Kathetensatz
Der Kathetensatz gehört zu den wichtigsten Sätzen in der Geometrie des rechtwinkligen Dreiecks. Hier erfährst du, was dahintersteckt und wie du ihn Schritt für Schritt anwendest.
Inhaltsübersicht
Wofür brauche ich den Kathetensatz?
Der Kathetensatz hilft dir, die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Das sind die beiden Seiten, die direkt am rechten Winkel liegen. Die längste Seite gegenüber vom rechten Winkel heißt Hypotenuse.
Stell dir vor, du ziehst vom rechten Winkel eine senkrechte Linie zur Hypotenuse. Diese Linie heißt Höhe. Sie teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte: Der eine Abschnitt p liegt an der Kathete a, der andere Abschnitt q an der Kathete b.
Daraus kannst du den Kathetensatz bilden:
- Für die Kathete a gilt: a² = p ⋅ c
- Für die Kathete b gilt: b² = q ⋅ c
Wörtlich heißt das: Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt aus dem zugehörigen Abschnitt der Hypotenuse und der ganzen Hypotenuse.
So verwendest du den Kathetensatz
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von c = 6 cm. Der Abschnitt p, der an der Kathete a liegt, ist p = 2,5 cm lang. Gesucht sind die Längen der beiden Katheten a und b.
Schritt 1: Kathete a berechnen
Für die Kathete a nutzt du die Formel:
a² = p ⋅ c
Setze die Werte ein:
a² = 2,5 ⋅ 6 = 15
Ziehe die Wurzel:
a = √15 ≈ 3,87 cm
Schritt 2: Abschnitt q berechnen
Damit du die zweite Kathete berechnen kannst, brauchst du noch den Abschnitt q.
Der ergibt sich aus der Differenz von c und p:
q = 6 − 2,5 = 3,5
Schritt 3: Kathete b berechnen
Jetzt nutzt du die zweite Formel:
b² = q ⋅ c
Setze die Werte ein:
b² = 3,5 ⋅ 6 = 21
Ziehe die Wurzel:
b = √21 ≈ 4,58 cm
Ergebnis:
a = 3,87 cm
b = 4,58 cm
Zusatzwissen: So beweist du den Kathetensatz
Den Kathetensatz kannst du mit dem Satz des Pythagoras beweisen. Wir machen das Schritt für Schritt — am Beispiel der Kathete b.
Schritt 1: Kleines Teildreieck betrachten
Die Höhe teilt das große Dreieck in zwei kleinere, ebenfalls rechtwinklige Dreiecke. Schau dir das Teildreieck an, in dem b die Hypotenuse ist. Die beiden Katheten in diesem Dreieck sind h und q.
Gut zu wissen: Den Satz des Pythagoras könntest du in jedem der Dreiecke anwenden, weil sie alle rechtwinklig sind.
Schritt 2: Satz des Pythagoras anwenden
Im Teildreieck mit Hypotenuse b gilt:
h² + q² = b²
Schritt 3: Ziel — nur mit c und q rechnen
Jetzt wollen wir eine Gleichung finden, in der nur c und q vorkommen. Dafür musst du h² durch etwas ersetzen, das mit c zusammenhängt.
Schritt 4: h² durch eine Formel mit c ersetzen
Die Höhe h steht senkrecht auf der Hypotenuse und teilt sie in die Abschnitte p und q. Außerdem gilt:
h² = p ⋅ q
(Diese Beziehung ergibt sich aus dem Höhensatz.)
Setze das jetzt in die Gleichung aus Schritt 2 ein:
b² = h² + q² = p ⋅ q + q²
Schritt 5: q ausklammern
Jetzt kannst du die rechte Seite vereinfachen:
b² = q ⋅ (p + q)
Da p + q = c (weil p und q zusammen die ganze Hypotenuse c ergeben), bekommst du:
b² = q ⋅ c
Das ist der Kathetensatz für b. Für a geht es genauso — dort rechnest du mit p statt mit q.
Höhensatz
Neben dem Kathetensatz gibt es noch den Höhensatz. Er beschreibt den Zusammenhang zwischen der Höhe im rechtwinkligen Dreieck und den beiden Abschnitten p und q der Hypotenuse.
Seine Formel lautet: h² = p ⋅ q. Wie du den Höhensatz aufstellst und in Aufgaben sicher anwendest, zeigen wir dir ausführlich in unserem Video.
