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Gleichungen lösen

Du möchtest wissen, wie du Gleichungen ganz einfach lösen kannst? In diesem Beitrag und Video zeigen wir dir, welche Schritte dir dabei helfen und wie du sie anwendest!

Inhaltsübersicht

Gleichungen lösen leicht gemacht: Die Grundlagen

Eine Gleichung erkennst du sofort am Gleichheitszeichen =. Es sagt: Links und rechts steht etwas, das denselben Wert hat.

➡️ Beispiel:

8 = 8

6 + 2 = 8

Hier sind beide Seiten immer gleich viel wert. Solche Gleichungen sind schon gelöst. Eine Gleichung, die du hingegen lösen musst, könnte so aussehen:

5 + x = 8

Nun ist eine unbekannte Zahl in der Gleichung, die als x bezeichnet wird. Beim Lösen solch einer Gleichung musst du herauszufinden, welche Zahl sich hinter dem x verbirgt. Dafür benutzt du verschiedene Rechenschritte wie addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.

Wie das geht, schauen wir uns jetzt an einem Beispiel genauer an.

Einfache Gleichungen lösen

Wir haben die Gleichung x – 7 = 4 gegeben. Unser Ziel ist es, das x am Ende ganz alleine auf der linken Seite steht. Dafür gehst du so vor:

1. x isolieren:
Die -7 wollen wir weg haben. Dafür machen wir den Gegenschritt +7. Ganz wichtig dabei: Was du auf der einen Seite der Gleichung machst, musst du immer auch auf der anderen Seite tun.

x – 7 =4 | + 7

x – 7 + 7 = 4 + 7

Auf der linken Seite rechnen wir also -7 + 7 — das ergibt 0. Die 7 ist verschwunden und das x steht alleine. Auf der rechten Seite rechnest du 4 + 7 und erhältst 11. Unsere Gleichung sieht jetzt so aus:

x = 11

Merke

Beim Lösen einer Gleichung musst du jeden Rechenschritt auf beiden Seiten der Gleichung durchführen. In der Mathematik nennt sich das Äquivalenzumformungen.

2. Lösung aufschreiben:
Jetzt weißt du, dass x den Wert 11 hat. Diesen Wert schreibst du in die sogenannte Lösungsmenge. Die Lösungsmenge enthält immer das Ergebnis — also alle Zahlen, die die Gleichung erfüllen. Hier ist das:

→ $L = \{ 11 \}$

Einfache Gleichungen lösen: Ein weiteres Beispiel

Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an. Diesmal haben wir die Gleichung

1. x isolieren:
Wir wollen x wieder alleine auf der linken Seite stehen haben. Dazu rechnen wir -12 auf beiden Seiten:

12 – x = 5 | – 12

12 – x – 12 = 5 – 12

–x = –7

2. x berechnen:
Jetzt haben wir -x alleine auf der linken Seite stehen. Du kannst dir das –x auch so vorstellen –1 • x. Um das Minus zu entfernen, müssen wir auf beiden Seiten mit –1 multiplizieren:

–x = –7 | • (–1)

–x • (–1) = – 7 • (–1)

x = 7

3. Lösung aufschreiben:
Jetzt ist das Minus vor dem x weg und wir können das Ergebnis in die Lösungsmenge schreiben:

→ $L = \{ 7 \}$

Wichtig: Multiplizierst oder dividierst du zwei negative Zahlen, wird das Ergebnis positiv. Denn Minus mal Minus ergibt Plus!

Lineare Gleichungen lösen

Eine lineare Gleichung hat die Form a • x + b = 0. Vor dem x findest du eine Zahl, mit der x multipliziert wird. Zusammen mit der Zahl b bilden sie die linke Seite der Gleichung.

➡️ Beispiel: Schauen wir uns am Beispiel von -5x + 15 = 0 an, wie du so eine Gleichung löst:

1. -5x isolieren:
Zuerst entfernst du die + 15, indem du auf beiden Seiten -15 rechnest:

-5x + 15 = 0 | – 15

-5x + 15 – 15 = 0 – 15

-5x = -15

2. x berechnen:
Jetzt haben wir links noch -5x übrig. Wir müssen also durch -5 teilen, damit x alleine steht.

-5x = -15 | : (-5)

-5x : (-5) = -15 : (-5)

x = 3

3. Lösung aufschreiben:
Jetzt ist die -5 vor dem x weg und wir können das Ergebnis in die Lösungsmenge schreiben:

→ $L = \{ 3 \}$

Lineare Gleichungen lösen: Ein weiteres Beispiel

Doch nach dem Gleichheitszeichen muss nicht unbedingt eine 0 stehen. Die Gleichung schaut dann so aus: a • x + b = c. Das c kann jede beliebige Zahl sein. Schauen wir uns an, wie du so eine Gleichung löst.

➡️ Beispiel: Wir haben zum Beispiel die Gleichung 4x – 12 = 8 gegeben. Die Zahl vor dem x ist hier 4 und die Zahl auf der rechten Seite ist 8. Jetzt gehst du genauso vor, wie bisher:

1. 4x isolieren:
Um x zu finden, entfernst du zuerst die – 12, indem du auf beiden Seiten + 12 rechnest:

4x – 12 = 8 | + 12

4x – 12 + 12 = 8 + 12

4x = 20

2. x berechnen:
Jetzt haben wir links noch 4x übrig. Wir müssen also durch 4 teilen, damit x alleine auf der Seite steht.

4x = 20 | : 4

4x : 4 = 20 : 4

x = 5

3. Lösung aufschreiben:
Die 4 vor dem x ist jetzt weg und wir können das Ergebnis in die Lösungsmenge schreiben.

→ $L = \{ 5 \}$

Gleichungen mit Klammern lösen

Bei Gleichungen mit Klammern gehst du genauso vor wie bisher. Es gibt nur eine Sache zu beachten: die Klammer musst du zuerst auflösen. Dafür benutzt du das Distributivgesetz. Das heißt, du multiplizierst die Zahl vor der Klammer mit jeder Zahl in der Klammer.

➡️ Beispiel: Schauen wir uns die Gleichung 2 • (x – 4) = 5x + 6 an:

1. Klammern auflösen:
Zuerst löst du die Klammer auf, indem du die 2 vor der Klammer jeweils mit x und mit – 4 in der Klammer multiplizierst:

2 • x – 2 • 4 = 5x + 6

2x – 8 = 5x + 6

2. x auf eine Seite bringen:
Jetzt bringst du alle Zahlen mit x auf die linke Seite und die Zahlen ohne x auf die rechte. Dafür rechnest du zuerst – 5x auf beiden Seiten, damit die 5x rechts verschwinden:

2x – 8 = 5x + 6 | – 5x

2x – 5x – 8 = 5x – 5x + 6

-3x – 8 = 6

Dann rechnest du + 8 auf beiden Seiten, damit links das -8 verschwindet:

-3x – 8 = 6 | + 8

-3x – 8 + 8 = 6 + 8

-3x = 14

3. x berechnen:
Jetzt haben wir links noch -3x übrig. Wir müssen also durch -3 teilen, damit x alleine auf der Seite steht.

-3x = 14 | : (-3)

-3x : (-3) = 14 : (-3)

$x = -\frac{14}{3}$

4. Lösung aufschreiben:
→ $L = \left\{ -\frac{14}{3} \right\}$

Tipp: Achte beim Auflösen der Klammern auf Vorzeichen. Ein Minus vor der Klammer ändert nämlich alle Vorzeichen in der Klammer. Zum Beispiel würde -2 • (x – 4) zu -2x +4.

Gleichungen mit Brüchen lösen

Bei Gleichungen mit Brüchen steht das x oft im Zähler oder im Nenner. Um sie zu lösen, musst du zuerst die Brüche loswerden. Dann kannst du genauso rechenen wie bisher.

Beispiel 1 — x im Zähler

Wir haben die Gleichung $\frac{1 - x}{5} = \frac{2x + 3}{4}$ gegeben. Jetzt müssen wir als erstes die Brüche entfernen.

1. Brüche auflösen:
Um Brüche aufzulösen, musst du mit dem Nenner multiplizieren. In unserem Beispiel multiplizierst du also beide Seiten mit den Nennern 5 und 4. So verschwinden die Brüche. Fangen wir mit dem ersten Bruch an. Hier multiplizieren wir mit 5.

$\frac{1 - x}{5} = \frac{2x + 3}{4}$ | • 5

$\frac{1 - x}{5} \cdot 5 = \frac{2x + 3}{4} \cdot 5$

Auf der linken Seite kannst du die 5 im Nenner des Bruchs und die andere 5 einfach wegstreichen. Sie lösen sich auf. Übrig bleibt dann die 1 – x.

$1 - x = \frac{2x + 3}{4} \cdot 5$

Auf der rechten Seite rechnest du noch (2x + 3) • 5. Hier löst du wie oben schon die Klammer auf. Der Nenner 4 bleibt wie er ist:

$1 - x = \frac{10x + 15}{4}$

Der erste Bruch ist jetzt weg. Lass uns nun den Bruch auf der rechten Seite auflösen. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit 4:

$1 - x = \frac{10x + 15}{4}$ | • 4

$(1 - x) \cdot 4 = \frac{10x + 15}{4} \cdot 4$

Da die ganze linke Seite mit 4 multipliziert wird, schreibst du 1 – x in Klammern. Auf der rechten Seite lösen sich die 4 im Nenner und die andere 4 gegenseitig auf. Du kannst sie einfach wegstreichen.

(1 – x) • 4 = 10x + 15

2. Klammer auflösen:
Die Klammern kannst du ebenfalls wie auflösen, indem du die 4 mit 1 und x multiplizierst:

4 – 4x = 10x + 15

3. x auf eine Seite bringen:
Bringe jetzt alle Zahlen mit x auf die linke Seite und die anderen Zahlen auf die rechte:

4 – 4x = 10x + 15 | – 10x

4 – 4x – 1x = 15 | -4

-4x – 10x = 15 – 4

-14x = 11

4. x berechnen:
Das x ist jetzt alleine auf der linken Seite. Du kannst also durch – 14 teilen:

-14x = 11 | : (-14)

$x = -\frac{11}{14}$

5. Lösung aufschreiben:
→ $L = \left\{ -\frac{11}{14} \right\}$

Beispiel 2 — x im Nenner

Jetzt wird es etwas kniffliger, denn in der folgenden Gleichung haben wir ein -x im Nenner: $\frac{7}{2 - x} = \frac{5}{3}$

1. Brüche auflösen:
Um den Bruch aufzulösen multiplizierst du wieder mit dem Nenner. Lass uns den ersten Bruch auflösen. Dafür musst du beide Seiten mit (2 – x) multiplizieren:

$\frac{7}{2 - x} = \frac{5}{3}$ | • (2 – x)

$\frac{7}{2 - x} \cdot (2 - x) = \frac{5}{3} \cdot (2 - x)$

$7 = \frac{5(2 - x)}{3}$

Löse jetzt den zweiten Bruch auf, indem du beide Seiten mit 3 multiplizierst:

$7 = \frac{5(2 - x)}{3}$ | • 3

$7 • 3 = \frac{5(2 - x)}{3} \cdot 3$

21 = 5(2 – x)

2. Klammer auflösen:
Die Klammern kannst du wie bisher auch auflösen, indem du die 5 mit 2 und x multiplizierst:

21 = 10 – 5x

3. x auf eine Seite bringen:
Bringe jetzt die Zahlen ohne x auf eine Seite, indem du -10 auf beiden Seiten rechnest:

21 = 10 – 5x | – 10

21 – 10 = 10 – 5x – 10

11 = -5x

4. x berechnen:
x ist jetzt alleine auf der rechten Seite. Du kannst also durch – 5 teilen:

11 = -5x | : (-5)

$-\frac{11}{5} = x$

Wichtig: Du kannst die Seiten neben dem = beliebig tauschen. Deshalb ist es kein Problem, dass das x hier rechts steht. $-\frac{11}{5}$ = x bedeutet dasselbe wie x = $-\frac{11}{5}$ .

5. Lösung:
→ $L = \left\{ -\frac{11}{5} \right\}$

Gleichungen mit Hochzahlen lösen

Bei Gleichungen mit Hochzahlen brauchst du neben Plus, Minus, Geteilt und Mal auch das Wurzel ziehen. Eine der häufigsten Gleichungen mit Hochzahlen sind Gleichungen zweiten Grades. Die erkennst du an der „hoch 2“, also x².

➡️ Beispiel: Wir haben die Gleichung 4 • (x²− 2) = 12 gegeben.

1. Klammer auflösen:
Löse zuerst wieder die Klammer auf.

4 • (x²− 2) = 12

4x²− 8 = 12

2. isolieren:
Bringe nun die Zahlen ohne x auf die rechte Seite, damit die 4x²links alleine stehen. Dafür rechnest du +8.

4x²− 8 = 12 | +8

4x² = 20

Nun teilst du durch 4, damit wir nur noch x²stehen haben.

4x² = 20 | : 4

x² = 5

3. Wurzel ziehen:
Um aus x² ein x zu machen, musst du daraus die Wurzel ziehen.

$\sqrt{x^2} = \sqrt{5}$

x = $\sqrt{5}$

4. Lösung aufschreiben:
Da du aus der 5 die Wurzel nicht ziehen kannst, schreibst du sie einfach als Ergebnis in die Lösungsmenge.

→ $L = \left\{ -\sqrt{5} \; ; \; \sqrt{5} \right\}$

Wichtig: Beim Wurzelziehengibt es immer zwei Lösungen — eine positive und eine negative Zahl. Daher haben wir zwei Ergebnisse: +√5 und -√5.

Quadratische Gleichungen lösen

Wenn die Gleichung so aussieht $a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$ hast du es mit einer quadratischen Gleichung zu tun. Die kannst du mit der Mitternachtsformel (ABC-Formel) auflösen. Sie funktioniert nur, wenn rechts vom Gleichheitszeichen eine Null steht. Falls dort eine andere Zahl steht, musst du sie zuerst durch Addition oder Subtraktion auf beiden Seiten so umformen, sodass auf der rechten Seite 0 steht.

Die Mitternachtsformel lautet:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Mit dem ± bekommst du gleich zwei Lösungen: Einmal mit Plus und einmal mit Minus.

➡️ Beispiel: Wir haben die Gleichung 2x^2 - 3x - 5 = 0 gegeben.

1. Einsetzen in die Formel:
Hier sind a = 2, b = -3, c = -5. Die kannst du einfach in die Formel einsetzen.

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2}$

2. Gleichung zusammenfassen:
Vereinfache die Gleichung so weit wie es geht. Rechne dafür die Rechnungen im Zähler und Nenner aus.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4}$

3. Gleichung nach x₁ und x₂ auflösen:
Du rechnest nun die Gleichung einmal mit Plus und einmal mit Minus im Zähler. So bekommst du x₁ und x₂.

$x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$

$x_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

6. Lösung aufschreiben:
→ $L = \{ -1; 2,5 \}$

Gleichungen mit höheren Hochzahlen lösen

Manche Gleichungen enthalten nicht nur x², sondern auch x³oder noch höhere Hochzahlen. Wenn die höchste Hochzahl x³ ist, nennst du das eine Gleichung dritten Grades. Schauen wir uns auch dazu ein Beispiel an:

➡️ Beispiel: Wir haben die Gleichung 3x³ = 192 gegeben.

1. Nach x auflösen:
Da x schon alleine auf einer Seite ist, können wir direkt durch 3 teilen:

3x³ = 192 | : 3

x³ = 64

2. Wurzel ziehen:
Jetzt können wir die Wurzel ziehen. Da wir aber eine Gleichung dritten Grades haben, müssen wir die dritte Wurzel ziehen. Das heißt, wir suchen, welche Zahl x dafür sorgt, dass x • x • x = 64 ergibt.

$\sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{64}$

x = 4 → denn 4 • 4 • 4= 64

3. Lösung:
→ $L = \{ 4 \}$

Ungleichungen lösen

Sehr gut — jetzt kannst du verschiedene Gleichungen lösen! Neben Gleichungen gibt es aber auch Ungleichungen. Wie du die lösen kannst, erfährst du in unserem Video dazu.

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