Was sind Grenzwertsätze, und wofür brauche ich sie bei Folgen und Funktionen?

Grenzwertsätze sind Rechenregeln, mit denen du Grenzwerte von Folgen und Funktionen umformen darfst. Du brauchst sie, um komplizierte Grenzwert-Ausdrücke in einfachere Teile zu zerlegen und deren Grenzwerte getrennt zu berechnen. So kommst du oft schnell zu einem Ergebnis.

Wann darf ich bei einem Grenzwert einfach die Summenregel oder Produktregel benutzen?

Du darfst Summenregel oder Produktregel nur anwenden, wenn die Grenzwerte der einzelnen Teile existieren und endlich sind. Das ist genau die Voraussetzung, damit die Umformung mit dem Gleichheitszeichen wirklich stimmt. Wenn ein Teilgrenzwert nicht existiert oder unendlich ist, ist die Anwendung nicht erlaubt.

Welche Bedingung muss beim Quotienten gelten, damit ich den Grenzwertsatz anwenden darf?

Beim Quotienten musst du sicherstellen, dass der Grenzwert des Nenners nicht 0 ist. Konkret gilt die Quotientenregel nur, falls , also beziehungsweise mit . Dann darfst du Grenzwerte im Zähler und Nenner getrennt bilden.

Warum taucht in den Beweisen ständig die Dreiecksungleichung auf?

Die Dreiecksungleichung taucht ständig auf, weil sie Beträge von Summen abschätzen kann. So wird aus einem komplizierten Betrag wie eine Summe einfacher Beträge. Dadurch kannst du die Fehlerterme getrennt klein machen und am Ende zeigen, dass der Gesamtfehler kleiner als wird.

Wie zeigt man im Beweis zur Produktregel, dass |bₙ| irgendwann durch |b|+1 nach oben beschränkt ist?

Du nutzt die Konvergenz von und wählst ein mit für alle . Dann folgt mit der Dreiecksungleichung . Damit ist schließlich durch beschränkt.

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Grenzwertsätze

Wichtige Inhalte in diesem Video

Grenzwertsätze einfach erklärt

(00:14)

Grenzwerte berechnen Beispiel

(01:30)

Du willst wissen, was die Grenzwertsätze sind und wozu du sie verwenden kannst? Dann bist du hier genau richtig. In diesem Beitrag und im Video zeigen wir dir alles Wichtige.

Inhaltsübersicht

Grenzwertsätze einfach erklärt

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(00:14)

Die Grenzwertsätze sind Rechenregeln für die Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen . Mit ihnen kannst du komplizierte Terme vereinfachen und die Grenzwerte schnell berechnen. Zum Beispiel ist damit der Grenzwert von Folgen wie $\frac{n^3+4n+1}{3n^3+n^2}$ gar kein Problem mehr!

Grenzwertsätze für Folgen

Du hast zwei konvergente Folgen (a_n) und (b_n) mit $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a}$ und $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n} = \textcolor{orange}{b}$ . Dabei ist $\textcolor{blue}{a},\textcolor{orange}{b}\in(-\infty,\infty)$ . Dann gilt:

$\begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{a_n}+\textcolor{orange}{b_n}) & = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n} + \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n}&(1) \\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{orange}{b_n}) & = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n} - \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n}&(2)\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{a_n}\cdot \textcolor{orange}{b_n}) &=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n} \cdot \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n}&(3)\\ $Falls $ \textcolor{orange}{b}\neq 0: \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\textcolor{blue}{a_n}}{\textcolor{orange}{b_n}} &=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{b_n}}&(4)\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\textcolor{blue}{a_n}| &=|\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{a_n}|&(5) \end{align*}$

Grenzwerte berechnen Beispiel

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(01:30)

Mithilfe der Grenzwertsätze lassen sich vermeintlich komplizierte Grenzwerte ganz einfach berechnen. Hier einige Beispiele:

An den mit * markierten Stellen wenden wir einen Grenzwertsatz an.

$\begin{align*} &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{5+3n}{n} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{\frac{5}{n}}+\textcolor{orange}{3}) =^* \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{\frac{5}{n}} + \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \textcolor{orange}{3} = 0 + 3 = 3\\ &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2-10n}{n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\textcolor{blue}{1}-\textcolor{orange}{\frac{10}{n}}) =^* \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \textcolor{blue}{1} - \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \textcolor{orange}{\frac{10}{n}} = 1-0=1\\ &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\textcolor{blue}{3-\sqrt[n]{7}}}{\textcolor{orange}{1+\frac{5}{n}}} =^* \frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{3-\sqrt[n]{7}}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{1+\frac{5}{n}}} =^* \frac{\textcolor{blue}{3}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{\sqrt[n]{7}}}{\textcolor{orange}{1}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{\frac{5}{n}}} = \frac{3-1}{1+0}=2\\ &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3+4n+1}{3n^3+n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\cancel{n^3}\textcolor{blue}{(1+\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3})}}{\cancel{n^3}\textcolor{orange}{(3+\frac{1}{n})}}=^*\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{1}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{\frac{4}{n^2}}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{blue}{\frac{1}{n^3}}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{3}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\textcolor{orange}{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{3} \end{align*}$

Achtung: Bei den markierten mit * Gleichheitszeichen musst du aufpassen. Nur wenn alle Grenzwerte auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen existieren (also kleiner als unendlich sind), darfst du die Sätze auch wirklich anwenden.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Grenzwertsätze Beweis

Damit du die Grenzwertsätze nicht einfach blind glauben musst, findest du hier alle Beweise der Grenzwertsätze:

Beweis von (1)

Da (a_n) und (b_n) konvergieren, wissen wir, dass für alle $\varepsilon>0\in \mathbb{R}$ zwei Zahlen $n_1,n_2\in \mathbb{N}$ existieren, für die gilt $|\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}|<\frac{\varepsilon}{2}$ für alle n>n_1 und $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\frac{\varepsilon}{2}$ für alle n>n_2 .

Sei $n_0>\max\{n_1,n_2\}$ , dann gilt für alle n>n_0 nach der Dreiecksungleichung :

$|\textcolor{blue}{a_n}+\textcolor{orange}{b_n}-(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{orange}{b})|&=|(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a})+(\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b})|\leq|(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a})|+|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

Damit haben wir gezeigt, dass $(\textcolor{blue}{a_n}+\textcolor{orange}{b_n})$ gegen a+b konvergiert.

Beweis von (2)

Folgt aus (1) und (3), denn $(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{orange}{b_n})=(\textcolor{blue}{a_n}+(-1)\cdot \textcolor{orange}{b_n})$ .

Beweis von (3)

Da $\textcolor{orange}{b_n}$ konvergent ist, wissen wir, dass es ein n_1 gibt mit $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<1$ für alle n>n_1 . Daraus folgt mit der Dreiecksungleichung $|\textcolor{orange}{b_n}|=|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}+\textcolor{orange}{b}|\leq|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|+|\textcolor{orange}{b}|<1+|\textcolor{orange}{b}|$ .

Wähle ein beliebiges $\varepsilon>0\in\mathbb{R}$ und n_0>n_1 so, dass $|\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}| < \frac{\varepsilon}{2(|\textcolor{orange}{b}|+1)}$ und $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\frac{\varepsilon}{2|\textcolor{blue}{a}|}$ für alle n>n_0 .

Wir müssen zeigen, dass $|\textcolor{blue}{a_n}\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b}|<\varepsilon$ für alle n>n_0 . Dafür formen wir den Term zunächst um:

$|\textcolor{blue}{a_n}\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b}| = |\textcolor{blue}{a_n}\textcolor{orange}{b_n} - \textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b_n} + \textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b_n} - \textcolor{blue}{a}\textcolor{orange}{b}| = |\textcolor{orange}{b_n}(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}) + \textcolor{blue}{a}(\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b})|$

Jetzt kommt wieder die Dreiecksungleichung ins Spiel, mit der wir folgende Abschätzung erhalten:

$\begin{align*} |\textcolor{orange}{b_n}(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}) + \textcolor{blue}{a}(\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b})| &\leq |\textcolor{orange}{b_n}(\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a})| + |\textcolor{blue}{a}(\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b})| = |\textcolor{orange}{b_n}||\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}|+|\textcolor{blue}{a}||\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|\\ &<(|\textcolor{orange}{b}|+1)\frac{\varepsilon}{2(|\textcolor{orange}{b}|+1)} +|\textcolor{blue}{a}|\frac{\varepsilon}{ 2|\textcolor{blue}{a}|}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{align*}$

Beweis von (4)

Wir zeigen hier nur noch, dass $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\textcolor{orange}{b_n}}=\frac{1}{\textcolor{orange}{b}}$ (Alles Weitere folgt direkt aus (3), denn $\frac{\textcolor{blue}{a_n}}{\textcolor{orange}{b_n}}=\textcolor{blue}{a_n}\cdot\frac{1}{\textcolor{orange}{b_n}}$ ).

Dazu betrachten wir den Term $|\frac{1}{\textcolor{orange}{b_n}}-\frac{1}{\textcolor{orange}{b}}|=|\frac{b-\textcolor{orange}{b_n}}{\textcolor{orange}{b_n}b}|$ . Wählen wir n_1 so, dass $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\frac{|\textcolor{orange}{b}|}{2}$ $\forall n>n_1$ . Aus der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt dann:

$|\textcolor{orange}{b_n}|=|\textcolor{orange}{b}-(\textcolor{orange}{b}-\textcolor{orange}{b_n})|\geq||\textcolor{orange}{b}|-|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}||\geq |\textcolor{orange}{b}|-|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|>|\textcolor{orange}{b}|-\frac{|\textcolor{orange}{b}|}{2}=\frac{|\textcolor{orange}{b}|}{2}$

Jetzt können wir für ein beliebiges $\varepsilon>0\in\mathbb{R}$ , n_0>n_1 so wählen, dass $|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|<\varepsilon\cdot\frac{2}{\textcolor{orange}{b}^2}$ für alle n>n_0 . Dann folgt:

$|\frac{\textcolor{orange}{b}-\textcolor{orange}{b_n}}{\textcolor{orange}{b_n}\textcolor{orange}{b}}|=\frac{|\textcolor{orange}{b_n}-\textcolor{orange}{b}|}{|\textcolor{orange}{b_n}||\textcolor{orange}{b}|}<\frac{\varepsilon\cdot\frac{2}{\textcolor{orange}{b}^2}}{|\frac{\textcolor{orange}{b}}{2}|\cdot|\textcolor{orange}{b}|}=\varepsilon$

Beweis von (5)

Das ist ein direktes Ergebnis der umgekehrten Dreiecksungleichung, denn $||\textcolor{blue}{a_n}|-|\textcolor{blue}{a}||\leq|\textcolor{blue}{a_n}-\textcolor{blue}{a}|$ .

Grenzwertsätze für Funktionen

Auch für die Grenzwerte von Funktionen lassen sich Grenzwertsätze definieren.

Grenzwertsätze für Funktionen

Sei $x_0\in(-\infty,\infty)\cup \{-\infty, \infty\}$ , und betrachte zwei Funktionen und mit $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a$ und $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=b$ . Dabei ist $a,b\in(-\infty,\infty)$ . Dann gilt:

$\begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x)+g(x)) & = \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) + \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)&(1) \\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x)-g(x)) & = \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) - \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)&(2)\\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x)\cdot g(x)) &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) \cdot \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)&(3)\\ $Falls $ b\neq 0: \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} &=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)}&(4)\\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}|f(x)| &=|\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)|&(5) \end{align*}$

Grenzwertsätze — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was sind Grenzwertsätze, und wofür brauche ich sie bei Folgen und Funktionen?

Grenzwertsätze sind Rechenregeln, mit denen du Grenzwerte von Folgen und Funktionen umformen darfst. Du brauchst sie, um komplizierte Grenzwert-Ausdrücke in einfachere Teile zu zerlegen und deren Grenzwerte getrennt zu berechnen. So kommst du oft schnell zu einem Ergebnis.
Wann darf ich bei einem Grenzwert einfach die Summenregel oder Produktregel benutzen?

Du darfst Summenregel oder Produktregel nur anwenden, wenn die Grenzwerte der einzelnen Teile existieren und endlich sind. Das ist genau die Voraussetzung, damit die Umformung mit dem Gleichheitszeichen wirklich stimmt. Wenn ein Teilgrenzwert nicht existiert oder unendlich ist, ist die Anwendung nicht erlaubt.
Welche Bedingung muss beim Quotienten gelten, damit ich den Grenzwertsatz anwenden darf?

Beim Quotienten musst du sicherstellen, dass der Grenzwert des Nenners nicht 0 ist. Konkret gilt die Quotientenregel nur, falls $b \neq 0$ , also $\lim b_n=b$ beziehungsweise $\lim g(x)=b$ mit $b \neq 0$ . Dann darfst du Grenzwerte im Zähler und Nenner getrennt bilden.
Warum taucht in den Beweisen ständig die Dreiecksungleichung auf?

Die Dreiecksungleichung taucht ständig auf, weil sie Beträge von Summen abschätzen kann. So wird aus einem komplizierten Betrag wie eine Summe einfacher Beträge. Dadurch kannst du die Fehlerterme getrennt klein machen und am Ende zeigen, dass der Gesamtfehler kleiner als $\varepsilon$ wird.
Wie zeigt man im Beweis zur Produktregel, dass |bₙ| irgendwann durch |b|+1 nach oben beschränkt ist?

Du nutzt die Konvergenz von und wählst ein mit für alle . Dann folgt mit der Dreiecksungleichung $|b_n|=|b_n-b+b|\leq|b_n-b|+|b|<1+|b|$ . Damit ist schließlich durch beschränkt.

Dreiecksungleichung

Du weißt jetzt, was die Grenzwertsätze sind und wie man mit ihnen rechnen kann. Aber bei den Beweisen bist du immer wieder über die Dreiecksungleichung gestolpert und fühlst dich damit noch nicht ganz fit? Dann schau dir hier unser Video dazu an.