Wie erkenne ich in einer Zeichnung sicher, ob die Geraden parallel sind?

In einer Zeichnung erkennst du parallele Geraden nicht sicher nur am Aussehen, sondern an einer Markierung oder einer Angabe. Parallelität wird meist durch gleiche Pfeilmarken an beiden Geraden oder durch das Zeichen gezeigt. Beispiel: Tragen zwei Geraden je zwei gleiche Pfeile, sind sie parallel.

Welche Fehler passieren oft, wenn ich die Strahlensatz-Gleichung umstelle?

Häufige Fehler beim Umstellen der Strahlensatz-Gleichung sind vertauschte Zähler und Nenner, falsches Kreuzmultiplizieren und das Multiplizieren mit der falschen Strecke. Beispiel: Aus folgt , nicht .

Wie wähle ich die richtigen Streckenpaare aus, damit die Brüche stimmen?

Die richtigen Streckenpaare wählst du so, dass in beiden Brüchen jeweils Strecken auf demselben Strahl miteinander verglichen werden und beide Brüche gleich aufgebaut sind (z. B. „nah am Zentrum“ über „weiter weg“). Beispiel: passt zu , aber nicht zu .

Wann darf ich den 1. Strahlensatz nicht benutzen, obwohl es ähnlich aussieht?

Den 1. Strahlensatz darfst du nicht benutzen, wenn die schneidenden Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt als Zentrum haben oder wenn die beiden „Querlinien“ nicht wirklich parallel sind. Beispiel: Wenn eine Querlinie nur fast parallel gezeichnet ist, aber keine Parallel-Markierung hat, ist der Strahlensatz nicht begründet.

Wie unterscheide ich schnell den 1. Strahlensatz vom 2. Strahlensatz?

Den 1. Strahlensatz erkennst du daran, dass Verhältnisse von Strecken auf den beiden Strahlen verglichen werden, also Abstände vom Zentrum entlang der Strahlen. Der 2. Strahlensatz bezieht zusätzlich die Strecken auf den Parallelen (die „Querstrecken“) in die Verhältnisse ein.

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1. Strahlensatz

Wichtige Inhalte in diesem Video

1. Strahlensatz einfach erklärt

(00:56)

1. Strahlensatz Beispiel 1

(01:23)

Du willst wissen, wofür du den 1. Strahlensatz brauchst und wie du mit ihm rechnest? Hier und in unserem Video erklären wir dir alles, was du wissen musst und zeigen dir Beispiele für den 1. Strahlensatz!

Inhaltsübersicht

1. Strahlensatz einfach erklärt

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(00:56)

Du benutzt den 1. Strahlensatz, um unbekannte Längen zu bestimmen oder das Verhältnis von Längen zu vergleichen. Zum Beispiel die Höhe eines Turms oder die Breite eines Flusses.

Dafür brauchst du folgende Voraussetzungen:

zwei Strahlen bzw. Geraden, die sich in einem Zentrum Z schneiden.
zwei Parallelen, die die Geraden schneiden. Sie können entweder auf der gleichen Seite des Zentrums Z liegen oder auf zwei gegenüberliegenden.

1 Strahlensatz Formel

$\frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}$

Der erste Strahlensatz vergleicht also die Abschnitte auf den beiden Strahlen. Die Länge der Parallelen brauchst du im 1. Strahlensatz nicht.

1. Strahlensatz Beispiel 1

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(01:23)

Du hast die Figur mit den Längen $\textcolor{blue}{\overline{ZB} = \text{ 7 cm}}$ , $\textcolor{purple}{\overline{ZB'} = \text{ 15 cm}}$ und $\textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text{12 cm}}$ gegeben. Da es eine Strahlensatzfigur ist, kannst du nun mit dem 1. Strahlensatz die fehlende Länge $\textcolor{red}{\overline{ZA}}$ des kleinen Dreiecks bestimmen.

Stelle die 1. Strahlensatz Formel dafür nach $\textcolor{red}{\overline{ZA}}$ um. Wenn du nochmal üben willst, wie du die Formel umstellen kannst, schau dir unser Video dazu an.

Nun kannst du deine Werte $\textcolor{blue}{\overline{ZB} = \text{ 7 cm}}$ , $\textcolor{purple}{\overline{ZB'} = \text{ 15 cm}}$ und $\textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text{12 cm}}$ in die Formel einsetzen:

$\begin{align*} \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \frac{\textcolor{orange}{\text{12 cm}}}{\textcolor{purple}{\text{15 cm}}} \cdot \textcolor{blue}{\text{7 cm}}\\ \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \textcolor{red}{\text{5,6 cm}}\\ \end{align*}$

Die Strecke $\textcolor{red}{\overline{ZA}}$ ist 5,6 cm lang.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

1. Strahlensatz Beispiel 2

Du hast eine Strahlensatzfigur mit den Längen $\textcolor{purple}{\overline{ZB'} = \text{8 cm}}$ , $\textcolor{red}{\overline{ZA} = \text{3 cm}}$ und $\textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text{6 cm}}$ gegeben. Du sollst nun die Länge der Strecke $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ berechnen.

Um die Länge von $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ zu berechnen, benutzt du die Strahlensatz Formel:

$\frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}$

Stelle die Formel nach $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ um.

$\begin{align*} \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} &= \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \quad \quad \quad | \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \quad \quad | \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}}&= \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}} \end{align*}$

Nun hast du deine Formel nach $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ aufgelöst und kannst deine Werte $\textcolor{purple}{\overline{ZB'} = \text{8 cm}}$ , $\textcolor{red}{\overline{ZA} = \text{3 cm}}$ und $\textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text{6 cm}}$ einsetzen:

$\begin{align*} \textcolor{blue}{\overline{ZB}}&= \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}}&= \textcolor{red}{\text{3 cm}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{ \text{8 cm}}}{\textcolor{orange}{\text{6 cm}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}}&= \textcolor{blue}{\text{4 cm}} \end{align*}$

Die Strecke $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ ist 4 cm lang!

Beweis 1. Strahlensatz

Du möchtest dir den Beweis der 1. Strahlensatz Formel anschauen? Im Folgenden erklären wir ihn dir!

Es soll bewiesen werden, dass die Strecken $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ zu $\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}$ sich genau so verhalten wie $\textcolor{red}{\overline{ZA}}$ und $\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}$ .

1. Strahlensatz, Strahlensatz, Strahlensätze — 1. Strahlensatz

Zuerst überlegst du dir, dass die beiden Dreiecke ZAB und ZA’B‘ ähnlich sind. Denn durch den Streckfaktor k kannst du aus einem Dreieck das andere machen:

Streckst du die Strecke $\textcolor{red}{\overline{ZA}}$ mit dem Faktor k, bekommst du $\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}$ .

k · $\textcolor{red}{\overline{ZA}}$ = $\textcolor{red}{\overline{ZA}}$ + $\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}$

Streckst du die Strecke $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ mit dem Faktor k, bekommst du $\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}$ .

k · $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ = $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ + $\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}$

Du streckst also die kurze Strecke und bekommst dadurch die verlängerte Strecke.

Stelle jetzt beide Gleichungen nach k um:

$\begin{align*} k \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}} &= \textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{orange}{\overline{ZA'}} \quad \quad | : \textcolor{red}{\overline{ZA}}\\ k &= \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}\\ \end{align*}$

und

$\begin{align*} k \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} &= \textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{purple}{\overline{ZB'}} \quad \quad | : \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ k &= \frac{\textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}}\\ \end{align*}$

Jetzt hast du zwei Brüche für k. Setze sie gleich.

$\begin{align*} \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}} &= \frac{\textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} \quad \quad | \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}} \quad | \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}} + \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \cdot \textcolor{orange}{\overline{ZA'}} &= \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} + \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot\textcolor{purple}{\overline{ZB'}} \quad \quad | - \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \cdot \textcolor{orange}{\overline{ZA'}} &= \textcolor{red}{\overline{ZA}} \cdot\textcolor{purple}{\overline{ZB'}} \quad \quad | : \textcolor{purple}{\overline{ZB'}} \quad | : \textcolor{orange}{\overline{ZA'}}\\ \frac{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} &= \frac{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}\\ \end{align*}$

1. Strahlensatz — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich in einer Zeichnung sicher, ob die Geraden parallel sind?

In einer Zeichnung erkennst du parallele Geraden nicht sicher nur am Aussehen, sondern an einer Markierung oder einer Angabe. Parallelität wird meist durch gleiche Pfeilmarken an beiden Geraden oder durch das Zeichen $\parallel$ gezeigt. Beispiel: Tragen zwei Geraden je zwei gleiche Pfeile, sind sie parallel.
Welche Fehler passieren oft, wenn ich die Strahlensatz-Gleichung umstelle?

Häufige Fehler beim Umstellen der Strahlensatz-Gleichung sind vertauschte Zähler und Nenner, falsches Kreuzmultiplizieren und das Multiplizieren mit der falschen Strecke. Beispiel: Aus $\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}}=\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}}$ folgt $\overline{ZA}=\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}}\cdot \overline{ZB}$ , nicht $\overline{ZA}=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZA'}}\cdot \overline{ZB}$ .
Wie wähle ich die richtigen Streckenpaare aus, damit die Brüche stimmen?

Die richtigen Streckenpaare wählst du so, dass in beiden Brüchen jeweils Strecken auf demselben Strahl miteinander verglichen werden und beide Brüche gleich aufgebaut sind (z. B. „nah am Zentrum“ über „weiter weg“). Beispiel: $\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}}$ passt zu $\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}}$ , aber nicht zu $\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZA'}}$ .
Wann darf ich den 1. Strahlensatz nicht benutzen, obwohl es ähnlich aussieht?

Den 1. Strahlensatz darfst du nicht benutzen, wenn die schneidenden Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt als Zentrum haben oder wenn die beiden „Querlinien“ nicht wirklich parallel sind. Beispiel: Wenn eine Querlinie nur fast parallel gezeichnet ist, aber keine Parallel-Markierung hat, ist der Strahlensatz nicht begründet.
Wie unterscheide ich schnell den 1. Strahlensatz vom 2. Strahlensatz?

Den 1. Strahlensatz erkennst du daran, dass Verhältnisse von Strecken auf den beiden Strahlen verglichen werden, also Abstände vom Zentrum entlang der Strahlen. Der 2. Strahlensatz bezieht zusätzlich die Strecken auf den Parallelen (die „Querstrecken“) in die Verhältnisse ein.