Wie finde ich bei einer Ebene in Parameterform die Spannvektoren, die ich fürs Kreuzprodukt brauche?

Die Spannvektoren sind die beiden Vektoren, die in der Parameterform bei und stehen. Genau diese zwei Vektoren brauchst du für das Kreuzprodukt, um den Normalenvektor zu bekommen. Im Beispiel sind das und .

Wie rechne ich das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren konkret aus?

Du berechnest das Kreuzprodukt komponentenweise und erhältst so den Normalenvektor. Das läuft nach dem Schema . Zum Beispiel ergibt .

Was mache ich als Nächstes, wenn ich den Normalenvektor schon berechnet habe?

Du baust daraus direkt den Ansatz der Koordinatenform auf, indem du die Komponenten als Koeffizienten vor schreibst. Rechts steht zunächst nur . Aus wird damit .

Wie berechne ich das in der Koordinatenform, ohne durcheinanderzukommen?

Du setzt den Stützvektor in deinen Ansatz ein und rechnest das Ergebnis aus. Damit erzwingst du, dass der Stützpunkt wirklich in der Ebene liegt, und bekommst als Zahl. Beim Stützvektor folgt , also .

Was bedeutet es, wenn in der Koordinatenform vor und eine Null steht?

Dann tauchen und in der Gleichung nicht auf, weil der Normalenvektor dort Nullen hat. Das ist nicht falsch, sondern ergibt einfach eine „einfachere“ Ebenengleichung. Im Beispiel führt zu und damit zu .

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Parameterform in Koordinatenform

Wichtige Inhalte in diesem Video

Parameterform in Koordinatenform einfach erklärt

(00:14)

Parameterform in Koordinatenform: Aufgaben

(01:50)

In diesem Artikel und unserem Video lernst du, wie du eine Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform in der Geometrie umwandelst.

Inhaltsübersicht

Parameterform in Koordinatenform einfach erklärt

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(00:14)

Du willst die Ebene E von der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln:

$\begin{align*}\text{E:}&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\6\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\0\\7\end{array}\right)}\end{align*}$

1.Schritt: Bilde den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt

Zuerst musst du den Normalenvektor berechnen. Das machst du, indem du das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmst.

$\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\6\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\0\\7\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}5\cdot7-6\cdot0\\6\cdot3-2\cdot7\\2\cdot0-5\cdot3\end{array}\right)\)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}35\\4\\-15\end{array}\right)}$

2.Schritt: Stelle einen ersten Ansatz deiner Koordinatenform auf

Mithilfe des Normalenvektors kannst du deine Ebenengleichung in eine neue Form bringen:

$\begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{35}x_{1}+\textcolor{red}{4}x_{2}\textcolor{red}{-15}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}$

3.Schritt: Setze deinen Stützvektor ein

Mit dem Ansatz deiner Koordinatenform kannst du deinen Stützvektor in deine Gleichung einsetzen. Damit bestimmst du a:

$\begin{align*}\textcolor{red}{35}\cdot\textcolor{olive}{1}+\textcolor{red}{4}\cdot\textcolor{olive}{3}\textcolor{red}{-15}\cdot\textcolor{olive}{4}=\textbf{a}\end{align*}$

$\begin{align*}-13=\textbf{a}\end{align*}$

4.Schritt: Stelle die Koordinatenform auf

Nun musst du nur noch a in deinen Ansatz einsetzen und erhältst deine Koordinatenform:

$\begin{align*} \text{E:}\;& 35x_{1}+4x_{2}-15x_{3}=-13 \end{align*}$

Jetzt hast du mit nur 4 Schritten deine Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt.

Parameterform in Koordinatenform: Aufgaben

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(01:50)

Wie du siehst, ist es gar nicht so schwer, die Parametergleichung in die Koordinatengleichung zu bringen. Mit diesen Aufgaben kannst du die einzelnen Schritte nochmal üben.

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Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 1

Bringe die Ebene E in Koordinatenform:

$\begin{align*}\text{E:}\;&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right)}\end{align*}$

Mit den 4 Schritten von oben ist das kein Problem.

Lösung:

Zuerst bildest du das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren.

$\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}0\cdot0-1\cdot0\\0\cdot3-0\cdot2\\2\cdot1-3\cdot0\end{array}\right)=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)}$

Danach stellst du den Ansatz deiner Ebenengleichung neu auf und erhältst:

$\begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{0}x_{1}+\textcolor{red}{0}x_{2}+\textcolor{red}{2}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}$

Wenn du deinen Stützvektor einsetzt, kannst du wieder a berechnen:

$\begin{align*}0\cdot\textcolor{olive}{1}+0\cdot\textcolor{olive}{0}+2\cdot\textcolor{olive}{0}=\textbf{a}\end{align*}$

$\begin{align*}0=\textbf{a}\end{align*}$

Da du a berechnet hast, kannst du deine Ebenengleichung in Koordinatenform angeben:

$\begin{align*}\text{E:}\;&2x_{3}=0\end{align*}$

Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 2

Bestimme die Koordinatenform der Ebenengleichung:

$\begin{align*}\text{E:}\;&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}3\\2\\3\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)}\end{align*}$

Lösung:

Wieder musst du zuerst den Normalenvektor bilden. Dafür berechnest du das Kreuzprodukt der Spannvektoren:

$\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}4\\5\\6\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array}\right)}$

Jetzt kannst du den ersten Ansatz deiner Ebenengleichung aufstellen:

$\begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{-1}x_{1}+\textcolor{red}{2}x_{2}\textcolor{red}{-1}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}$

Durch das Einsetzen des Stützvektors erhältst du wieder a:

$\begin{align*}\text{E:}\;&-1\cdot\textcolor{olive}{3}+2\cdot\textcolor{olive}{2}-1\cdot\textcolor{olive}{3}=\textbf{a}\end{align*}$

$\begin{align*}2=\textbf{a}\end{align*}$

Jetzt kannst du deine Koordinatenform aufstellen, indem du a in deinen Ansatz vom vorherigen Schritt einsetzt:

$\begin{align*}\text{E:}\;&-x_{1}+2x_{2}-x_{3}=2\end{align*}$

Parameterform in Koordinatenform: Aufgabe 3

Stelle die Koordinatenform einer Ebene auf. Über die Ebene weißt du, dass sie die Punkte P₁ (2|5|5), P₂ (2|4|6) und den Koordinatenursprung O (0|0|0) beinhaltet.

Lösung:

Dieses Mal kannst du die Schritte nicht direkt anwenden. Zuerst musst du die Parameterform der Ebene aufstellen. Also bestimmst du die beiden Spannvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{u}$ . Dafür benötigst du nur die Ortsvektoren der Punkte P₁und P₂. Die Ortsvektoren entsprechen den Streckenvektoren zwischen dem Nullpunkt und den Punkten P₁und P₂.

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_{1}}-\overrightarrow{O}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}$

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{P_{2}}-\overrightarrow{O}=\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}$

Jetzt kannst du die Ebene in Parameterform angeben. Dabei entsprechen $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{u}$ den Spannvektoren. Deinen Stützvektor erhältst du, indem du den Ortsvektor des Ursprungs O(0|0|0) bildest.

$\begin{align*}\text{E:};&\overrightarrow{X}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)}+\lambda\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}+\mu\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}\end{align*}$

Jetzt kannst du wieder nach den einzelnen Schritten vorgehen und die Paramterform in die Koordinatenform umwandeln :

Berechne zuerst mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren deinen Normalenvektor.

$\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\right)}\times\textcolor{blue}{\left(\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}\right)}=\textcolor{red}{\left(\begin{array}{c}10\\-2\\-2\end{array}\right)}$

Stelle nun den neuen Ansatz deiner Ebenengleichung auf.

$\begin{align*}\text{E:}\;&\textcolor{red}{10}x_{1}\textcolor{red}{-2}x_{2}\textcolor{red}{-2}x_{3}=\textbf{a}\end{align*}$

Jetzt musst du noch den Stützvektor einsetzen, um a zu bestimmen:

$10\cdot\textcolor{olive}{0}-2\cdot\textcolor{olive}{0}-2\cdot\textcolor{olive}{0}=\textbf{a}$

$0=\textbf{a}$

Wenn du zum Schluss noch a in deine Vorlage einsetzt, erhältst du die Koordinatenform:

$\begin{align*}\text{E:}\;&10x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=0\end{align*}$

Parameterform in Koordinatenform — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie finde ich bei einer Ebene in Parameterform die Spannvektoren, die ich fürs Kreuzprodukt brauche?

Die Spannvektoren sind die beiden Vektoren, die in der Parameterform bei $\lambda$ und $\mu$ stehen. Genau diese zwei Vektoren brauchst du für das Kreuzprodukt, um den Normalenvektor zu bekommen. Im Beispiel sind das und .
Wie rechne ich das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren konkret aus?

Du berechnest das Kreuzprodukt komponentenweise und erhältst so den Normalenvektor. Das läuft nach dem Schema $(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1)$ . Zum Beispiel ergibt $(2,5,6)\times(3,0,7)=(35,4,-15)$ .
Was mache ich als Nächstes, wenn ich den Normalenvektor schon berechnet habe?

Du baust daraus direkt den Ansatz der Koordinatenform auf, indem du die Komponenten als Koeffizienten vor schreibst. Rechts steht zunächst nur . Aus wird damit .
Wie berechne ich das in der Koordinatenform, ohne durcheinanderzukommen?

Du setzt den Stützvektor in deinen Ansatz ein und rechnest das Ergebnis aus. Damit erzwingst du, dass der Stützpunkt wirklich in der Ebene liegt, und bekommst als Zahl. Beim Stützvektor folgt $35\cdot1+4\cdot3-15\cdot4=-13$ , also .
Was bedeutet es, wenn in der Koordinatenform vor und eine Null steht?

Dann tauchen und in der Gleichung nicht auf, weil der Normalenvektor dort Nullen hat. Das ist nicht falsch, sondern ergibt einfach eine „einfachere“ Ebenengleichung. Im Beispiel führt zu und damit zu .

Kreuzprodukt

Um die Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln, solltest du auch unbedingt das Kreuzprodukt draufhaben. Schaue dir doch gleich unser Video dazu an.