Wie erkenne ich schnell, ob eine Gerade die Ebene schneidet?

Du erkennst schnell, ob eine Gerade eine Ebene schneidet, indem du prüfst, ob die Gerade zur Ebene parallel ist. Rechne dazu das Skalarprodukt aus Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene: bedeutet Schnitt, also Abstand 0. Beispiel: und liefern , also kein Schnitt.

Warum darf ich den Abstand nur berechnen, wenn Gerade und Ebene parallel sind?

Den Abstand zwischen Gerade und Ebene berechnest du nur im Parallelfall, weil der Abstand als kürzeste Entfernung sonst automatisch 0 ist. Schneidet die Gerade die Ebene, gibt es einen gemeinsamen Punkt, und die minimale Entfernung ist genau dort 0. Deshalb ist nur bei Parallelität ein positiver Abstand möglich.

Welche Fehler passieren oft bei der Hesseschen Normalform beim Abstand?

Häufige Fehler bei der Hesseschen Normalform sind ein nicht normierter Normalenvektor, ein fehlender Betrag im Zähler und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt. Beispiel: Wird ohne Betrag gerechnet, kann ein negativer „Abstand“ entstehen; korrekt ist .

Wie mache ich aus der Ebenengleichung die Normalform für die Hessesche Normalform?

Aus der Ebenengleichung in Koordinatenform erhältst du die Normalform für die Hessesche Normalform, indem du den Normalenvektor verwendest und durch seine Länge teilst. Dann gilt für den Abstand eines Punktes : .

Wie prüfe ich sicher, ob eine Gerade in einer Ebene liegt?

Sicher liegt eine Gerade in einer Ebene, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: Der Richtungsvektor der Geraden ist zur Ebene parallel () und ein Punkt der Geraden erfüllt die Ebenengleichung. Beispiel: Für und gilt und der Punkt erfüllt , also liegt in .

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Abstand Gerade Ebene

Wichtige Inhalte in diesem Video

Abstand Gerade Ebene einfach erklärt

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Abstand Gerade Ebene berechnen

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Du fragst dich, wie du den Abstand von Gerade und Ebene berechnen kannst? Hier und in unsere Video erfährst du alles Wichtige dazu.

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Abstand Gerade Ebene einfach erklärt

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(00:12)

Der Abstand von zwei Objekten im Raum ist immer die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Deshalb kann der Abstand zwischen Gerade und Ebene drei Fälle haben:

Fall 1: Gerade g und Ebene E schneiden sich = der Abstand ist 0
Fall 2: Gerade g und Ebene E sind parallel, aber g liegt in E = der Abstand ist 0
Fall 3: Gerade g und Ebene E sind parallel, aber g liegt nicht in E = Abstand ist nicht 0

Den Abstand zwischen Gerade und Ebene kannst du nur berechnen, wenn beide Parallel zueinander sind :

abstand ebene gerade, abstand gerade ebene, abstand zwischen gerade und ebene, gerade ebene abstand — Ebene E und Gerade g sind parallel

Du berechnest dabei den Abstand zwischen der Ebene E zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden g. Das machst du mit der Hesseschen Normalform .

Berechnung: Schritt für Schritt

Zur Berechnung sind eine Ebene E in Normalform und eine Gerade g gegeben:

E: 4x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 4
g = $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

Zur Berechnung des Abstands wählst du jetzt einen beliebigen Punkt auf der Geraden aus. Dazu eignet sich meistens der Stützpunkt der Geraden. Hier ist es P (2 | 3 | 5), den du jetzt in die Formel einsetzt:

Hessesche Normalform:

d(g; E) = d(P; E)= $\frac{\mid 4\cdot 2 + 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 5 - 4\mid }{\sqrt{4^2+4^2+(-2)^2}} = \frac{6}{6} = 1$

➔ Die Gerade hat also von der Ebene den Abstand 1

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Abstand Gerade Ebene berechnen

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(01:46)

Beispiel 1:

Es sind wieder eine Ebene G und die Gerade k gegeben:

k = $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$
G: x₃ = 0
Untersuche vor der Berechnung die Parallelität der Ebene und der Geraden. Dazu multiplizierst du den Richtungsvektor der Geraden mit dem Normalenvektor der Ebene

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ · $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ = 0 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 = 0 ✅
Zuletzt rechnest du mithilfe der Hesseschen Normalform den Abstand aus. Dazu wählst du einen beliebigen Punkt auf der Geraden und setzt ihn in die Formel ein. Hier eignet sich der Stützpunkt der Geraden P (5 | 3 | 4).

d(k; G) = d(P; G) = $\frac{\left| 0 \cdot 5 + 0\cdot 3 + 1\cdot 4 - 0\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{1}$ = 4

➔ Der Abstand von der Gerade k zu der Ebene G ist also 4.

Beispiel 2:

Es sind eine Ebene F und eine Gerade h gegeben. Die Ebene ist hier aber zuerst in Parameterform angegeben.

h: $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$
F: $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ + s · $\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)$
Forme sie also zuerst in die Koordinatenform um:
- Normalenvektor $\vec{n}$ = $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)$ x $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c} -4 \\ 32 \\ -20 \end{array}\right)$
- Also lautet der Ansatz für die Koordinatenform: F = -4x₁ + 32x₂ -20x₃ = d
- Um d zu berechnen, setzt du noch den Stützpunkt P (0 | 0 | 0) in die Ebene ein:
  
  (-4) · 0 + 32 · 0 +(-20) · 0 = 0
Jetzt kannst du die Parallelität der Ebene und der Geraden untersuchen:

$\left(\begin{array}{c} -4 \\ 32 \\ -20 \end{array}\right)$ · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ = (-4) · 2 + 32 · 4 + (-20) · 6 = -8 + 128 -120 = 0 ✅
Zuletzt bestimmst du den Abstand zu einem beliebigen Punkt, beispielsweise

P (1 | 2 | 3)
d(g; E) = d(P; E) = $\frac{\left|(-4) \cdot 1 + 32 \cdot 2 + (-20) \cdot 3 -0\right|}{\sqrt{(-4)^2+32^2+(-20)^2}}=\frac{0}{1440}$ = 0

➔ Aus dem Ergebnis d = 0 kannst du schließen, dass die Gerade h in der Ebene F liegt.

Das Wichtigste

Achte darauf, dass du vor der Berechnung die Gerade in Parameterform und die Ebene in Koordinatenform vorliegen hast.
Untersuche zuerst, ob die Ebene und die Gerade wirklich parallel zueinander sind. Wenn das nicht der Fall ist, schneiden sich die Beiden an einem Punkt und der Abstand ist automatisch 0.
Zuletzt berechnest du den Abstand von einem Punkt auf der Geraden zu der Ebene. Dazu brauchst du die Hessesche Normalform.

Übrigens: Alternativ kannst du den Abstand auch mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen. Mehr dazu erfährst du hier !

Abstand Gerade Ebene — häufigste Fragen

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Wie erkenne ich schnell, ob eine Gerade die Ebene schneidet?

Du erkennst schnell, ob eine Gerade eine Ebene schneidet, indem du prüfst, ob die Gerade zur Ebene parallel ist. Rechne dazu das Skalarprodukt aus Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden und Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene: $\vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0$ bedeutet Schnitt, also Abstand 0. Beispiel: $\vec{v}=(1,0,0)$ und $\vec{n}=(0,1,0)$ liefern $\vec{v}\cdot\vec{n}=0$ , also kein Schnitt.
Warum darf ich den Abstand nur berechnen, wenn Gerade und Ebene parallel sind?

Den Abstand zwischen Gerade und Ebene berechnest du nur im Parallelfall, weil der Abstand als kürzeste Entfernung sonst automatisch 0 ist. Schneidet die Gerade die Ebene, gibt es einen gemeinsamen Punkt, und die minimale Entfernung ist genau dort 0. Deshalb ist nur bei Parallelität ein positiver Abstand möglich.
Welche Fehler passieren oft bei der Hesseschen Normalform beim Abstand?

Häufige Fehler bei der Hesseschen Normalform sind ein nicht normierter Normalenvektor, ein fehlender Betrag im Zähler und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt. Beispiel: Wird $\frac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-d}{\|\vec{n}\|}$ ohne Betrag gerechnet, kann ein negativer „Abstand“ entstehen; korrekt ist $\frac{|n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-d|}{\|\vec{n}\|}$ .
Wie mache ich aus der Ebenengleichung die Normalform für die Hessesche Normalform?

Aus der Ebenengleichung in Koordinatenform erhältst du die Normalform für die Hessesche Normalform, indem du den Normalenvektor $\vec{n}=(a,b,c)$ verwendest und durch seine Länge teilst. Dann gilt für den Abstand eines Punktes : $\frac{|ax+by+cz-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .
Wie prüfe ich sicher, ob eine Gerade in einer Ebene liegt?

Sicher liegt eine Gerade in einer Ebene, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: Der Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden ist zur Ebene parallel ( $\vec{v}\cdot\vec{n}=0$ ) und ein Punkt der Geraden erfüllt die Ebenengleichung. Beispiel: Für und gilt $\vec{v}\cdot\vec{n}=(1,-1,0)\cdot(1,1,1)=0$ und der Punkt erfüllt , also liegt in .

Abstand Gerade Gerade

Prima! Du kannst den Abstand zwischen Ebene und Gerade berechnen! Willst du jetzt auch noch den Abstand zwischen Gerade und Gerade berechnen können? Schau dazu gleich in unser Video rein!