Was ist der Satz von Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras beschreibt den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks: a² + b² = c². Dabei sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse. Die Summe der Quadrate der beiden Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).

Wie wendet man den Satz des Pythagoras an?

Um den Satz des Pythagoras anzuwenden, verwende die Formel a² + b² = c². Für ein rechtwinkliges Dreieck, gegeben a = 4 cm und b = 3 cm, ergibt sich c = 5 cm.

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Satz des Pythagoras

Name: Satz des Pythagoras
Uploaded: 2025-06-24T12:50:20Z
Duration: 3 min 22 s
Description: Satz des Pythagoras

Wie funktioniert der Satz des Pythagoras und wofür brauchst du ihn überhaupt? Hier und im Video erfährst du es!

Inhaltsübersicht

Was ist der Satz des Pythagoras?

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Längen der Seiten in rechtwinkligen Dreiecken berechnen. Er lautet:

a² + b² = c²

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Achtung: Du kannst den Satz des Pythagoras wirklich nur bei rechtwinkligen Dreiecken benutzen. Das sind Dreiecke, die einen 90°-Winkel haben.

Wichtige Begriffe beim Satz des Pythagoras

Wenn du mit Satz des Pythagoras arbeitest, solltest du die Fachbegriffe Kathete und Hypotenuse kennen:

Katheten sind die beiden kurzen Seiten a und b im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegen direkt am rechten Winkel und bilden ihn gemeinsam.
Die Hypotenuse ist längste Seite c in dem Dreieck. Sie liegt gegenüber von dem rechten Winkel.

Das sagt der Satz des Pythagoras aus

Der Satz des Pythagoras a² + b² = c² zeigt dir, wie du die Länge einer Seite in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst, wenn du die anderen beiden Seiten kennst. Du kannst mit ihm also

die Hypotenuse c berechnen, wenn du die beiden Katheten a und b kennst,
oder eine Kathete a oder b berechnen, wenn du die Hypotenuse c und die andere Kathete kennst.

Das funktioniert, weil der Satz eine feste Beziehung zwischen den drei Seiten beschreibt:

Stell dir vor, du legst an jede Seite des rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat an. Die Quadrate haben dann die Seitenlängen a, b und c.

Wenn du jetzt die Fläche der Quadrate berechnest, musst du jeweils die Seitenlängen mit sich selbst malnehmen. Du rechnest also für das Quadrat an der ersten Kathete a • a = a². Für die anderen beiden Quadrate bekommst du den Flächeninhalt b² und c².

Der Satz des Pythagoras sagt dir dann, dass die Flächeninhalte a² und b² der beiden kleinen Quadrate an den Katheten zusammen genauso groß sind, wie der Flächeninhalt c² des großen Quadrates an der Hypotenuse. Also:

a²+ b²= c²

Satz des Pythagoras an einem Beispiel

Ein Dreieck hat zwei Seiten: a = 4 cm und b = 3 cm. Du sollst herausfinden, wie lang die dritte Seite c ist.

So gehst du Schritt für Schritt vor:

Schritt 1: Prüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist
Rechtwinklige Dreiecke erkennst du an einem rechten Winkel. Der wird meistens wie in dem Bild durch einen Bogen mit einem Punkt darin gekennzeichnet. Du kannst hier den Satz des Pythagoras also anwenden.
Schritt 2: Formel notieren
Schreibe dir die Formel a² + b² = c² einmal auf.
Schritt 3: Werte einsetzen
Jetzt kannst du die bekannten Werte für a und b einsetzen.

(4 cm)² + (3 cm)² = c²
Schritt 4: Gleichung lösen
Löse als Erstes die Klammern auf. Danach ziehst du die Wurzel und kannst so c berechnen.
$\begin{align*} (\textcolor{red}{4cm})^2+(\textcolor{blue}{3cm})^2&=\textcolor{olive}{c}^2 &&\\ \textcolor{red}{16cm^2} +\textcolor{blue}{9cm^2}&=\textcolor{olive}{c}^2&&\\ 25cm^2&=\textcolor{olive}{c}^2&&\mid \sqrt{~}\\ \sqrt{25cm^2}&=\textcolor{olive}{c}&&\\ 5cm &=\textcolor{olive}{c}&& \end{align*}$

Tipp: Rechne zuerst alles unter der Wurzel aus — erst alles addieren und dann die Wurzel ziehen.
Schritt 5: Lösung aufschreiben
Die Hypotenuse c ist 5 cm lang.

Satz des Pythagoras nach Kathete umstellen

Manchmal ist nicht die Länge c gefragt, sondern die Länge der Katheten a oder b. In diesen Fällen musst du den Satz des Pythagoras nach a oder b umstellen.

Satz des Pythagoras nach a umstellen

Du stellst die Formel vom Satz des Pythagoras nach a um, indem du zuerst minus b Quadrat rechnest, damit a alleine steht. Dann kannst du die Wurzel auf beiden Seiten ziehen.

$\begin{align*} \textcolor{red}{a}^2+\textcolor{blue}{b}^2&=\textcolor{olive}{c}^2 && | - b^2 \\ \textcolor{red}{a}^2 &= \textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{blue}{b}^2 && | \sqrt{...} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{blue}{b}^2} \end{align*}$

Beispiel: Ein Dreieck hat die Seitenlängen b = 12 cm und c = 13 cm. Wie lang ist die Seitenlänge a?

Setze die Werte in deine neue Formel ein:

$\begin{align*} \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{blue}{b}^2} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{(13\text{cm})}^2 - \textcolor{blue}{(12\text{cm})}^2} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{169\text{cm}}^2 - \textcolor{blue}{144\text{cm}}^2} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{25 \text{cm}^2} \\ \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{5 \text{cm}} \end{align*}$

Satz des Pythagoras nach b umstellen

Genauso kannst du mit dem Pythagoras die Länge der Kathete b bestimmen. Rechne zuerst minus a Quadrat, um b alleine auf der linken Seite zu haben. Dann kannst du erneut die Wurzel auf beiden Seiten ziehen.

$\begin{align*} \textcolor{red}{a}^2+\textcolor{blue}{b}^2&=\textcolor{olive}{c}^2 && | - a^2 \\ \textcolor{blue}{b}^2 &= \textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{red}{a}^2 && | \sqrt{...} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{red}{a}^2} \end{align*}$

Beispiel: Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 6 cm und c = 10 cm. Wie lang ist die Seitenlänge b?

Setze ein:

$\begin{align*} \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{red}{a}^2} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{olive}{(10 \text{cm})}^2 - \textcolor{red}{(6\text{cm})}^2} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{olive}{100 \text{cm}}^2 - \textcolor{red}{36\text{cm}}^2} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{64 \text{cm}^2} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{8 \text{cm}} \end{align*}$

Der Satz des Pythagoras im Alltag

Stell dir vor, ein Maler möchte eine Leiter an eine Hauswand lehnen. Die Wand ist 5 Meter hoch und die Leiter soll 2 Meter vom Fuß der Wand entfernt auf dem Boden stehen. Wie lang muss die Leiter mindestens sein?

Rechnen wir das Ganze mal durch:

Schritt 1: Situation prüfen
Der Boden und die Hauswand stehen senkrecht aufeinander — es gibt also einen rechten Winkel. Damit kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.
Schritt 2: Die Seiten benennen
Die Entfernung von der Wand bis zur Leiter auf dem Boden ist eine Kathete: a = 2 m
Die Höhe der Wand ist die zweite Kathete: b = 5 m
Die gesuchte Länge der Leiter ist also die Hypotenuse: c
Schritt 3: Formel aufschreiben a² + b² = c²
Schritt 4: Werte einsetzen und berechnen

$\begin{align*} (\textcolor{red}{2m})^2+(\textcolor{blue}{5m})^2&=\textcolor{olive}{c}^2 &&\\ \textcolor{red}{4m^2} +\textcolor{blue}{25m^2}&=\textcolor{olive}{c}^2&&\\ 29cm^2&=\textcolor{olive}{c}^2&&\mid \sqrt{~}\\ \sqrt{29cm^2}&=\textcolor{olive}{c}&&\\ 5,39m &\approx\textcolor{olive}{c}&& \end{align*}$
Schritt 5: Lösung notieren
Die Leiter muss mindestens 5,39 Meter lang sein, damit sie in diesem Abstand sicher an die Wand gelehnt werden kann.

Warum das praktisch ist

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du Längen berechnen, die du nicht direkt messen kannst — zum Beispiel, wenn etwas schräg verläuft.
So lassen sich im Alltag viele Situationen einfacher lösen: beim Bau, bei Sportanlagen, beim Aufstellen von Zelten oder beim Planen einer Rutsche.

Satz des Pythagoras — häufigste Fragen

Was ist der Satz von Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras beschreibt den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks: a² + b² = c². Dabei sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse. Die Summe der Quadrate der beiden Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).
Wie wendet man den Satz des Pythagoras an?

Um den Satz des Pythagoras anzuwenden, verwende die Formel a² + b² = c². Für ein rechtwinkliges Dreieck, gegeben a = 4 cm und b = 3 cm, ergibt sich c = 5 cm.

Satz des Pythagoras Aufgaben

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du fehlende Seitenlängen in einem Dreieck nun einfach bestimmen. In einem extra Video haben wir viele verschiedene Aufgaben zum Satz des Pythagoras zusammengestellt. Schau es dir gleich an!

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