Woran erkenne ich in einer Zeichnung, ob die Linien wirklich parallel sind?

Ob Linien wirklich parallel sind, erkennst du daran, dass es ausdrücklich markiert oder angegeben ist, nicht daran, dass es „so aussieht“. In Geometrieaufgaben werden Parallelen meist mit Pfeilmarkierungen an beiden Geraden oder mit dem Zeichen gekennzeichnet. Ohne solche Angabe darfst du Parallelität nicht annehmen.

Wie unterscheide ich den ersten Strahlensatz vom zweiten Strahlensatz?

Den ersten Strahlensatz erkennst du daran, dass Verhältnisse von Strecken auf den beiden Strahlen miteinander verglichen werden. Der zweite Strahlensatz vergleicht dagegen das Verhältnis der beiden Parallelen mit dem Verhältnis von Strecken auf einem Strahl. Merksatz: „Parallelstrecken im Bruch“ deutet auf den zweiten Strahlensatz.

Welche Fehler passieren oft beim Aufstellen von Verhältnissen im zweiten Strahlensatz?

Häufige Fehler beim zweiten Strahlensatz sind vertauschte Zuordnungen (z. B. innen mit außen gemischt), unterschiedliche Strahlen in einem Verhältnis und falsch herum gebildete Brüche. Zum Beispiel ist richtig, aber mischt die passenden Paare.

Wie prüfe ich schnell, ob mein Ergebnis beim zweiten Strahlensatz sinnvoll ist?

Ein Ergebnis ist beim zweiten Strahlensatz schnell plausibel, wenn die Größenordnung zum Skalierungsfaktor passt: Ist größer als , dann muss auch der zugehörige Abstand vom Zentrum auf demselben Strahl größer sein. Außerdem müssen Längen positiv sein und Einheiten sich im Verhältnis kürzen.

Wann darf ich den zweiten Strahlensatz nicht anwenden, obwohl es ähnlich aussieht?

Den zweiten Strahlensatz darfst du nicht anwenden, wenn die „Parallelen“ nicht wirklich parallel sind oder wenn die beiden Geraden nicht durch ein gemeinsames Zentrum gehen. Zum Beispiel reicht es nicht, dass zwei Strecken ungefähr gleich geneigt wirken; ohne echte Parallelität entstehen keine ähnlichen Dreiecke und die Verhältnisse stimmen nicht.

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2. Strahlensatz

Wichtige Inhalte in diesem Video

2. Strahlensatz einfach erklärt

(02:24)

2. Strahlensatz Aufgabe 1

(02:51)

Hier erfährst du, was der 2. Strahlensatz ist und wofür du ihn brauchst! Schau dir auch unser Video an!

Inhaltsübersicht

2. Strahlensatz einfach erklärt

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(02:24)

Die Strahlensätze helfen dir dabei, unbekannte Längen zu berechnen, zum Beispiel die Seite eines Dreiecks oder die Höhe eines Turms in einer Textaufgabe.

Um den zweiten Strahlensatz benutzen zu können, brauchst du folgende Voraussetzungen:

zwei Geraden, die sich in einem Zentrum Z schneiden.
zwei Parallelen, die durch die Geraden gehen. Die Parallelen können entweder auf der gleichen Seite des Zentrums liegen (Bild rechts) oder auf zwei verschiedenen (Bild links).

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Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis der Parallelen gleich dem Verhältnis der Abschnitte auf einem der Strahlen ist.

2. Strahlensatz Formel

$\frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}} = \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}} \text{ oder } \frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}$

Du kannst die Strahlensatz Formel umstellen, indem du die Zähler und Nenner vertauschst. Außerdem kannst du für den 2. Strahlensatz auch schreiben:
Parallelen und orangener/roter Strahl:

$\frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{olive}{\overline{AB}}} = \frac{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}}$

Parallelen und lila/blauer Strahl:

$\frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{olive}{\overline{AB}}} = \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}}$

Schau dir direkt ein paar Beispiele dazu an!

2. Strahlensatz Aufgabe 1

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(02:51)

Die Geraden der Strahlensatzfigur bilden ein Dreieck. Mit dem 2. Strahlensatz kannst du unbekannte Längen im Dreieck berechnen.

Stell dir ein Dreieck mit den Längen $\textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text {6 cm}}$ , $\textcolor{red}{\overline{ZA}= \text{3 cm}}$ und $\textcolor{olive}{\overline{A'B'}= \text{5 cm}}$ vor. Du sollst nun die Länge $\textcolor{olive}{\overline{AB}}$ berechnen.

2. Strahlensatz, strahlensatz 2, 2.strahlensatz, zweiter strahlensatz, Strahlensatz Beispiel, Strahlensatz Formel umstellen — 2. Strahlensatz Aufgabe

1. Richtigen Strahlensatz aussuchen: Da du die Längen zu der Parallelen und dem orangenen/roten Strahl kennst, benutzt du die Formel

$\frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}} = \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}}$

2. Nach gesuchter Länge umstellen: Stelle sie nach $\textcolor{olive}{\overline{AB}}$ um. Wenn du das „Formel umstellen“ wiederholen willst, schau dir unser Video dazu an.

$\begin{align*} \frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{red}{\overline{ZA}}} &= \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}} \quad \quad | \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}}\\ \textcolor{olive}{\overline{AB}} &= \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{orange}{\overline{ZA'}}} \cdot \textcolor{red}{\overline{ZA}}\\ \end{align*}$

3. Werte einsetzen: Nun kannst du deine Werte $\textcolor{orange}{\overline{ZA'} = \text {6 cm}}$ , $\textcolor{red}{\overline{ZA}= \text{3 cm}}$ und $\textcolor{olive}{\overline{A'B'}= \text{5 cm}}$ einsetzen.

$\begin{align*}\textcolor{olive}{\overline{AB}} &= \frac{\textcolor{olive}{\text {5 cm}}}{\textcolor{orange}{\text{6 cm}}} \cdot \textcolor{red}{\text{3 cm}}\\ \textcolor{olive}{\overline{AB}} &= \textcolor{olive}{\text{2,5 cm}}\end{align*}$

Die Parallele $\textcolor{olive}{\overline{AB}}$ ist $\textcolor{olive}{\text{2,5 cm}}$ lang.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

2. Strahlensatz Aufgabe 2

Nun hast du eine Strahlensatzfigur mit den Längen $\textcolor{olive}{\overline{AB}= \text{6 cm}}$ , $\textcolor{olive}{\overline{A'B'}= \text{9 cm}}$ und $\textcolor{purple}{\overline{ZB'}= \text{12 cm}}$ . Berechne die Länge der Strecke $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ .

1. Richtigen Strahlensatz aussuchen: Da es in diesem Strahlensatz Beispiel um die Parallelen und den lila/blauen Strahl geht, benutzt du die Formel

$\frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} = \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}$

2. Nach gesuchter Länge umstellen: Löse sie nach $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ auf.

$\begin{align*} \frac{\textcolor{olive}{\overline{AB}}}{\textcolor{blue}{\overline{ZB}}} &= \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}} \quad \quad \quad | \cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \\ \textcolor{olive}{\overline{AB}} &= \frac{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}\cdot \textcolor{blue}{\overline{ZB}} \quad | \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}} &= \textcolor{olive}{\overline{AB}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{\overline{ZB'}}}{\textcolor{olive}{\overline{A'B'}}}\\ \end{align*}$

3. Werte einsetzen: Setze deine Werte $\textcolor{olive}{\overline{AB}= \text{6 cm}}$ , $\textcolor{olive}{\overline{A'B'}= \text{9 cm}}$ und $\textcolor{purple}{\overline{ZB'}= \text{12 cm}}$ in die Formel ein.

$\begin{align*} \textcolor{blue}{\overline{ZB}} &= \textcolor{olive}{\text{6 cm}} \cdot \frac{\textcolor{purple}{\text{12 cm}}}{\textcolor{olive}{\text{9 cm}}}\\ \textcolor{blue}{\overline{ZB}} &= \textcolor{blue}{\text{8 cm}}\\ \end{align*}$

Die Seite $\textcolor{blue}{\overline{ZB}}$ ist 8 cm lang.

2. Strahlensatz — häufigste Fragen

(ausklappen)

Woran erkenne ich in einer Zeichnung, ob die Linien wirklich parallel sind?

Ob Linien wirklich parallel sind, erkennst du daran, dass es ausdrücklich markiert oder angegeben ist, nicht daran, dass es „so aussieht“. In Geometrieaufgaben werden Parallelen meist mit Pfeilmarkierungen an beiden Geraden oder mit dem Zeichen $\parallel$ gekennzeichnet. Ohne solche Angabe darfst du Parallelität nicht annehmen.
Wie unterscheide ich den ersten Strahlensatz vom zweiten Strahlensatz?

Den ersten Strahlensatz erkennst du daran, dass Verhältnisse von Strecken auf den beiden Strahlen miteinander verglichen werden. Der zweite Strahlensatz vergleicht dagegen das Verhältnis der beiden Parallelen mit dem Verhältnis von Strecken auf einem Strahl. Merksatz: „Parallelstrecken im Bruch“ deutet auf den zweiten Strahlensatz.
Welche Fehler passieren oft beim Aufstellen von Verhältnissen im zweiten Strahlensatz?

Häufige Fehler beim zweiten Strahlensatz sind vertauschte Zuordnungen (z. B. innen mit außen gemischt), unterschiedliche Strahlen in einem Verhältnis und falsch herum gebildete Brüche. Zum Beispiel ist $\frac{\overline{AB}}{\overline{ZA}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{ZA'}}$ richtig, aber $\frac{\overline{AB}}{\overline{ZA'}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{ZA}}$ mischt die passenden Paare.
Wie prüfe ich schnell, ob mein Ergebnis beim zweiten Strahlensatz sinnvoll ist?

Ein Ergebnis ist beim zweiten Strahlensatz schnell plausibel, wenn die Größenordnung zum Skalierungsfaktor passt: Ist $\overline{A'B'}$ größer als $\overline{AB}$ , dann muss auch der zugehörige Abstand vom Zentrum auf demselben Strahl größer sein. Außerdem müssen Längen positiv sein und Einheiten sich im Verhältnis kürzen.
Wann darf ich den zweiten Strahlensatz nicht anwenden, obwohl es ähnlich aussieht?

Den zweiten Strahlensatz darfst du nicht anwenden, wenn die „Parallelen“ nicht wirklich parallel sind oder wenn die beiden Geraden nicht durch ein gemeinsames Zentrum gehen. Zum Beispiel reicht es nicht, dass zwei Strecken ungefähr gleich geneigt wirken; ohne echte Parallelität entstehen keine ähnlichen Dreiecke und die Verhältnisse stimmen nicht.

Winkel berechnen

Jetzt bist du der Profi, wenn es um Strahlensätze, den ersten Strahlensatz oder den zweiten Strahlensatz geht! Manchmal musst du keine unbekannten Längen, sondern unbekannte Winkel berechnen. In unserem Video dazu zeigen wir dir, wie’s geht!