Wie finde ich die Definitionsmenge bei einer Bruchgleichung?

Die Definitionsmenge findest du, indem du alle -Werte ausschließt, die einen Nenner zu 0 machen. Dafür setzt du jeden Nenner gleich 0 und löst nach auf. Bei gilt , also ist verboten.

Wie löse ich eine Bruchgleichung mit nur einem Bruchterm richtig?

Du löst sie, indem du zuerst die Definitionsmenge festlegst und dann den Nenner wegmultiplizierst. Bei darf sein, dann multiplizierst du mit und bekommst . Danach teilst du durch 3 und erhältst .

Wie gehe ich vor, wenn auf beiden Seiten Brüche stehen?

Du setzt zuerst beide Nenner gleich 0, um verbotene Werte für die Definitionsmenge zu finden. Danach multiplizierst du Schritt für Schritt mit den Nennern, bis keine Brüche mehr da sind. Bei sind und ausgeschlossen, die Lösung ist .

Wann ist die Lösungsmenge bei Bruchgleichungen leer oder entspricht der Definitionsmenge?

Die Lösungsmenge ist leer, wenn dein berechnetes nicht in der Definitionsmenge liegt. Dann darfst du es nicht einsetzen, weil sonst ein Nenner 0 wird. Außerdem kann es passieren, dass beim Auflösen auf beiden Seiten das Gleiche steht, zum Beispiel ; dann gilt .

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Bruchgleichungen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Bruchgleichungen einfach erklärt

Bruchgleichung mit mehreren Brüchen

(02:18)

Du möchtest wissen was Bruchgleichungen sind und wie du sie lösen kannst? Das erklären wir dir anhand mehrerer Beispiele.

Mit unserem Video verstehst du das Thema ganz entspannt in wenigen Minuten.

Inhaltsübersicht

Bruchgleichungen einfach erklärt

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(00:13)

Bruchgleichungen sind Gleichungen mit Brüchen. Sie enthalten mindestens einen Bruchterm. Ein Bruchterm ist ein Bruch aus Zähler und Nenner, bei dem eine Variable im Nenner steht.

$\frac{8}{\textcolor{blue}{x}} = 4$

Werte, für die der Nenner 0 wird, werden in der Definitionsmenge ausgeschlossen. Da durch 0 nicht geteilt werden kann, darfst du für x keinen Wert einfügen, der den Nenner auf 0 bringt.

Wie das Brüche auflösen mit Variablen geht schaust du dir am Besten direkt am Beispiel an.

Bruchgleichungen mit einem Bruch

Schauen wir uns zuerst an, wie du Bruchgleichungen mit einem Bruch lösen kannst. Starten wir mit einem Beispiel mit einem Bruch nur auf einer Seite der Gleichung.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel 1

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(00:38)

Du sollst folgende Bruchgleichung lösen.

$\frac{6}{\textcolor{blue}{x}} = 3$

1. Definitionsmenge festlegen: Da durch 0 nicht geteilt werden kann, darf der Nenner des Bruchs nicht 0 werden. Für x = 0 hätten wir eine 0 im Nenner. Außer der Null, kannst du alle Zahlen für x einsetzen. Die Definitionsmenge ist daher die Menge der Reellen Zahlen ohne 0.

$\mathbb{D}= \mathbb{R} \backslash 0$

2. Bruchgleichung nach x auflösen: Dazu musst du den Bruch so umstellen, dass x alleine steht.

$\begin{align*} \frac{6}{\textcolor{blue}{x}} &= 3 \qquad &|& \cdot \textcolor{blue}{x} \\ 6 &= 3\textcolor{blue}{x} \qquad &|& : 3 \\ 2 &= \textcolor{blue}{x}\end{align*}$

3. Lösungsmenge angeben: Die einzige Zahl, die die Definitionsmenge ausschließt, ist 0. Die Lösung x = 2 ist also in $\mathbb{D}$ enthalten und darf eingesetzt werden. Das berechnete Ergebnis schreibst du als Lösungsmenge $\mathbb{L}$ auf.

$\mathbb{L} = \{2\}$

Beispiel 2

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(01:23)

Du sollst folgende Bruchgleichung lösen.

$\frac{27}{\textcolor{blue}{x}-2} = 3$

1. Definitionsmenge festlegen: Da durch 0 nicht geteilt werden darf, musst du den Nenner x – 2 im Bruch gleich 0 setzen und nach x auflösen.

$\begin{align*} \textcolor{blue}{x}-2 &= 0\qquad | + 2 \\ \textcolor{blue}{x} &= 2 \\\end{align*}$

Setzt du also für x eine 2 ein, dann wird der Nenner 0. Die Definitionsmenge ist daher die Menge der reellen Zahlen ohne 2.

$\begin{align*} \mathbb{D} &= \mathbb{R} \backslash \{2\}\end{align*}$

2. Bruchgleichung nach x auflösen:

$\begin{align*} \frac{27}{\textcolor{blue}{x}-2}&= 3 &|& \cdot (\textcolor{blue}{x} -2)\\ 27&= 3 \cdot (\textcolor{blue}{x}-2) &|& : 3\\ 9 &= \textcolor{blue}{x} -2 &|& + 2 \\ 11 &= \textcolor{blue}{x}\end{align*}$

3. Lösungsmenge angeben: Da 11 in der Definitionsmenge liegt, ist die Lösung gültig und 11 darf für x eingesetzt werden.

$\mathbb{L} = \{11\}$

Hinweis: Wenn die Lösung für x nicht in der Definitionsmenge vorkommt, sind Gleichungen mit Brüchen nicht lösbar. Dann ist die Lösungsmenge leer.

$\mathbb{L}$ = { }

Bruchgleichung mit mehreren Brüchen

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(02:18)

Du kannst auch Gleichungen lösen mit Brüchen auf beiden Seiten. Bruchgleichungen lösen mit mehreren Brüchen funktioniert im Prinzip aber genauso wie in den vorherigen Beispielen.

Beispiel

Berechne die Lösung für die Gleichung

$\frac{3}{\textcolor{blue}{x}-4} = \frac{6}{5\textcolor{blue}{x}+1}$ .

1.Definitionsmenge festlegen: Da du jetzt auf beiden Seiten der Gleichung ein x im Nenner hast, musst du beide Bruchterme umstellen. Um herauszufinden, für welches x der Nenner 0 wird, setzt du beide Nenner gleich 0 und löst nach x auf.

Nenner x – 4 null setzen:

$\begin{align*} \textcolor{blue}{x} - 4&=0 \qquad &|&+4 \\ \textcolor{blue}{x} &= 4\end{align*}$

Nenner 5x + 1 null setzen:

$\begin{align*} 5\textcolor{blue}{x} + 1 &= 0 \qquad &|& -1 \\ 5\textcolor{blue}{x} &= -1 \qquad &|& : 5 \\ \textcolor{blue}{x} &= -\frac{1}{5} = - 0,2\end{align*}$

Die Ergebnisse -0,2 und 4 schließt du also in der Definitionsmenge als Lösung für x aus.

$\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \{-0,2; 4\}$

2. Bruchgleichung nach x auflösen

$\begin{align*} \frac{3}{\textcolor{blue}{x-4}}&= \frac{6}{\textcolor{red}{5x+1}} \qquad &|& \cdot (\textcolor{blue}{x-4}) \\ 3 &= \frac{6 \cdot (\textcolor{blue}{x-4})}{\textcolor{red}{5x+1}} \qquad &|& \cdot (\textcolor{red}{5x+1}) \\ 3 \cdot (\textcolor{red}{5x+1}) &= 6\cdot(\textcolor{blue}{x-4}) \\ 15x + 3 &= 6x - 24 \\ 9x &= -27 \\ x &= -3\end{align*}$

3. Lösungsmenge angeben: Die Zahl -3 ist in der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \{-0,2; 4\}$ enthalten.

$\mathbb{L} = \{-3\}$

Hinweis: Wenn beim Brüche auflösen irgendwann auf beiden Seiten der Bruchgleichung das gleiche steht, entspricht die Lösungsmenge der Definitionsmenge.

$3x = 3x \rightarrow \mathbb{L} = \mathbb{D}$

Tipp: Bruchgleichungen lösen durch Multiplikation über Kreuz

Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du eine Gleichung mit Bruch umstellen kannst.

$\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{x-2}} = \frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{x}}$

1. Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \{0, 2\}$

2. Gleichung mit Bruch nach x auflösen: Dazu multiplizierst du den Zähler 3 des ersten Bruchs mit dem Nenner x des zweiten Bruchs. Anschließend nimmst du den Zähler 7 des zweiten Bruchs mal den Nenner (x-2) des ersten Bruchs.

$\textcolor{blue}{3\cdot x} &= \textcolor{red}{7\cdot (x-2)}$

Danach löst du wie gewohnt nach x auf.

$\begin{align*} 3x &= 7(x-2) \\ 3x &= 7x - 14 \qquad &|& -7x \\ -4x &= 14 \qquad &|& : (-4) \\ x &= 3,5\end{align*}$

3. Lösungsmenge angeben: 3,5 ist in $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \{0, 2\}$ enthalten.

$\mathbb{L} = \{3,5\}$

Tipp: Kehrwertbildung

Eine weitere Möglichkeit Bruchgleichungen vor dem Lösen zu vereinfachen, ist die Bildung des Kehrwerts.

$\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{2x+8}} = \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{x-3}}$

1. Definitionsmenge festlegen: $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \{-4, 3\}$

2. Bruchgleichung lösen

Kehrwert auf beiden Seiten bilden:

$\frac{\textcolor{red}{2x+8}}{\textcolor{blue}{4}} = \frac{\textcolor{red}{x-3}}{\textcolor{blue}{1}}$

Gleichung mit Bruch nach x auflösen:

$\begin{align*} \frac{2x+8}{4}&=\frac{x-3}{1} \\ 0,5x + 2 &= x-3 \qquad &|& +3 \\ 0,5x + 5 &= x \qquad &|& -0,5x \\ 5 &= 0,5x \qquad &|& : 0,5 \\ 10 = x\end{align*}$

3. Lösungsmenge angeben: 10 ist in $\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \{-4, 3\}$ enthalten.

$\mathbb{L} = \{10\}$

Bruchgleichungen Aufgaben

Zum Gleichungen lösen mit Brüchen haben wir dir einige Übungen zusammengestellt. Gib dabei die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

Aufgabe 1

$\frac{24}{3x} = 4$

Aufgabe 2

$\frac{5}{x+2} = \frac{6}{3(x-1)}$

Bruchgleichungen Aufgaben: Lösungen

Jetzt kannst du überprüfen, ob du das Thema Bruchgleichungen verstanden und alle Übungen zu den Gleichungen mit Brüchen richtig gelöst hast.

Lösung 1

1. Definitionsmenge : $\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{0\}$

2. Bruchgleichung nach x auflösen:

$\begin{align*} \frac{24}{3x} &= 4 \qquad &|& \cdot 3x \\ 24 &= 4 \cdot 3x \qquad &|& :4 \\ 6 &= 3x \qquad &|& :3 \\ 2 &= x\end{align*}$

3. Lösungsmenge angeben: $\mathbb{L} = \{2\}$

Lösung 2

1. Definitionsmenge: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{-2; 1\}$

2. Gleichung mit Bruch nach x auflösen:

$\begin{align*} \frac{5}{x+2} &= \frac{6}{3(x-1)} \qquad &|& \cdot (x+2) \\ 5 &= \frac{6\cdot(x+2)}{3x-3} \qquad &|& \cdot (3x-3) \\ 5\cdot (3x-3) &= 6\cdot (x+2) \\ 15x-15 &= 6x+12 \qquad &|&+15 &|&-6x \\ 9x &= 27 \qquad &|& :9 \\ x &= 3\end{align*}$

3. Lösungsmenge angeben: $\mathbb{L} = \{3\}$

Bruchgleichungen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was genau ist eine Bruchgleichung?

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der mindestens ein Bruchterm vorkommt. Ein Bruchterm ist ein Bruch aus Zähler und Nenner, bei dem eine Variable im Nenner steht. Zum Beispiel ist $\frac{6}{x}=3$ eine Bruchgleichung, weil im Nenner steht.
Wie finde ich die Definitionsmenge bei einer Bruchgleichung?

Die Definitionsmenge findest du, indem du alle -Werte ausschließt, die einen Nenner zu 0 machen. Dafür setzt du jeden Nenner gleich 0 und löst nach auf. Bei $\frac{27}{x-2}=3$ gilt , also ist verboten.
Wie löse ich eine Bruchgleichung mit nur einem Bruchterm richtig?

Du löst sie, indem du zuerst die Definitionsmenge festlegst und dann den Nenner wegmultiplizierst. Bei $\frac{6}{x}=3$ darf $x\neq 0$ sein, dann multiplizierst du mit und bekommst . Danach teilst du durch 3 und erhältst .
Wie gehe ich vor, wenn auf beiden Seiten Brüche stehen?

Du setzt zuerst beide Nenner gleich 0, um verbotene Werte für die Definitionsmenge zu finden. Danach multiplizierst du Schritt für Schritt mit den Nennern, bis keine Brüche mehr da sind. Bei $\frac{3}{x-4}=\frac{6}{5x+1}$ sind und $x=-\frac{1}{5}$ ausgeschlossen, die Lösung ist .
Wann ist die Lösungsmenge bei Bruchgleichungen leer oder entspricht der Definitionsmenge?

Die Lösungsmenge ist leer, wenn dein berechnetes nicht in der Definitionsmenge liegt. Dann darfst du es nicht einsetzen, weil sonst ein Nenner 0 wird. Außerdem kann es passieren, dass beim Auflösen auf beiden Seiten das Gleiche steht, zum Beispiel ; dann gilt $\mathbb{L}=\mathbb{D}$ .

Definitionsbereich

Super du weißt jetzt, wie du Bruchgleichungen lösen kannst. Dabei musst du unter anderem die Definitionsmenge bestimmen. In unserem Video dazu erklären wir dir noch einmal was der Definitionsbereich ist und wo du ihn sonst noch brauchst. Schau es dir gleich an!