Intervall Mathe
Was ist ein Intervall?
Ein Intervall ist eine Menge von Zahlen, die durch einen Start- und Endwert begrenzt ist.
Beispiel: Das Intervall [2;7] umfasst alle reellen Zahlen , die zwischen 2 und 7 liegen.
Die nach innen zeigenden eckigen Klammern ([, ]) bedeuten außerdem, dass die 2 und die 7 auch dazugehören. Im Intervall [2;7] befinden sich also beispielsweise die Zahlen: 2, 2,35, 4,696, 6,3333 und die 7.
Das siehst du auch am Zahlenstrahl:
Es gibt aber noch andere Arten von Intervallen, die zum Beispiel so aussehen: [2;7[, ]2;7[, (2;7). Was diese Intervallschreibweisen bedeuten, erfährst du jetzt.
Endliche Intervalle
Intervalle mit endlicher Länge nennst du beschränkte oder endliche Intervalle. Du erkennst sie daran, dass ihre Start- und Endwerte reelle Zahlen sind, wie beispielsweise bei [2; 7].
Du kannst die Länge des Intervalls berechnen, indem du den Startwert vom Endwert abziehst:
Hier ist die Länge 5, da 7 – 2 = 5.
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Geschlossenes Intervall
In einem geschlossenen oder abgeschlossenen Intervall ist sowohl der Start- als auch Endwert enthalten. Das erkennst du daran, dass die eckigen Klammern ([;]) nach innen zeigen.
Beispiel: [2;7] beschreibt die Menge aller Zahlen zwischen 2 (eingeschlossen) und 7 (eingeschlossen)
Halboffenes Intervall
Ist der Start- oder Endwert nicht enthalten, dann ändert sich die Intervallschreibweise. Die entsprechende eckige Klammer zeigt dann nach außen.
Beispiel 1: [2;7[ beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (eingeschlossen) bis 7 (ausgeschlossen). Die Zahl 6,999 ist also noch in der Menge enthalten, die Zahl 7 aber nicht!
Beispiel 2: ]2;7] beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (ausgeschlossen) bis 7 (eingeschlossen).
Intervallschreibweise endliche Intervalle
Es gibt verschiedene Arten von Intervallschreibweisen.
- 1. Schreibweise: nach außen zeigende eckige Klammern für nicht enthaltene Grenzwerte (Beispiel: ]2;7[)
- 2. Schreibweise: nach innen zeigende runde Klammern für nicht enthaltene Grenzwerte (Beispiel: (2;7))
In der Tabelle siehst du noch einmal alle Intervallschreibweisen im Überblick:
| Typ | Schreibweise 1 | Schreibweise 2 | Mengenschreibweise |
| geschlossen | [a;b] | [a;b] | {x| a ≤ x ≤ b} |
| halboffen (rechtsoffen) | [a;b[ | [a;b) | {x| a ≤ x < b} |
| halboffen (linksoffen) | ]a;b] | (a;b] | {x| a < x ≤ b} |
| offen | ]a;b[ | (a;b) | {x| a < x < b} |
Unendliche Intervalle
Intervalle mit unendlicher Länge nennst du unendliche oder unbeschränkte Intervalle. Du erkennst sie daran, dass eine Intervallgrenze entweder +∞ (Plus Unendlich) oder -∞ (Minus Unendlich) ist.
Wichtig: Da +∞ und -∞ keine Zahlen sind, können sie selbst nie zum Intervall dazugehören! Daher steht hier immer eine offene eckige Klammer.
Beispiel 1: Das Intervall [2; ∞[ beschreibt die Menge aller Zahlen von 2 (eingeschlossen) bis ins Unendliche.
Beispiel 2: Das Intervall ]-∞; 7[ beschreibt die Menge aller Zahlen von minus unendlich bis 7 (ausgeschlossen).
Übrigens: Das Intervall ]-∞; ∞[ geht von minus unendlich bis plus unendlich und deckt somit den gesamten Zahlenstrahl ab, also ganz 
.
Intervallschreibweise unendliche Intervalle
Hier siehst du die Intervallschreibweise der unendlichen Intervalle nochmal im Überblick:
| Typ | Schreibweise 1 | Schreibweise 2 | Mengenschreibweise |
| links geschlossen, rechts unbeschränkt |
[a; ∞[ | [a; ∞) | {x| a ≤ x} |
| links offen, rechts unbeschränkt |
]a; ∞[ | (a; ∞) | {x| a < x} |
| links unbeschränkt, rechts geschlossen |
]-∞; b] | (-∞; b] | {x| x ≤ b} |
| links unbeschränkt, rechts offen |
]-∞; b[ | (-∞; b) | {x| x < b } |
| beidseitig unbeschränkt | ]-∞; ∞[ | (-∞; ∞) | |
Intervall Mathe — häufigste Fragen
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Intervall Mathe — häufigste Fragen
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Was bedeutet ein Intervall in Mathe?Ein Intervall ist eine Menge von Zahlen, die durch einen Startwert und einen Endwert begrenzt ist. Es enthält alle reellen Zahlen, die zwischen diesen beiden Grenzen liegen. Zum Beispiel umfasst das Intervall [2;7] alle Zahlen zwischen 2 und 7, inklusive 2 und 7.
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Woran sehe ich an den Klammern, ob die Randzahlen dazugehören?An der Richtung der Klammern erkennst du, ob die Randzahlen dazugehören. Zeigen eckige Klammern nach innen, sind Startwert und Endwert enthalten. Zeigt eine eckige Klammer nach außen, ist die entsprechende Randzahl ausgeschlossen, zum Beispiel bei [2;7[ ist 7 nicht dabei.
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Was ist der Unterschied zwischen einem offenen, halboffenen und geschlossenen Intervall?Der Unterschied liegt darin, ob die Randwerte enthalten sind oder nicht. Ein geschlossenes Intervall enthält beide Randwerte, ein offenes enthält keinen Randwert und ein halboffenes enthält genau einen Randwert. Beispiele sind [2;7] geschlossen, ]2;7[ offen und [2;7[ halboffen.
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Warum steht bei +∞ oder -∞ immer eine offene Klammer?Bei +∞ oder -∞ steht immer eine offene eckige Klammer, weil +∞ und -∞ keine Zahlen sind und deshalb nie zum Intervall gehören können. Darum ist die Unendlichkeit immer ausgeschlossen, zum Beispiel bei [2;∞[ oder ]-∞;7[.
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Was ist der Unterschied zwischen einem Lösungsintervall und einer Lösungsmenge?Ein Lösungsintervall beschreibt unendlich viele Lösungen als zusammenhängenden Zahlenbereich, während eine Lösungsmenge einzelne, konkrete Zahlen aufzählt. Bei
ist das Lösungsintervall ]-3;3[, also alle reellen Zahlen zwischen -3 und 3. Bei 
ist die Lösungsmenge {-3; 3}.
Lösungsmenge
Super, jetzt kennst du die Definition von einem Intervall und weißt, wie du es angeben kannst! Du solltest immer darauf achten, Lösungsmengen und Lösungsintervalle nicht zu verwechseln!
Beispiel Lösungsintervall: Das Lösungsintervall der Ungleichung x2 < 9 ist 
= ]-3; 3[. Damit sind alle reellen Zahlen zwischen -3 (ausgeschlossen) und 3 (ausgeschlossen) gemeint. In dem Intervall selbst befinden sich also unendlich viele Lösungen!
Beispiel Lösungsmenge: Die Lösungsmenge der Gleichung x2 = 9 ist = {-3; 3}. In dieser Menge sind nur die zwei Zahlen -3 und 3 enthalten!
Du möchtest noch mehr darüber erfahren, wie du die Lösungsmenge bestimmen und aufschreiben kannst? Dann schau dir direkt unser Video dazu an!
