispiel: Aus folgt , und dafür gibt es keine reellen x.

Quadratische Ergänzung

Das Substitutionsverfahren ist nur eine Möglichkeit, in Mathe Gleichungen nach x aufzulösen. Damit du für deine nächste Prüfung auch wirklich gut vorbereitet bist, schau dir gleich noch unser Video zur quadratischen Ergänzung an – eine weitere gute Methode, um x zu bestimmen!