Winkelsumme
Du willst wissen, wie man die Winkelsumme eines Dreiecks oder eines beliebigen Vielecks ausrechnen kann? Hier erklären wir dir, wie du vorgehen kannst und was du dabei beachten musst.
Inhaltsübersicht
Winkelsumme einfach erklärt
Die Winkelsumme einer Figur bestimmst du, indem du alle ihre Innenwinkel zusammenrechnest. Deshalb sagst du manchmal auch Innenwinkelsumme.
Wenn du zum Beispiel ein Dreieck mit den Innenwinkeln α = 45°, β = 75° und γ = 60° hast, rechnest du
α + β + γ = 45° + 75° + 60° = 180°
Die Winkelsumme ist also 180°. Probierst du das bei einem anderen Dreieck, wirst du wieder 180° herausbekommen. Das ist kein Zufall. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist immer 180°.
Wenn du jetzt die Winkelsumme eines Vierecks, Fünfecks oder einer anderen Figur berechnen willst, musst du sie zuerst in Dreiecke zerteilen. Dann kannst du die Winkelsummen der einzelnen Dreiecke zusammenrechnen. Wie genau das funktioniert, zeigen wir dir in unserem Video !
Winkelsumme bei Dreiecken
Ein Dreieck hat drei Ecken, also auch drei Innenwinkel. Die Winkel nennst du α, β und γ.
Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck ist immer 180°. Wenn du also α + β + γ rechnest, erhältst du 180°
Es sind deshalb 180°, weil die drei Winkel α, β und γ zusammen einen halben Kreis ergeben. Also halbierst du die 360° eines Kreises und erhältst so die Innenwinkelsumme des Dreiecks: 360° : 2 = 180°
Den Halbkreis bildest du, indem du α links neben γ zeichnest und β rechts davon. Das kannst du deshalb so machen, weil die Winkel jeweils Wechselwinkel sind. Wenn du mehr über Wechselwinkel erfahren willst, schau dir das Video dazu an.
Übrigens: Es gibt nicht nur Innenwinkel, sondern auch noch Außenwinkel. Der Außenwinkel ist der Winkel, durch den beide Winkel zusammen 180° ergeben. Wenn der Innenwinkel α gleich 35° ist, berechnest du den Außenwinkel also so: α′ = 180° – α = 180° – 35° = 145°
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Winkelsumme bei Vierecken
Ein Viereck hat vier Ecken. Dadurch hast du auch einen Winkel mehr. Wenn du nun die Winkelsumme eines Vierecks ausrechnen willst, musst du alle vier Winkel zusammenrechnen.
Hast du zum Beispiel ein Viereck mit den Innenwinkeln α = 82°, β = 76°, γ = 90° und δ = 112°, rechnest du
w = α + β + γ + δ = 82° + 76° + 90° + 112° = 360°
Bei einem Viereck ist die Innenwinkelsumme also 360°. Um zu herauszufinden, wieso das so ist, zerteilst du das Viereck in zwei Dreiecke.
Die Winkelsummen der beiden Dreiecke kannst du dann zusammenrechnen und erhältst die Winkelsumme des Vierecks:
wViereck = wDreieck + wDreieck
wViereck = 2 • wDreieck = 2 • 180° = 360°
Winkelsumme bei Fünfecken
Die Methode funktioniert auch bei Fünfecken. Auch das kannst du in Dreiecke zerteilen. Da das Fünfeck aber eine Ecke mehr als das Viereck, bekommst du auch ein Dreieck mehr. Hier sind es also drei Dreiecke.
Das bedeutet, du kannst die Innenwinkelsumme des Fünfecks so berechnen: Du multiplizierst die Winkelsumme des Dreiecks mit 3, weil das Fünfeck in drei Dreiecke zerteilt ist.
wFünfeck = 3 • wDreieck = 3 • 180° = 540°
Winkelsumme bei Sechsecken
Ein Sechseck kannst du in vier Dreiecke zerteilen. Wieder eins mehr als bei den Fünfecken. Sie haben jeweils eine Innenwinkelsumme von 180°.
Die Winkelsumme eines Sechseckes kannst du dann so ausrechnen:
wSechseck = 4 • wSechseck = 4 • 180° = 720°
Winkelsumme bei beliebigen eckigen Figuren
Die Tabelle zeigt dir die Berechnungen der verschiedenen Winkelsummen nochmal übersichtlich:
| Anzahl der Ecken | Anzahl der Dreiecke | Berechnung | |
| Dreieck | 3 | 1 | 1 • 180° = 180° |
| Viereck | 4 | 2 | 2 • 180° = 360° |
| Fünfeck | 5 | 3 | 3 • 180° = 540° |
| Sechseck | 6 | 4 | 4 • 180° = 720° |
| Allgemein | n | n – 2 | (n – 2) • 180° |
Die Anzahl der Dreiecke ist immer um 2 geringer als die Anzahl der Ecken. Um die Winkelsumme zu berechnen, multiplizierst du also immer die 180° mit der Anzahl der Dreiecke n – 2. Daraus ergibt sich dann folgende allgemeine Formel:
wn = (n – 2) • 180°
Versuche das ganze einmal mit einem Achteck.
Der Name sagt dir, dass die Anzahl der Ecken n = 8 ist. Das kannst du dann in die Formel für die Winkelsumme einsetzen:
wn = (n – 2) • 180° = (8 – 2) • 180° = 6 • 180° = 1080°
Die Innenwinkelsumme eines Achtecks beträgt also 1080°.
Winkelsumme — häufigste Fragen
(ausklappen)
Winkelsumme — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was bedeutet Winkelsumme bei einer geometrischen Figur?Die Winkelsumme einer geometrischen Figur bedeutet, dass du alle Innenwinkel der Figur zusammenzählst. Deshalb heißt sie auch Innenwinkelsumme. Konkret: Bei einem Dreieck addierst du die drei Innenwinkel, zum Beispiel
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Warum ist die Winkelsumme in jedem Dreieck immer 180 Grad?Die Winkelsumme ist in jedem Dreieck immer 180°, weil die drei Innenwinkel zusammen einen halben Kreis ergeben. Ein ganzer Kreis hat 360°, und die Hälfte davon ist 180°. Konkret gilt deshalb für jedes Dreieck:
.
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Wie zerteile ich ein Vieleck in Dreiecke?Ein Vieleck zerteilst du in Dreiecke, indem du es in mehrere Dreiecke aufteilst und danach die Winkelsummen dieser Dreiecke zusammenrechnest. Konkret entsteht beim Viereck eine Zerlegung in zwei Dreiecke, beim Fünfeck in drei Dreiecke und beim Sechseck in vier Dreiecke.
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Wie finde ich bei einem Vieleck die Anzahl der Dreiecke?Die Anzahl der Dreiecke in einem Vieleck mit
Ecken ist immer 
. Das liegt daran, dass die Dreiecksanzahl stets um 2 kleiner ist als die Eckenzahl. Beispiel: Ein Fünfeck hat 
und damit 
Dreiecke.
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Wie berechne ich die Winkelsumme bei einem Vieleck mit n Ecken?Die Winkelsumme eines Vielecks mit Ecken berechnest du mit
. Der Faktor 
ist die Anzahl der Dreiecke, in die du das Vieleck zerlegen kannst. Beispiel: Für ein Achteck gilt 
.
Winkelarten und Winkeltypen
Prima, jetzt kennst du dich mit Winkelsummen aus. Du willst mehr über Winkel erfahren? Dann schau dir hier das Video zu Winkelarten und Winkeltypen an.
