Wie merke ich schnell, ob ich den Satz vom Nullprodukt nehmen kann oder ob ich die Mitternachtsformel brauche?

Den Satz vom Nullprodukt nutzt du, wenn du die Gleichung zu „Produkt = 0“ umformen kannst. Das erkennst du daran, dass ein Faktor oder eine Klammer direkt null sein kann, zum Beispiel . Steht die Gleichung als ohne einfache Faktorisierung, nimm die Mitternachtsformel.

Welche Fehler passieren am häufigsten, wenn ich bei quadratischen Gleichungen die Wurzel ziehe?

Der häufigste Fehler ist, beim Wurzelziehen das ± zu vergessen. Aus wird immer oder . Außerdem wird oft falsch gewurzelt, wenn noch ein Term danebensteht, zum Beispiel statt korrekt erst umformen und dann wurzeln.

Wie finde ich bei Bruchgleichungen die Werte, die ich gar nicht einsetzen darf?

Du findest die verbotenen Werte, indem du alle Nenner gleich null setzt und diese -Werte ausschließt. Ein Nenner darf nie 0 werden, sonst ist der Bruch nicht definiert. Beispiel: Bei ist verboten, bei sind und verboten.

Wie prüfe ich am Ende, ob meine Lösungen wirklich stimmen, ohne alles komplett neu zu rechnen?

Setze jede gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein und prüfe, ob links und rechts derselbe Wert herauskommt. Das ist schneller als neu zu lösen, weil du nur noch ausrechnest. Bei Bruchgleichungen kontrollierst du zusätzlich, dass kein Nenner dabei 0 wird, sonst ist die „Lösung“ ungültig.

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Gleichungen Aufgaben

Wichtige Inhalte in diesem Video

Lineare Gleichungen Aufgabe 1

(00:14)

Quadratische Gleichungen Aufgabe 2

(01:33)

Bruchgleichungen Aufgabe 3

(03:27)

Du möchtest dein Wissen testen und Aufgaben zu Gleichungen lösen? Dann bist du hier genau richtig! In diesem Beitrag und im Video bekommst du verschiedene Aufgaben mit Lösungen.

Inhaltsübersicht

Lineare Gleichungen Aufgabe 1

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(00:14)

Löse die folgenden linearen Gleichungen .

x + 3 = 5 – x
3 · (x – 2) = x
2x + 5 – x + 2 + 2x = 4x – 2x + 1
14 = x + 5 · (x + 6) + 2x – 4 · (3x – 1)

Lösungen Aufgabe 1

Um die linearen Gleichungen zu lösen, musst die Variable x auf die eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringen.

$\begin{align*}x + 3 &=5 - x &| + x\\2x + 3 &= 5 &| - 3\\2x &= 2 &| : 2\\x &= 1\end{align*}$
$\begin{align*} 3 · (x - 2) &= x\\3x - 6 &= x &|+ 6\\3x &= x + 6 &| - x\\2x &= 6 &| : 2\\x &= 3\end{align*}$
$\begin{align*}2x + 5 - x + 2 + 2x &= 4x - 2x + 1\\3x + 7 &= 2x + 1 &| -7\\ 3x &= 2x - 6 &| - 2x\\x &= -6\end{align*}$
$\begin{align*}14 &= x + 5 · (x + 6) + 2x - 4 · (3x - 1)\\ 14 &= x + 5x + 30 + 2x - 12x + 4\\14 &= -4x + 34 &|-34\\-20 &= -4x &| : (-4)\\x &= 5\end{align*}$

Weitere Aufgaben zu linearen Funktionen findest du in einem anderen Artikel.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Quadratische Gleichungen Aufgabe 2

im Videozur Stelle im Video springen

(01:33)

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen .

x² = 25x
(x + 1)(x – 2) = 0
(x – 2)² = 16
5 · (x + 1)² = x

Lösungen Aufgabe 2

Um quadratische Gleichungen zu lösen , benötigst du für manche Aufgaben den Satz vom Nullprodukt , die Mitternachtsformel oder binomische Formeln .

$\begin{align*}x^{2} &= 25x &| - 25x\\x^{2} - 25x &= 0\\x \cdot(x - 25) &= 0 &| \text{ Satz vom Nullprodukt}\\x_{1} &= 0\\x_{2} &= 25\end{align*}$
$\begin{align*}(x + 1)(x - 2) &= 0 &| \text{ Satz vom Nullprodukt}\\x_{1} &= -1\\x_{2} &= 2\end{align*}$
$(x - 2)^{2} = 16\quad | \text{ Wurzel ziehen}$

Dadurch entstehen die Lösungen – 4 und + 4 von der Wurzel 16 .

$\begin{align*}x - 2 &= - 4 &| + 2\\x_{1} &= -2\\\\x - 2 &= + 4 &| + 2\\x_{2} &= 6\end{align*}$
$\begin{align*}5\cdot(x + 1)^{2} &= - x &| \text{ 1. Binomische Formel}\\5\cdot(x^{2} + 2x + 1) &= -x &| \text{ Klammer auflösen}\\5x^{2}+ 10x + 5 &= - x&|+x\\5x^{2} + 11x + 5 &= 0 &|\text{ Mitternachtsformel}\\x_{1,2} &= \cfrac{- 11 \pm \sqrt{11^2-4\cdot5\cdot5}}{2\cdot5}\\x_{1} &= - 1,56\\x_{2} &= - 0,64\end{align*}$

Bruchgleichungen Aufgabe 3

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(03:27)

Löse folgende Bruchgleichungen und gibt die Lösungsmenge an.

$\cfrac{1}{x}$ + 2 = $\cfrac{9}{x}$
$\cfrac{4}{x}\cdot\cfrac{3}{2}$ = 6
$\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{3} = \cfrac{5}{6}$
$\cfrac{2x + 4}{8} = \cfrac{8x - 7}{20}$

Lösungen Aufgabe 3

Um Bruchgleichungen zu lösen, musst du darauf achten, dass du keine Zahl aus dem Zähler heraus multiplizierst.

$\begin{align*}\cfrac{1}{x} + 2 &= \cfrac{9}{x} &| - \cfrac{1}{x}\\2 &= \cfrac{8}{x} &| \cdot x\\2x &= 8 &| : 2\\x &= 4\\L &= \{4\}\end{align*}$
$\begin{align*}\cfrac{4}{x}\cdot\cfrac{3}{2} &= 6 &| \cdot \cfrac{2}{3}\\\cfrac{4}{x} &= 4 &| \cdot x\\4 &= 4x &| : 4\\x &= 1\\L &= \{1\}\end{align*}$
$\begin{align*}\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{3} &= \cfrac{5}{6} &| \cdot 2\\\cfrac{x}{3} &= \cfrac{10}{6} &| \cdot 3\\x &= \cfrac{30}{6}\\x &= 5\\L &= \{5\}\end{align*}$
$\begin{align*}\cfrac{2x + 4}{8} &= \cfrac{8x - 7}{20} &| \cdot 8\\2x + 4 &= \cfrac{64x - 56}{20} &| \cdot 20\\40x + 80 &= 64x - 56 &| + 56\\40x + 136 &= 64x &| - 40 x\\136 &= 24x &| : 24\\ x &=\cfrac{17}{3}\\L &= \left\{\left\cfrac{17}{3}\right\}\right\end{align*}$

Gleichungen umstellen Aufgabe 4

Stelle die Gleichungen nach a um .

$\cfrac{b}{a}$ = c
A = $\frac{1}{2}$ · b · a
A = π · a²
$\cfrac{b}{2\cdot\pi\cdot a} = \cfrac{\alpha}{360\degree}$

Lösungen Aufgabe 4

Um die Gleichungen umzustellen, musst du a alleine und den Rest der Gleichung auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringen.

$\begin{align*}\cfrac{b}{a}&= c &| \cdot a\\ b &= c \cdot a &| : c\\a &= \cfrac{b}{c}\end{align*}$
$\begin{align*}A &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot a &| \cdot2\\ A \cdot 2 &= b \cdot a &| : b\\a &= \cfrac{A\cdot2}{b}\end{align*}$
$\begin{align*}A &= \pi \cdot a^{2} &| : \pi\\ \cfrac{A}{\pi} &= a^{2} &| \text{ Wurzel ziehen}\\a &= \sqrt{\cfrac{A}{\pi}}\end{align*}$
$\begin{align*}\cfrac{b}{2\cdot\pi\cdot a} &= \cfrac{\alpha}{360\degree} &| \cdot a\\ \cfrac{b}{2\cdot\pi} &= \cfrac{\alpha}{360\degree} \cdot a &| \cdot\cfrac{360\degree}{\alpha}\\a &= \cfrac{b\cdot360\degree}{2\cdot\pi\cdot\alpha}\end{align*}$

Gleichungen Aufgaben — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie merke ich schnell, ob ich den Satz vom Nullprodukt nehmen kann oder ob ich die Mitternachtsformel brauche?

Den Satz vom Nullprodukt nutzt du, wenn du die Gleichung zu „Produkt = 0“ umformen kannst. Das erkennst du daran, dass ein Faktor oder eine Klammer direkt null sein kann, zum Beispiel . Steht die Gleichung als ohne einfache Faktorisierung, nimm die Mitternachtsformel.
Welche Fehler passieren am häufigsten, wenn ich bei quadratischen Gleichungen die Wurzel ziehe?

Der häufigste Fehler ist, beim Wurzelziehen das ± zu vergessen. Aus wird immer oder . Außerdem wird oft falsch gewurzelt, wenn noch ein Term danebensteht, zum Beispiel $\sqrt{x^2-2}$ statt korrekt erst umformen und dann wurzeln.
Wie finde ich bei Bruchgleichungen die Werte, die ich gar nicht einsetzen darf?

Du findest die verbotenen Werte, indem du alle Nenner gleich null setzt und diese -Werte ausschließt. Ein Nenner darf nie 0 werden, sonst ist der Bruch nicht definiert. Beispiel: Bei $\frac{1}{x-3}$ ist verboten, bei $\frac{2}{x(x+1)}$ sind und verboten.
Wie prüfe ich am Ende, ob meine Lösungen wirklich stimmen, ohne alles komplett neu zu rechnen?

Setze jede gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein und prüfe, ob links und rechts derselbe Wert herauskommt. Das ist schneller als neu zu lösen, weil du nur noch ausrechnest. Bei Bruchgleichungen kontrollierst du zusätzlich, dass kein Nenner dabei 0 wird, sonst ist die „Lösung“ ungültig.

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Super! Du hast dein Wissen überprüft und verschiedene Aufgaben zum Thema Gleichungen gelöst. Jetzt möchtest du Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen lösen? Dann schau im Video vorbei!