Woran erkenne ich, ob eine Gleichung wirklich eine Exponentialgleichung ist?

Eine Gleichung ist eine Exponentialgleichung, wenn die Variable mindestens einmal im Exponenten steht. Das erkennst du daran, dass x als Hochzahl vorkommt, nicht nur als Faktor oder in einer Potenz mit fester Hochzahl. Zum Beispiel ist 2x = 16 exponentiell, aber 2x² − x + 4 = 4 nicht.

Wann kann ich beim Lösen den Exponentenvergleich benutzen?

Den Exponentenvergleich kannst du benutzen, wenn beide Seiten dieselbe Basis haben oder du sie leicht auf dieselbe Basis umformen kannst. Dann müssen nur noch die Exponenten gleich sein. Zum Beispiel darfst du bei 7(3−x) = 7x direkt 3 − x = x setzen.

Wie gehe ich beim Logarithmieren Schritt für Schritt vor, wenn x im Exponenten steht?

Du logarithmierst beide Seiten und ziehst dann den Exponenten mit der Potenzregel nach vorne. Danach löst du die entstehende lineare Gleichung nach x auf. Bei 4(x−2) = 29 wird aus lg(4(x−2)) = lg(29) die Form (x−2) · lg(4) = lg(29).

Welchen Logarithmus nehme ich am besten, wenn ich eine Exponentialgleichung löse?

Am einfachsten nutzt du den Logarithmus zur Basis 10 (lg oder log) oder den natürlichen Logarithmus ln. Damit wird die Rechnung meist übersichtlich, besonders im Taschenrechner. Grundsätzlich darfst du aber jede Logarithmusbasis b verwenden, solange b ≠ 1 ist.

Wie löse ich eine Exponentialgleichung grafisch, wenn ich zwei Funktionen zeichnen kann?

Du formst die Gleichung so um, dass links und rechts als zwei Funktionen f(x) und g(x) dastehen, und zeichnest beide. Die Lösungen sind die x-Werte der Schnittpunkte im Koordinatensystem. Bei 4x + x² = 5 erhältst du 4x = −x² + 5 und liest näherungsweise x₁ = −2,2 und x₂ = 1 ab.

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Exponentialgleichungen lösen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Exponentialgleichungen lösen einfach erklärt

(00:15)

Lösen durch Exponentenvergleich

(02:20)

Du willst wissen, wie du eine Exponentialgleichung lösen kannst und welche Verfahren es gibt, um exponentielle Gleichungen nach dem Exponenten aufzulösen? Unser Beitrag beantwortet deine wichtigsten Fragen dazu!

Inhaltsübersicht

Exponentialgleichungen lösen einfach erklärt

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(00:15)

Eine Gleichung heißt Exponentialgleichung, wenn die Variable (z. B. x) mindestens einmal im Exponenten (Hochzahl) auftaucht. Du kannst die Gleichung dann zum Beispiel durch Logarithmieren, Exponentenvergleich oder durch die grafische Darstellung mit Funktionen lösen.

Schau dir direkt ein Beispiel an:

2^x= 16

nennst du eine reine Exponentialgleichung. Denn die Variable x steht nur im Exponenten. Bei so einer einfachen Gleichung kannst du die Lösung vielleicht sogar direkt erkennen. Du fragst dich einfach: 2 hoch was ergibt 16? Hier ist das x = 4.

Keine Exponentialgleichung ist dagegen 2x²– x + 4 = 4, da die Variable x nie im Exponenten, sondern nur als Basis vorkommt. Wir haben auch ein Video zu dem Thema für dich zusammengestellt. Schau es dir an, wenn du Exponentialgleichungen lösen lieber auf diese Weise lernen willst.

Exponentialgleichung nach Exponent auflösen

Aber wie kann man Exponentialgleichungen lösen? Dafür gibt es drei verschiedene Verfahren. Schau dir gleich an, wann sich welches Verfahren eignet.

Logarithmieren: Funktioniert immer, ist aber nicht unbedingt die leichteste Variante.
Exponentenvergleich: Eignet sich, wenn beide Seiten der Gleichung dieselbe Basis haben oder du sie leicht auf dieselbe Basis umformen kannst.
Grafisches Lösen: Manchmal lässt sich die Lösung auch als Schnittpunkt von Exponential- oder Potenzfunktionen im Koordinatensystem darstellen. Allerdings ist diese Methode eher ungenau.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Exponentialgleichungen lösen durch Logarithmieren

Du kannst eine Exponentialgleichung durch das Anwenden des Logarithmus lösen. Dafür musst du beide Seiten logarithmieren und danach die Logarithmusgesetze verwenden. Der Logarithmus zur Basis 10 erleichtert dir die Rechnung.

Das Lösen mit dem Logarithmus funktioniert immer. Dafür solltest du allerdings die Logarithmusgesetze beherrschen. Hier findest du nochmal die zwei wichtigsten Regeln:

Art	Formel	Beispiel
Produkt	$\log_b (\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{y}) = \log_b \textcolor{red}{x} + \log_b \textcolor{blue}{y}$	$\log_2(\textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{blue}{32}) = \log_2 \textcolor{red}{8} + \log_2 \textcolor{blue}{32} = 3 +5$
Potenz	$\log_b \textcolor{red}{x}^{\textcolor{blue}{n}}=\textcolor{blue}{n} \cdot \log_b \textcolor{red}{x}$	$\log_2 \textcolor{red}{4}^{\textcolor{blue}{3}}=\textcolor{blue}{3} \cdot \log_2 \textcolor{red}{4} = \textcolor{blue}{3} \cdot 2$

Nutze gleich den Logarithmus, um eine Aufgabe Schritt-für-Schritt zu lösen.

Beispiel: 4^{x – 2} = 29

Zuerst wendest du auf beiden Seiten den Logarithmus an. Prinzipiell kannst du dabei jede Basis b außer 1 verwenden. Am einfachsten ist es allerdings, wenn du den Logarithmus zur Basis 10 (lg oder log) oder den natürlichen Logarithmus (ln) verwendest. Wir verwenden hier den Logarithmus zur Basis 10.

$\begin{align*}4^{\textcolor{orange}{x}-2}&=29&& \quad |\, \text{Logarithmus zur Basis 10}\\ \text{lg}\,( 4^{\textcolor{orange}{x}-2})&=\text{lg}\, 29 && \quad | \,\text {Logarithmusgesetz: Potenz nach vorne ziehen}\\ (\textcolor{orange}{x}-2)\cdot\text{lg}\, 4&=\text{lg}\,29 && \quad |\,:\text{lg}\, 4 \\ \textcolor{orange}{x}-2 &= \frac{\text{lg}\,{29}}{\text{lg}\,{4}} && \quad |\,+2\\ \textcolor{orange}{x} &= \frac{\text{lg}\,{29}}{\text{lg}\,{4}}+2 \\ \textcolor{orange}{x}&\approx4,43 \end{align*}$

Das Ergebnis im letzten Schritt bekommst du, indem du alles in den Taschenrechner eingibst. So hast du die exponentielle Gleichung nach dem Exponenten x aufgelöst. Schau dir direkt noch ein Beispiel an. Hier musst du die Gleichung zunächst umformen.

Beispiel:

$\begin{align*}2\cdot3^{\textcolor{orange}{x}+1}&=18&&\quad |:2 \\ 3^{\textcolor{orange}{x}+1}&=9&&\quad |\, \text{Logarithmus zur Basis 10}\\ \text{lg}\,3^{\textcolor{orange}{x}+1}&=\text{lg}\,9 && \quad | \,\text {Logarithmusgesetz: Potenz nach vorne ziehen}\\ (\textcolor{orange}{x}+1)\cdot\text{lg}\,3&=\text{lg}\,9 && \quad |\,:\text{lg}\, 3 \\ \textcolor{orange}{x}+1&=\frac{\text{lg}\,{9}}{\text{lg}\,{3}} && \quad |\,-1\\ \textcolor{orange}{x}&=\frac{\text{lg}\,{9}}{\text{lg}\,{3}} -1\\ \textcolor{orange}{x}&=1\end{align*}$

Lösen durch Exponentenvergleich

im Videozur Stelle im Video springen

(02:20)

Eine Exponentialgleichung kannst du auch durch einen Vergleich der Exponenten lösen. Das geht aber nur, wenn beide Seiten der Gleichung die gleiche Basis haben oder du sie durch Äquivalenzumformungen auf dieselbe Basis bringen kannst.

Beispiel: 7 ^{3 – x} = 7 ^x

In diesem Beispiel sind die Basen auf der rechten und linken Seite bereits gleich. Deshalb kannst du direkt den Exponentenvergleich anwenden. Dazu setzt du einfach nur die Exponenten gleich.

3 – x = x

Bringe nun alle x auf die rechte Seite, indem du + x rechnest.

3 = 2x

Im letzten Schritt teilst du durch 2, um x zu erhalten. Dein gesuchtes x ist 1,5.

x = 1,5

Beispiel: 3 ^{x + 1} = 27

Auf der linken Seite hast du die Basis 3, auf der rechten Seite bisher noch nicht. Du kannst die 27 aber als 3 ³ schreiben. So bekommst du eine Gleichung, bei der beide Terme die 3 als gemeinsame Basis haben.

3 ^{x + 1} = 3 ³

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen jetzt nur noch die beiden Exponenten gleich sein. Also kannst du vereinfacht schreiben:

x + 1 = 3

Diese Gleichung lässt sich jetzt einfach lösen : x = 2 ist dein Ergebnis. Du kannst es ganz leicht überprüfen. Setze dazu x in die linke Seite der Gleichung und rechne das aus.

3 ^{2 + 1} = 3 ³ = 27

Heraus kommt 27. Das war genau die rechte Seite der Gleichung. Du hast den Exponenten also richtig aufgelöst!

Grafisches Lösen

Eine weitere Möglichkeit zum Exponentialgleichungen lösen ist die grafische Methode. Das funktioniert beispielsweise, wenn sich beide Seiten der Gleichung durch Umformen in Funktionen umwandeln lassen, die du leicht zeichnen kannst.

Beispiel: 4^x + x² = 5

Bringe zuerst x² auf die rechte Seite. Es ergibt sich die Gleichung 4^x = – x² + 5. Die Funktionen f (x) = 4^x und g (x) = – x² + 5 siehst du im Koordinatensystem eingezeichnet.

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Die Lösungen der Gleichungen sind nun die Schnittpunkte der beiden Funktionen f und g. Diese kannst du im Koordinatensystem direkt ablesen: x₁ = -2,2 und x₂ = 1. Die Exponentialgleichung 4^x + x² = 5 hat also die beiden Lösungen x₁ = -2,2 und x₂ = 1.

Bestimmt merkst du schon beim Ablesen, dass die Methode eher ungenau ist. Trotzdem prüfen wir unser Ergebnis, indem wir die x-Werte jeweils in die Gleichung einsetzen.

Probe für x₁: 4^-2,2 + (– 2,2)² ≈ 4,89
Probe für x₂: 4¹ + 1² = 5

Wegen der Ungenauigkeit der Methode kannst du nicht erwarten, dass exakt 5 herauskommt. 4,89 ist aber ziemlich nahe bei 5, sodass du davon ausgehend kannst, dass du die Exponentialgleichung näherungsweise richtig gelöst hast. Du siehst, dass du die Methode nur selten sinnvoll anwenden kannst.

Exponentialgleichungen lösen — häufigste Fragen

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Woran erkenne ich, ob eine Gleichung wirklich eine Exponentialgleichung ist?

Eine Gleichung ist eine Exponentialgleichung, wenn die Variable mindestens einmal im Exponenten steht. Das erkennst du daran, dass x als Hochzahl vorkommt, nicht nur als Faktor oder in einer Potenz mit fester Hochzahl. Zum Beispiel ist 2^x = 16 exponentiell, aber 2x² − x + 4 = 4 nicht.
Wann kann ich beim Lösen den Exponentenvergleich benutzen?

Den Exponentenvergleich kannst du benutzen, wenn beide Seiten dieselbe Basis haben oder du sie leicht auf dieselbe Basis umformen kannst. Dann müssen nur noch die Exponenten gleich sein. Zum Beispiel darfst du bei 7^(3−x) = 7^x direkt 3 − x = x setzen.
Wie gehe ich beim Logarithmieren Schritt für Schritt vor, wenn x im Exponenten steht?

Du logarithmierst beide Seiten und ziehst dann den Exponenten mit der Potenzregel nach vorne. Danach löst du die entstehende lineare Gleichung nach x auf. Bei 4^(x−2) = 29 wird aus lg(4^(x−2)) = lg(29) die Form (x−2) · lg(4) = lg(29).
Welchen Logarithmus nehme ich am besten, wenn ich eine Exponentialgleichung löse?

Am einfachsten nutzt du den Logarithmus zur Basis 10 (lg oder log) oder den natürlichen Logarithmus ln. Damit wird die Rechnung meist übersichtlich, besonders im Taschenrechner. Grundsätzlich darfst du aber jede Logarithmusbasis b verwenden, solange b ≠ 1 ist.
Wie löse ich eine Exponentialgleichung grafisch, wenn ich zwei Funktionen zeichnen kann?

Du formst die Gleichung so um, dass links und rechts als zwei Funktionen f(x) und g(x) dastehen, und zeichnest beide. Die Lösungen sind die x-Werte der Schnittpunkte im Koordinatensystem. Bei 4^x + x² = 5 erhältst du 4^x = −x² + 5 und liest näherungsweise x₁ = −2,2 und x₂ = 1 ab.

Substitution

Ein exaktes Verfahren ist dagegen die Substitution. Diese kannst du anwenden, wenn in der Exponentialgleichung nur eine Basis vorkommt, die aber möglicherweise unterschiedliche Exponenten haben kann. Wie die Substitution im Detail funktioniert, erfährst du in diesem Video.