Wie finde ich aus ein paar gegebenen Folgengliedern eine passende Bildungsvorschrift?

Eine passende Bildungsvorschrift findest du, indem du Differenzen und Quotienten der Folgenglieder systematisch prüfst. Sind die Differenzen konstant, passt oft , sind die Quotienten konstant, . Zum Beispiel: 3, 6, 12 hat Quotient 2.

Welche typischen Fehler passieren bei rekursiven Folgen, wenn ich das Anfangsglied falsch wähle oder die Indizes verwechsle?

Ein falsches Anfangsglied verschiebt die ganze Folge, obwohl die Rekursion „richtig“ aussieht. Außerdem führt ein Indexfehler oft zu falschen Sprüngen, etwa statt . Beispiel: Startest du mit statt , wird aus 2, 4, 6 die Folge 3, 5, 7.

Wie erkenne ich, ob eine Zahlenfolge arithmetisch oder geometrisch ist?

Du erkennst eine arithmetische Folge daran, dass die Differenz immer gleich ist. Eine geometrische Folge erkennst du daran, dass der Quotient konstant ist, wenn . Beispiel: 5, 8, 11 ist arithmetisch mit Differenz 3 und 2, 6, 18 ist geometrisch mit Quotient 3.

Wie mache ich aus einer rekursiven Bildungsvorschrift eine explizite Vorschrift, wenn die Folge ein klares Muster hat?

Du machst eine Rekursion explizit, indem du das wiederholte Rechnen „zusammenfasst“ und als Formel in schreibst. Bei entsteht , bei entsteht . Beispiel: , ergibt .

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Zahlenfolgen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Zahlenfolgen einfach erklärt

(00:13)

Zahlenfolgen und Bildungsvorschriften — Beispiele

(01:57)

Zahlenfolgen — Eigenschaften

(02:51)

Du bist beim Lernen über Zahlenfolgen gestolpert und willst dir nochmal anschauen, was das genau ist und wie du Zahlenfolgen aufschreibst? Dann bist du hier genau richtig! Im Beitrag und im Video findest du alles Wichtige.

Inhaltsübersicht

Zahlenfolgen einfach erklärt

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(00:13)

Eine Zahlenfolge ist eine Aneinanderreihung von Zahlen, die nach einem bestimmten Muster fortgeführt wird. Dabei ordnest du jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl zu:

(a_n) = 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; …

Die Folgenglieder a₁ = 2, a₂ = 4 und a₃ = 6 zeigen dir, dass du eine natürliche Zahl n immer mit 2 multiplizierst, um das n-te Folgenglied zu bekommen. Dieses Muster kannst du nun auch allgemein als Bildungsvorschrift darstellen:

a_n = 2 · n

Es gibt viele verschiedene Zahlenfolgen:

(a_n) = 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; …
(a_n) = 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; …
(a_n) = 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …

Zahlenfolge als Funktion

Da bei einer Zahlenfolge alle Folgenglieder einer natürlichen Zahl zugeordnet werden können, kannst du sie auch mit den Eigenschaften einer Funktion beschreiben. Als Definitionsbereich hat diese dann die Menge der natürlichen Zahlen und als Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen .

Zahlenfolgen — Bildungsvorschrift

Mit einer Bildungsvorschrift stellst du eine Zahlenfolge allgemein dar. So musst du nicht die ganze Zahlenfolge aufschreiben, sondern kannst einfach die Bildungsvorschrift zum Berechnen der Folgenglieder nennen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Möglichkeiten.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Explizite Bildungsvorschrift

Wenn du die Zahlenfolge ohne ein vorheriges Folgenglied allgemein darstellen kannst, dann sprichst du von einer expliziten Bildungsvorschrift:

a_n = 2 · n

Hier kannst du jedes Folgenglied bestimmen, ohne irgendein anderes Folgenglied zu kennen. Du setzt für n einfach eine natürliche Zahl ein, multiplizierst sie mit 2 und bekommst ein entsprechendes Folgenglied a_nraus. Setze zum Beispiel n = 1, n = 3 und n = 10 ein:

a₁ = 2 · 1 = 2
a₃ = 2 · 3 = 6
a₁₀ = 2 · 10 = 20

Rekursive Bildungsvorschrift

Wenn sich ein Folgenglied aus dem Folgenglied davor ergibt, dann ist das eine rekursive Bildungsvorschrift:

a_n = a_n-1 + 2

Hier addierst du auf das jeweilige vorherige Folgenglied a_n-1 die Zahl 2. Dafür muss ein Anfangsglied wie zum Beispiel a₁ = 3 gegeben sein, damit du a₂ berechnen kannst. Du addierst also 3 + 2 und bekommst so a₂ = 5 heraus:

a₂ = a_2-1 + 2 = 3 + 2 = 5

Das Gleiche machst du nun auch mit weiteren Folgengliedern, um die Zahlenfolge zu berechnen:

a₃ = a_3-1 + 2 = 5 + 2 = 7
a₄ = a_4-1 + 2 = 7 + 2 = 9

Zahlenfolgen und Bildungsvorschriften — Beispiele

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(01:57)

Damit du dir besser vorstellen kannst, was eine Zahlenfolge und ihre Bildungsvorschrift sind, schau dir die folgenden Beispiele an:

(a_n) = 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; …
Rekursive Bildungsvorschrift: a_n = a_n-1 + 2 ; a₁ = 2
(a_n) = 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …
Rekursive Bildungsvorschrift: a_n = 2 · a_n-1; a₁ = 1
(a_n) = 1 ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{4}$ ; …
Explizite Bildungsvorschrift: a_n = $\frac{1}{\textcolor{blue}{n}}$
(a_n) = 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; …
Rekursive Bildungsvorschrift: a_n = a_n-1+ a_n-2 ; a₁ = a₂ = 1
→ Das ist die sogenannte Fibonacci Folge
(a_n) = 1 ; -2 ; 3 ; -4 ; 5 ; -6 ; …
Explizite Bildungsvorschrift: a_n = (-1)ⁿ⁺¹ · n

Endliche und unendliche Zahlenfolgen

Es gibt endliche und unendliche Zahlenfolgen. Ordnest du nur eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen den reellen Zahlen zu, dann ist die Zahlenfolge endlich: {1 ; 2 ; 3 } → $\mathbb{R}$

Wenn du alle natürlichen Zahlen den reellen Zahlen zuordnest, dann ist die Zahlenfolge unendlich: $\mathbb{N}$ → $\mathbb{R}$

Zahlenfolgen — Eigenschaften

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(02:51)

Eine Zahlenfolge kann verschiedene Eigenschaften aufweisen:

Monoton fallend: Werden alle Folgenglieder ohne Ausnahme immer kleiner oder bleiben gleich, dann ist die Zahlenfolge monoton fallend (a_n+1 ≤ a_n)
→ Beispiel: (a_n) = 5 – n · 2
Monoton wachsend: Werden alle Folgenglieder ohne Ausnahme immer größer oder bleiben gleich, dann ist die Zahlenfolge monoton wachsend (a_n+1 ≥ a_n)
→ Beispiel: (a_n) = n²

Du kannst eine Zahlenfolge als streng monoton wachsend (a_n+1 > a_n) oder fallend (a_n+1 < a_n) bezeichnen, wenn die Folgenglieder immer größer bzw. immer kleiner werden, aber nie gleich bleiben.
Nach unten beschränkt: Eine Zahlenfolge ist nach unten beschränkt, wenn die Folgenglieder nie kleiner als ein bestimmter Wert t werden. Dann wird die Zahlenfolge durch den Wert t nach unten beschränkt (a_n ≥ t)
→ Beispiel: (a_n) = n² durch t = 1 nach unten beschränkt

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Zahlenfolge nach unten beschränkt
Nach oben beschränkt: Eine Zahlenfolge ist nach oben beschränkt, wenn die Folgenglieder nie größer als ein bestimmter Wert s werden. Dann wird die Zahlenfolge durch den Wert s nach oben beschränkt (a_n ≤ s)
→ Beispiel: (a_n) = 5 – n · 2 durch s = 3 nach oben beschränkt

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Zahlenfolge nach oben beschränkt
Eine Zahlenfolge kannst du als beschränkt bezeichnen, wenn sie sowohl durch einen Wert t nach unten als auch durch einen Wert s nach oben beschränkt wird (t ≤ a_n ≤ s).
Alternierend: Hat bei einer Zahlenfolge jedes Folgenglied ein anderes Vorzeichen als das vorherige Zahlenglied, dann ist die Zahlenfolge alternierend (a_n+1 · a_n < 0).
→ Beispiel: (a_n) = (-2)ⁿ
Konstant: Wenn jedes Folgenglied gleich ist, dann ist die Zahlenfolge konstant (a_n+1 = a_n)
→ Beispiel: (a_n) = a_n-1; a₁ = 1

Zahlenfolgen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie finde ich aus ein paar gegebenen Folgengliedern eine passende Bildungsvorschrift?

Eine passende Bildungsvorschrift findest du, indem du Differenzen und Quotienten der Folgenglieder systematisch prüfst. Sind die Differenzen konstant, passt oft $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$ , sind die Quotienten konstant, $a_n = a_1\cdot q^{n-1}$ . Zum Beispiel: 3, 6, 12 hat Quotient 2.
Welche typischen Fehler passieren bei rekursiven Folgen, wenn ich das Anfangsglied falsch wähle oder die Indizes verwechsle?

Ein falsches Anfangsglied verschiebt die ganze Folge, obwohl die Rekursion „richtig“ aussieht. Außerdem führt ein Indexfehler oft zu falschen Sprüngen, etwa $a_n = a_{n-1}+2$ statt $a_{n+1} = a_n+2$ . Beispiel: Startest du mit statt , wird aus 2, 4, 6 die Folge 3, 5, 7.
Wie erkenne ich, ob eine Zahlenfolge arithmetisch oder geometrisch ist?

Du erkennst eine arithmetische Folge daran, dass die Differenz $a_{n+1}-a_n$ immer gleich ist. Eine geometrische Folge erkennst du daran, dass der Quotient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ konstant ist, wenn $a_n \neq 0$ . Beispiel: 5, 8, 11 ist arithmetisch mit Differenz 3 und 2, 6, 18 ist geometrisch mit Quotient 3.
Wie mache ich aus einer rekursiven Bildungsvorschrift eine explizite Vorschrift, wenn die Folge ein klares Muster hat?

Du machst eine Rekursion explizit, indem du das wiederholte Rechnen „zusammenfasst“ und als Formel in schreibst. Bei $a_n = a_{n-1}+d$ entsteht $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$ , bei $a_n = q\cdot a_{n-1}$ entsteht $a_n = a_1\cdot q^{n-1}$ . Beispiel: , $a_n=a_{n-1}+3$ ergibt .

Fibonacci Folge

Super! Du weißt jetzt, was eine Zahlenfolge ist und wie du sie bildest. Die Fibonacci Folge ist eine besondere Zahlenfolge. Willst du mehr über sie wissen, dann schau direkt im Video vorbei!