In diesem Beitrag und im Video erfährst du, was ein gleichschenkliges Dreieck ist und wie du dessen Höhe und Flächeninhalt berechnest.
Inhaltsübersicht
Gleichschenkliges Dreieck: Definition
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten s — die Schenkel. Die dritte Seite ist die Basis b. Die beiden gleichgroßen Winkel an der Basis nennst du Basiswinkel α. Der Punkt gegenüber der Basis heißt Spitze. Die Höhe h verläuft senkrecht von der Basis zur Spitze.
Das bedeutet im Umkehrschluss: Sind zwei Winkel eines Dreiecks gleich groß, handelt es sich ganz sicher um ein gleichschenkliges Dreieck.
Gleichschenkliges Dreieck: Eigenschaften
Gleichschenklige Dreiecke haben einige besondere Eigenschaften, die dir bei wichtigen Berechnungen helfen können:
Innenwinkel
- Die beiden Basiswinkel α sind immer gleich groß.
- Die Basiswinkel α sind immer < 90°, also spitzwinklig.
- Die Summe der Innenwinkel ist auch beim gleichschenkligen Dreieck immer 180°.
Symmetrie
- Die Höhe h ist die Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks.
- Das gleichschenklige Dreieck ist also achsensymmetrisch: Du kannst es in zwei deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke teilen.
Sondergeraden
Im gleichschenkligen Dreieck fallen fünf Linien in einer einzigen Geraden zusammen:
- h: Höhe der Basis zur Spitze
- ws: Winkelhalbierende des Spitzenwinkels
- sb: Seitenhalbierende der Basis
- mb: Mittelsenkrechte der Basis
- SA: Symmetrieachse des Dreiecks
Das bedeutet: Sobald du eine dieser Linien einzeichnest, erhältst du automatisch alle fünf.
Besonderheiten der Schenkel
Außerdem sind sowohl die Mittelsenkrechten der Schenkel ms als auch die Seitenhalbierenden der Schenkel ss jeweils gleich lang:
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Höhe berechnen mit b und s
Wenn du b und s kennst, kannst du eine einfache Formel verwenden, um h zu berechnen:
![\[\textcolor{red}h = \sqrt{\textcolor{blue}s^2 - \left(\frac{\textcolor{orange}b}{2}\right)^2}\]](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-152f6a85314a6eacd695e57d9850bbdb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
➡️ Beispiel: b = 8 cm, s = 5 cm
![\[\textcolor{red}h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}\]](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5e6262b89bdfd416e5875e5c6a879d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Plausibilitätskontrolle: Die Höhe muss immer kleiner als der Schenkel sein. Im Beispiel gilt h = 3 cm < s = 5 cm — das passt.
Übrigens: Die Formel lässt sich aus dem Satz des Pythagoras ableiten. Den kannst du hier anwenden, weil h das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt:
![\[\textcolor{blue}s^2 = \textcolor{red}h^2 + \left(\frac{\textcolor{orange}b}{2}\right)^2\]](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3d94659e1ab24dc1828cd0968034e74_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Höhe berechnen mit b und α
Diesen Lösungsweg benutzt du, wenn du statt der Schenkellänge s den Basiswinkel α kennst.
![\[\textcolor{red}h = \frac{\textcolor{orange}b}{2} \cdot \tan(\alpha)\]](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5c6898ff6044aff0d9316025a5d0c67_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wichtig: Stelle deinen Taschenrechner auf Gradmodus, bevor du mit tan(α) rechnest.
➡️ Beispiel: b = 10 cm, α = 55°
Falls du anschließend auch die Schenkellänge s bestimmen musst, nutze 
.
Flächeninhalt im gleichschenkligen Dreieck
Den Flächeninhalt A berechnest du mit der Standardformel:
So gehst du vor:
- Falls h nicht gegeben ist, musst du das zuerst berechnen — entweder aus b und s oder aus b und α.
- Setze b und h in die Flächenformel ein.
- Prüfe das Ergebnis: A muss positiv sein und die Einheit muss in Quadrat stehen.
➡️ Beispiel: b = 8 cm, h = 3 cm
Wichtig: Achte auf die Einheiten. Sind b und h in Zentimetern angegeben, ist A in cm². Ist eine Angabe in Metern und die andere in Zentimetern, rechne vorher um.
Übungen zum gleichschenkligen Dreieck
Teste jetzt, ob du die beiden Standardfälle sicher beherrschst. Fertige für jede Aufgabe zuerst eine kurze Skizze an.
Aufgabe 1: Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basislänge b = 12 cm und die Schenkellänge s = 10 cm. Berechne die Höhe h und den Flächeninhalt A.
Lösungen:
| Schritt | Rechnung |
| b und s in Formel für h einsetzen | h = √(10² – 6²) |
| Höhe berechnen | h = √(100 – 36) = √64 = 8 cm |
| Plausibilitätskontrolle | h = 8 cm < s = 10 cm |
| Werte in Flächenformel einsetzen | A = 1/2 · 12 cm · 8 cm |
| Flächeninhalt berechnen | A = 48 cm² |
Aufgabe 2: Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basislänge b = 6 cm und den Basiswinkel α = 65°. Berechne die Höhe h und den Flächeninhalt A.
Lösungen:
| Schritt | Rechnung |
| b und α in Formel für h einsetzen | h = 3 · tan(65°) |
| Taschenrechner (Gradmodus) | tan(65°) ≈ 2,145 |
| Höhe berechnen | h ≈ 3 · 2,145 = 6,43 cm |
| Werte in Flächenformel einsetzen | A = 1/2 · 6 cm · 6,43 cm |
| Flächeninhalt | A ≈ 19,30 cm² |
Gleichseitiges Dreieck
Du hast das gleichschenklige Dreieck gemeistert – doch was passiert, wenn alle drei Seiten gleich lang sind? Entdecke in unserem Video, welche Besonderheiten das gleichseitige Dreieck hat und wie sich dadurch deine Berechnungen vereinfachen!
