Wie erkenne ich, ob ich Radius oder Durchmesser einsetzen muss?

Du erkennst es daran, welche Strecke gegeben ist: Der Radius geht vom Mittelpunkt bis zum Rand, der Durchmesser geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand. Für die Fläche gilt oder . Beispiel: Ist cm, dann ist cm.

Welche Fehler passieren oft beim Quadrieren vom Radius?

Häufige Fehler beim Quadrieren sind: den Radius nicht zu quadrieren (statt nur einsetzen) oder den Durchmesser fälschlich als Radius quadrieren. Beispiel: Bei cm ist cm, richtig ist , nicht .

Wie runde ich mit π richtig, ohne große Abweichungen?

Du rundest mit am sichersten, indem du erst am Ende der Rechnung rundest und vorher mit der -Taste rechnest. Wenn du als 3,14 einsetzt, wird das Ergebnis ungenauer, besonders bei großen Radien. Runde dann erst das Endergebnis auf die geforderte Stelle.

Was muss ich bei den Einheiten der Kreisfläche beachten?

Bei der Kreisfläche müssen die Einheiten quadratisch sein, weil eine Fläche berechnet wird. Wenn der Radius in cm gegeben ist, steht das Ergebnis in , bei Metern in . Wichtig: Beim Quadrieren wird auch die Einheit quadriert, aus cm wird also .

Wie prüfe ich schnell, ob mein Ergebnis zur Kreisfläche passen kann?

Du prüfst schnell, ob die Kreisfläche plausibel ist, indem du grob mit überschlägst und die Größenordnung vergleichst. Beispiel: Bei cm ist , also muss etwa sein; 30 oder 3000 wäre verdächtig.

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Kreisfläche

Wichtige Inhalte in diesem Video

Kreisfläche einfach erklärt

(00:12)

Kreisfläche — Formel und Beispiele

(01:35)

Du willst wissen, was eine Kreisfläche ist und wie du sie berechnen kannst? Dann schau in den Beitrag und in das Video rein!

Inhaltsübersicht

Kreisfläche einfach erklärt

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(00:12)

Die Kreisfläche ist die innere Fläche von einem Kreis. Du kennst sie vielleicht auch als Flächeninhalt des Kreises. Die Kreisfläche wird von der Kreislinie eingegrenzt. Um sie zu berechnen, brauchst du den Radius oder den Durchmesser.

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Wenn du mit dem Zirkel einen Kreis zeichnest, setzt du mit der Spitze beim Mittelpunkt M an. Mit der Bleistiftseite stellst du den Abstand ein, den der Mittelpunkt zum Kreisrand haben soll. Dieser Abstand ist der Radius r. Da du mit dem Zirkel nun einen Kreis um den Mittelpunkt M ziehst, hat dieser überall den gleichen Abstand.

Den Durchmesser d zeichnest du ein, indem du von einem Punkt auf dem Kreisrand bis zu einem gegenüberliegenden Punkt eine Linie durch den Mittelpunkt ziehst. Der Durchmesser halbiert also den Kreis und ist genau doppelt so lang wie der Radius r.

Was dir jetzt zur Berechnung der Kreisfläche noch fehlt, ist die Kreiszahl π. Das ist eine bestimmte Zahl, für die der Taschenrechner eine eigene Taste hat. Dadurch musst du die Zahl nicht selbst eingeben. Gerundet ist π etwa 3,14.

Kreisfläche — Formel und Beispiele

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(01:35)

Jetzt kennst du alle Bestandteile, die du zur Berechnung der Kreisfläche A brauchst. Schau dir die entsprechenden Formeln nun einmal genauer an:

A = π · r²

$\textcolor{cyan}{A} = \frac{\pi\cdot\textcolor{red}{d}^{2}}{4}$

Je nachdem, ob du den Radius r oder den Durchmesser d gegeben hast, nimmst du eine der beiden Formeln.

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Beispiel 1: Radius r = 4 cm

Wenn du den Radius mit r = 4 cm gegeben hast, dann setzt du ihn in die erste Formel ein und berechnest so den Flächeninhalt A.

A = π · r²

A = π · 4² = π · 16

A = 50,27 cm²

Expertenwissen

Wenn du schon den Radius r berechnet hast, dann kannst du auch r · 2 rechnen, um den Durchmesser d zu bestimmen. Das Gleiche gilt, wenn du den Durchmesser d berechnet hast. Dann kannst du d : 2 rechnen, um den Radius r zu bestimmen. Der Grund dafür ist, dass der Radius immer die Hälfte des Durchmessers ist.

d = r · 2 und r = d : 2

Beispiel 2: Durchmesser d = 3 m

Wenn du den Durchmesser mit d = 3 m gegeben hast, dann setzt du ihn in die zweite Formel ein und berechnest den Flächeninhalt A.

$\textcolor{cyan}{A} = \frac{\pi\cdot\textcolor{red}{d}^{2}}{4}$

$\textcolor{cyan}{A} = \frac{\pi\cdot\textcolor{red}{3}^{2}}{4} = \frac{\pi\cdot\textcolor{red}{9}}{4}$

A = 7,07 m²

Beispiel 3: Flächeninhalt A gegeben

Du kannst aber mit den Formeln auch den Durchmesser d oder Radius r berechnen, wenn du den Flächeninhalt A = 15 mm² gegeben hast.

Radius r berechnen:

1. Schritt: Erste Formel umstellen

A = π · r² | : π

$\frac{\textcolor{cyan}{A}}{\pi} = \textcolor{orange}{r}^{2} ~ | ~ \text{Wurzel ziehen}$

$\sqrt{\frac{\textcolor{cyan}{A}}{\pi}} = \textcolor{orange}{r}$

2. Schritt: Flächeninhalt A in die umgestellte Formel einsetzen

$\sqrt{\frac{\textcolor{cyan}{15}}{\pi}} = \textcolor{orange}{r} = 2,19~ mm$

Durchmesser d berechnen:

1. Schritt: Zweite Formel umstellen

$\textcolor{cyan}{A} = \frac{\pi\cdot\textcolor{red}{d}^{2}}{4} ~ | \cdot4$

$\textcolor{cyan}{A}\cdot4 = \pi\cdot\textcolor{red}{d}^{2} ~ | :\pi$

$\frac{\textcolor{cyan}{A}\cdot4}{\pi} =\textcolor{red}{d}^{2}~ | ~ \text{Wurzel ziehen}$

$\sqrt{\frac{\textcolor{cyan}{A}\cdot4}{\pi}} =\textcolor{red}{d}$

2. Schritt: Flächeninhalt A in die umgestellte Formel einsetzen

$\sqrt{\frac{\textcolor{cyan}{15}\cdot4}{\pi}} =\textcolor{red}{d} = 4,37~ mm$

Fortgeschrittenes Beispiel: Kreis im Kreis

Du kannst auch eine Kreisfläche berechnen, wenn du einen Kreisausschnitt im Kreis hast. Das nennst du auch Kreisring. Der große Kreis hat einen Radius von r₁ = 5 cm und der kleine Kreis hat einen Radius von r₂ = 2 cm. Du berechnest nun den Flächeninhalt A des Kreisrings, indem du die Fläche des kleinen Kreises von der Fläche des großen Kreises abziehst.

1. Schritt: Flächeninhalt A₁ des größeren Kreises berechnen

A₁ = π · r²

A₁ = π · 5² = 78,54 cm²

2. Schritt: Flächeninhalt A₂ des kleineren Kreises berechnen

A₂ = π · r²

A₂ = π · 2² = 12,57 cm²

3. Schritt: Flächeninhalt A₂ von Flächeninhalt A₁ abziehen

A = A₁ – A₂= 78,54 cm² – 12,57 cm²= 65,97 cm²

Der gesuchte Flächeninhalt A ist 65,97 cm² groß.

Kreisfläche — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob ich Radius oder Durchmesser einsetzen muss?

Du erkennst es daran, welche Strecke gegeben ist: Der Radius geht vom Mittelpunkt bis zum Rand, der Durchmesser geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand. Für die Fläche gilt $A=\pi r^2$ oder $A=\frac{\pi d^2}{4}$ . Beispiel: Ist cm, dann ist cm.
Welche Fehler passieren oft beim Quadrieren vom Radius?

Häufige Fehler beim Quadrieren sind: den Radius nicht zu quadrieren (statt nur einsetzen) oder den Durchmesser fälschlich als Radius quadrieren. Beispiel: Bei cm ist cm, richtig ist $r^2=16\,\text{cm}^2$ , nicht $8^2=64\,\text{cm}^2$ .
Wie runde ich mit π richtig, ohne große Abweichungen?

Du rundest mit $\pi$ am sichersten, indem du erst am Ende der Rechnung rundest und vorher mit der $\pi$ -Taste rechnest. Wenn du $\pi$ als 3,14 einsetzt, wird das Ergebnis ungenauer, besonders bei großen Radien. Runde dann erst das Endergebnis auf die geforderte Stelle.
Was muss ich bei den Einheiten der Kreisfläche beachten?

Bei der Kreisfläche müssen die Einheiten quadratisch sein, weil eine Fläche berechnet wird. Wenn der Radius in cm gegeben ist, steht das Ergebnis in $\text{cm}^2$ , bei Metern in $\text{m}^2$ . Wichtig: Beim Quadrieren wird auch die Einheit quadriert, aus cm wird also $\text{cm}^2$ .
Wie prüfe ich schnell, ob mein Ergebnis zur Kreisfläche passen kann?

Du prüfst schnell, ob die Kreisfläche plausibel ist, indem du grob mit $\pi \approx 3$ überschlägst und die Größenordnung vergleichst. Beispiel: Bei cm ist $r^2=100\,\text{cm}^2$ , also muss etwa $3\cdot100=300\,\text{cm}^2$ sein; 30 oder 3000 wäre verdächtig.

Umfang Kreis

Super! Jetzt weißt du, was eine Kreisfläche ist und wie du sie berechnest. Du möchtest jetzt auch noch den Umfang von einem Kreis berechnen? Dann schau in unserem Video vorbei!